Alice és Bob fontos párhuzamokat talál

Az 1. állítás: Mivel egyrészt e_G a G csoport egységeleme, valamint f tartja a csoportműveletet, ezért a G csoport tetszőleges a elemére felírhatók az alábbiak:

Másrészt, mivel e_H a H csoport egységeleme, ezért:

Ezeket egymással összevetve az alábbiakat kapjuk:

Ha az első egyenlet mindkét oldalát balról, vagy a második egyenlet mindkét oldalát jobbról megszorozzuk az f(a) elem H-beli inverzével, akkor megkapjuk az 1. állítást:

A 2. állítás: Legyen a a G csoport valamely tetszőleges eleme, amelynek G-beli inverzét jelöljük a^{-1}-gyel. Ekkor az 1. állítás miatt:

Másrészt viszont f tartja a csoportműveletet, ezért:

Ezeket egymással összevetve ezt kapjuk:

Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ők az f szerinti képeik, azaz

A két egyenletet összeszorozva, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságát az alábbit kapjuk:

Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a az f szerinti képe, azaz

A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az inverzképzést is, így teljesül az alábbi:

Mivel f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma értelmében tartja az egységelemet és az inverzképzést. Azaz egyrészt f(e_G)=e_X, és így e_G valóban benne van f magjában, tehát N-ben. Másrészt ha valamilyen a benne van N-ben, akkor f(a)=e_X, és így az inverzképzés tartása miatt

Azaz a inverzének is e_X a képe, következésképp ő is benne van N-ben.

A csoportműveletre való zártság f művelettartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis a és b az N két tetszőleges eleme, akkor egyrészt teljesülnek az alábbiak:

Másrészt viszont a művelettartás miatt az ő szorzatukra teljesül az alábbi:

A 2. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy g a G csoport tetszőleges – tehát nem feltétlenül N-beli – eleme. Azt kell megmutatni, hogy amennyiben egy N-beli n elemet balról g-vel, jobbról pedig g^{-1}-gyel szorzunk meg, akkor az eredmény is N-beli lesz. Mivel n benne van N-ben, ezért f(n)=e_X. Következésképp f művelettartó és inverzképzéstartó tulajdonsága miatt a gng^{-1} szorzat képére igaz lesz az alábbi:

Tegyük fel először, hogy N normálosztó G-ben. Ez a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy minden g\in G és n\in N esetén

Ez természetesen g inverzére is igaz:

A 18.19. Definíció alapján a gN halmaz minden eleme felírható gn alakban valamilyen alkalmas n\in N elemmel. Egy ilyen szorzat azonban az alábbi módon is felírható:

Azt viszont már láttuk, hogy gng^{-1}\in N, így gn benne van az Ng halmazban is. Vagyis:

Ehhez hasonlóan az Ng halmaz minden eleme felírható az alábbi alakban valamilyen alkalmas n\in N elemmel:

Azt is láttuk már, hogy g^{-1}ng\in N, így ng benne van a gN halmazban is. Vagyis:

A gN és Ng halmazok tehát kölcsönösen tartalmazzák egymást, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az alábbi halmazegyenlőség:

Megfordítva: Tegyük fel, hogy minden g\in G esetén gN=Ng. Ez azt jelenti, hogy minden n\in N esetén a gn szorzat nem csak a gN, hanem Ng halmaznak is eleme. Létezik tehát olyan m\in N, hogy:

Ezt az egyenletet jobbról g^{-1}-gyel szorozva az alábbit kapjuk:

Vagyis a gng^{-1} szorzat valóban benne van N-ben, ami a 25.6. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy N normálosztó G-ben.

Végül igazoljuk a gNg^{-1}=N halmazegyenlőséggel való megfogalmazást. Tegyük fel, hogy teljesül ez a halmazegyenlőség. Ekkor nyilván az ennél gyengébb

feltétel is teljesül. A 25.6. Definíció utáni megjegyzés szerint ez épp azt jelenti, hogy N normálosztó.

Megfordítva: Ha N normálosztó, akkor szintén a 25.6. Definíció utáni megjegyzés alapján

Ez a tartalmazás minden G-beli g elemre, így speciálisan g inverzére is teljesül, azaz:

Ez azt jelenti, hogy tetszőleges n\in N esetén a g^{-1}ng szorzat is N-ben van. Azaz létezik olyan m\in N, hogy teljesül az alábbi egyenlet:

Ezt az egyenletet balról g-vel, jobbról pedig g^{-1}-gyel szorozva ezt kapjuk:

Ez épp azt jelenti, hogy n\in gNg^{-1}, tehát teljesül a másik irányú tartalmazás is:

A gNg^{-1} és N halmazok tehát kölcsönösen tartalmazzák egymást, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján épp azt jelenti, hogy valóban teljesül az alábbi halmazegyenlőség:

Az első két halmazegyenlőség a 24.7. Tétel alapján épp azt jelenti, hogy a_1 és a_2, valamint b_1 és b_2 rendre ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban vannak. Ez a tételben bevezetett \sim relációval felírva az alábbit jelenti:

A \sim reláció 24.7. Tételben szereplő definíciója alapján tehát:

Azt szeretnénk igazolni, hogy

is teljesül, ami tehát azt jelentené, hogy a_1b_1 \sim a_2b_2.

A 24.2. Tétel alapján

E kifejezés értéke továbbá nem változik, ha a_2 és b_2 közé beszúrjuk a b_1b_1^{-1} szorzatot, hiszen ez épp a G csoport egységeleme. Így ezt kapjuk:

A csoportművelet asszociativitása miatt ezt átzárójelezhetjük:

Továbbá átmenetileg vezessük be az n_a=a_1^{-1}a_2 és az n_b=b_1^{-1}b_2 jelöléseket. Ekkor:

Erről szeretnénk tehát megmutatni, hogy benne van N-ben.

Azt már a bizonyítás elején láttuk, hogy az n_b tényező N-ben van. A b_1^{-1}n_ab_1 tényező pedig a 25.6. Definíció szerint nem más, mint az n_a elem b_1^{-1}-gyel vett konjugáltja. De a bizonyítás elején azt is láttuk, hogy n_a\in N. Mivel N normálosztó, és így zárt a konjugálásra, ezért:

Minthogy mindkét tényező N-ben van, és N ugye részcsoport, ezért e tényezők szorzata – azaz lényegében (a_1b_1)^{-1}\cdot (a_2b_2) – is N-ben van. Teljesül tehát a 24.7. Tételben bevezetett a_1b_1\sim a_2b_2 reláció, azaz valóban:

Meg kell még mutatni, hogy a tételben szereplő f:G\to G/N függvény egy csoporthomomorfizmus az eredeti G csoport és a G/N faktorcsoport között. Az f függvény a tétel szövege alapján minden G-beli g elemhez a gN mellékosztályt rendeli hozzá G/N-ből. Tegyük fel, hogy g és h a G csoport tetszőleges elemei. Ekkor a művelettartó tulajdonság az alábbiak alapján valóban teljesül:

Továbbá f nyilván szürjektív. Ugyanis G/N elemei a 24.7. Tétel alapján ekvivalencia-osztályok, tehát a 13.3. Definíció értelmében mindegyiknek van legalább egy eleme. Az f viszont minden mellékosztályt hozzárendeli a saját elemeihez, és így valóban nincs olyan mellékosztály, amely ne lenne hozzárendelve egyetlen G-beli elemhez sem.

Végül azt kell megmutatni, hogy f magja épp az N normálosztó. Egy tetszőleges G-beli g elemhez az f csoporthomomorfizmus pontosan akkor rendeli hozzá a G/N csoport egységelemét – azaz az eN mellékosztályt –, ha fennáll az alábbi halmazegyenlőség:

Minthogy N egy részcsoport G-ben – hiszen normálosztó –, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja alapján ő az, aki tartalmazza e-t, azaz

Az f(g)=eN tehát akkor és csak akkor teljesül, ha gN=N, azaz ha g benne van N-ben. Az N normálosztó tehát valóban magja az f csoporthomomorfizmusnak.

Előszöris megjegyezzük, hogy a 25.10. Következmény alapján \ker f normálosztó G-ben, így a bizonyítandó állításban szereplő csoportizomorfizmus baloldala a 25.9. Tétel szerint valóban egy csoport, nevezetesen a G/\ker f faktorcsoport. Igaz továbbá, hogy a 25.4. Tétel alapján \text{im} f részcsoport abban a csoportban, ahová f mutat, így a jobboldal is egy csoport. A

kifejezés tehát értelmes, mert tényleg egy csoportizomorfizmust jelöl. Most megmutatjuk, hogy ez a csoportizomorfizmus valóban fennáll a két csoport között.

Az átláthatóság érdekében vezessük be az N=\ker f jelölést. A G/N faktorcsoport elemei tehát az N – mint normálosztó – szerinti mellékosztályok. Ezek a 24.7. Tétel, valamint a 25.3. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan azokból a G-beli elemekből állnak, amelyeknek ugyanaz az f szerinti képe. Most megadunk egy

leképezést e faktorcsoport és az f csoporthomomorfizmus képe – azaz \text{im} f – között.

Ennek a leképezésnek az alábbi képletét a G csoport elemeinek és az f csoporthomomorfizmusnak a segítségével konstruáljuk meg. A képlet azt fejezi ki, hogy minden a elem esetén a g leképezés az a-t tartalmazó mellékosztályhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a célcsoportból – azaz \text{im} f-ből –, amelyet az f csoporthomomorfizmus is hozzárendel magához az a elemhez:

Azt kell még igazolni, hogy a g leképezés bijektív, ami a 25.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy egyszerre injektív és szürjektív. Az injektivitáshoz azt kell megmutatnunk, hogy egymástól különböző mellékosztályok g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy a G csoport a és b elemei két egymástól különböző mellékosztályt reprezentálnak, ám e két mellékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz:

Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy:

Most igazoljuk a szürjektivitást. Ez a 25.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy a célcsoportban nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely mellékosztálynak a g leképezés szerint. Ez viszont természetesen teljesül, hiszen a célcsoport nem más, mint \text{im} f, azaz az f csoporthomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő h elemhez létezik olyan x elem a G csoportban, amelyre

teljesül. Ez az x elem viszont benne van az xN mellékosztályban, amelyhez a g leképezés épp a h elemet rendeli hozzá a célcsoportban. A g függvény tehát valóban szürjektív.

Végül g művelettartási tulajdonsága az őt definiáló képletből már könnyen adódik. Az alábbi levezetésben az eredeti G csoport műveletét egymás után írással, a G/N faktorcsoport műveletét a \odot, végül az \text{im} f célcsoport műveletét a \boxdot szimbólummal jelöltük:

Az 1. állítás: Mivel K részcsoport G-ben, ezért ő maga is csoport a G csoportműveletére nézve. Tekintsük azt az f_K:K\to H függvényt, amely teljesen megegyezik az eredeti f csoporthomomorfizmussal, viszont a teljes G helyett csak a K halmazon van értelmezve. Azaz minden x\in K esetén:

Emiatt nyilván a K részcsoport f szerinti képe ugyanaz a halmaz lesz, mint az f_K szerinti képe, azaz:

Az f_K függvény szintén csoporthomomorfizmus, hiszen örökli az eredeti f függvény művelettartó tulajdonságát. A 25.3. Definíció alapján igaz tehát az alábbi:

A 25.4. Tétel alapján viszont tetszőleges csoporthomomorfizmus képe részcsoport abban a csoportban, ahová az adott csoporthomomorfizmus mutat. Így tehát valóban:

Mivel f csoporthomomorfizmus, amely a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést is, ezért teljesül az alábbi:

Teljesül mindhárom feltétel, a K halmaz tehát valóban részcsoport G-ben. Már csak azt kell igazolni, hogy tartalmazza f magját. Tekintsünk egy tetszőleges x\in \ker f elemet. A 25.3. Definíció alapján f(x)=e_H, amiről a 24.5. Tétel 2. pontja alapján tudjuk, hogy L-ben van. A 25.12. Definíció szerint viszont ekkor x benne van f^{-1}(L)-ben. Vagyis valóban:

Mivel f csoporthomomorfizmus, amely a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést is, ezért teljesül az alábbi

Mivel azonban L normálosztó H-ban és f(k)\in L, ezért a 25.6. Definíció alapján a jobboldalon álló szorzat benne van L-ben, és így a baloldali f(gkg^{-1}) is. Ez a 25.12. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy a gkg^{-1} szorzat benne van f^{-1}(L)-ben, ami ugye K-val egyenlő. Vagyis K valóban normálosztó G-ben.

A 25.13. Tétel 1. pontja szerint tetszőleges G-beli részcsoport f szerinti képe részcsoport H-ban. Mindez természetesen speciálisan igaz az N-et tartalmazó G-beli részcsoportokra is. Így a g megfeleltetés – amely tehát mindegyik K\in \mathcal{G} részcsoportot összepárosítja az f(K)\in \mathcal{H} részcsoporttal – tekinthető egy \mathcal{G}-ből \mathcal{H}-ba mutató függvénynek is:

Ehhez hasonlóan a 25.13. Tétel 3. pontja szerint tetszőleges H-beli részcsoport f szerinti teljes inverz képe egy olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza N-et. Így a h megfeleltetés – amely tehát mindegyik L\in \mathcal{H} részcsoportot összepárosítja az f^{-1}(L)\in \mathcal{G} részcsoporttal – tekinthető egy \mathcal{H}-ból \mathcal{G}-be mutató függvénynek is:

A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló részcsoportot kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges K\in \mathcal{G} és L\in \mathcal{H} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelési láncok érvényességét:

A második hozzárendelési lánc érvényessége könnyen adódik, ugyanis f a tétel szövege alapján szürjektív, ezért minden H-beli elem legalább egy G-beli elemnek képe, azaz f(G) most a teljes H. Mivel a \mathcal{H} halmazrendszer H részcsoportjaiból áll, ezért minden L\in \mathcal{H} esetén L\sube f(G), és így a 25.12. Definíció utáni megjegyzés alapján valóban teljesül, hogy:

Az első hozzárendelési lánc érvényességének igazolásához az f^{-1}(f(K))=K halmazegyenlőséget kell megmutatnunk, amely a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján pontosan az alábbi két tartalmazási reláció együttes fennállása esetén teljesül:

Ez viszont a 25.3. Definíció utáni megjegyzés alapján azt jelenti, hogy a k^{-1}a szorzat benne van f magjában, azaz N-ben. Másként fogalmazva létezik olyan n\in N, hogy teljesül az alábbi:

Mindkét oldalt balról k-val szorozva:

A tétel szövegéből viszont tudjuk, hogy N\sube K, így ez a bizonyos n benne van egyúttal a K részcsoportban is, következésképp az a=kn szorzat is benne van K-ban, hiszen ő zárt a szorzásra nézve. Mivel megmutattuk, hogy a\in K, ezért valóban teljesül az alábbi tartalmazás is:

Először egy segédállítást igazolunk, miszerint tetszőleges g\in G esetén teljesül az alábbi egyenlőség:

Itt f(g)L az f(g) elemet tartalmazó L szerinti baloldali mellékosztály, a gK pedig a g elemet tartalmazó K szerinti baloldali mellékosztály.

Mivel f szürjektív, ezért f(G)=H, így H minden X részhalmaza esetén a 25.12. Definíció utáni megjegyzés alapján teljesül az alábbi halmazegyenlőség:

Ezt speciálisan az X=f(g)L baloldali mellékosztályra alkalmazva, és a segédállítást felhasználva azt kapjuk, hogy a gK baloldali mellékosztály f szerinti képe valóban egy L szerinti baloldali mellékosztály, méghozzá:

Így a k megfeleltetés – amely tehát mindegyik C_K\in \mathcal{K} baloldali mellékosztályt összepárosítja az f(C_K)\in \mathcal{L} baloldali mellékosztállyal – tényleg tekinthető egy \mathcal{K}-ból \mathcal{L}-be mutató függvénynek is:

Mivel f szürjektív, ezért van olyan g\in G, amelyre h=f(g). A segédállítás szerint ekkor a hL baloldali mellékosztály f szerinti teljes inverz képe tényleg egy K szerinti baloldali mellékosztály, méghozzá:

Így az l megfeleltetés – amely tehát mindegyik C_L\in \mathcal{L} baloldali mellékosztályt összepárosítja az f^{-1}(C_L)\in \mathcal{K} baloldali mellékosztállyal – tényleg tekinthető egy \mathcal{L}-ből \mathcal{K}-ba mutató függvénynek is:

A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló baloldali mellékosztályt kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges C_K\in \mathcal{K} és C_L\in \mathcal{L} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelési láncok érvényességét:

A második hozzárendelési lánc érvényessége azonnal adódik a fentebb igazolt f(f^{-1}(X))=X halmazegyenlőségből, hiszen minden C_L\in \mathcal{L} baloldali mellékosztály H részhalmaza. Ezt X=C_L-re alkalmazva valóban teljesül, hogy:

Az első hozzárendelési lánc érvényessége is egyszerűen adódik. Ehhez reprezentáljuk a C_K baloldali mellékosztályt valamelyik g elemével, azaz:

Fentebb láttuk, hogy teljesülnek az alábbiak:

Ezeket összevetve valóban teljesül, hogy:

Ezzel igazoltuk, hogy a k és l függvények egymás megfordításai, vagyis mindkettő kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít a \mathcal{K} és \mathcal{L} halmazrendszerek között.

Az egyértelműség érdekében az alábbiakban a különböző csoportok műveleteit különböző szimbólumokkal jelöltük. Így \odot jelöli a G/K faktorcsoport, \boxdot a H/L faktorcsoport, \cdot a G csoport, végül \circ a H csoport szorzását:

A 24.1. Definícióban felsorolt csoportaxiómákat kell ellenőrizni. A \odot művelet asszociativitása könnyedén adódik a G_1, G_2, ..., G_n csoportokon értelmezett műveletek ugyanezen tulajdonságából:

Most igazoljuk az egységelemre vonatkozó állítást. Legyen (g_1;\ldots;g_n) a G_1\times \ldots \times G_n halmaz egy tetszőleges eleme. Ezt az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elemmel összeszorozva bármely oldalról az eredmény valóban nem változik, hiszen minden komponensben a megfelelő csoport egységelemével való szorzás fog szerepelni. Az alábbiakban a jobbról való szorzás esetét igazoltuk, a másik irányú szorzás ehhez hasonlóan adódik:

Végül igazoljuk az inverzképzésre vonatkozó állítást is. A (g_1;\ldots;g_n) elemet a (g_1^{-1};\ldots;g_n^{-1}) elemmel jobbról szorozva az eredmény valóban az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elem lesz, hiszen minden komponensben az adott komponens és annak a megfelelő csoportban vett inverzével való jobbról szorzás fog szerepelni:

A balról szorzás esete ehhez hasonlóan igazolható.

Ez viszont azt jelenti, hogy H maga is az \mathcal{X} halmazrendszer eleme, hiszen ő is egy X-et tartalmazó részcsoport G-ben. Ráadásul mivel ő a metszete \mathcal{X} összes elemének, ezért egyben részhalmaza is azoknak. Másként fogalmazva bármilyen K\in \mathcal{X} részcsoportra teljesül, hogy H\sube K. Ez a 19.7. Definíció szerint viszont épp azt jelenti, hogy H nem más, mint az \mathcal{X} halmazrendszer legszűkebb eleme. Más szavakkal H a legszűkebb olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza az X részhalmazt, azaz a tételbeli jelölést használva:

A 25.22. Definíció utáni megjegyzés alapján az \lang 1\rang \leq \Z^+ részcsoport épp azokból az egész számokból áll, amelyek felírhatók az alábbi alakban valamilyen k\in \Z-vel:

Ez viszont nyilván az összes egész számra igaz, azaz valójában:

A 25.22. Definíció utáni megjegyzés alapján az \lang [1]_m\rang\leq(\Z/m\Z)^+ részcsoport épp azokból a maradékosztályokból áll, amelyek felírhatók az alábbi alakban valamilyen k\in\Z-vel:

Mivel ebben a csoportban a + műveletet a 20.5. Tételben leírtaknak megfelelően a reprezentánselemeken kell elvégezni, ezért

Mivel minden maradékosztály felírható [k]_m alakban valamilyen k\in\Z-vel, ezért valójában:

Azt kell megmutatni, hogy f(g) valóban H generátoreleme. Legyen ezért h a H csoport tetszőleges eleme. Mivel az f csoporthomomorfizmus szürjektív, ezért biztosan létezik olyan x elem G-ben, amelynek épp h az f szerinti képe, azaz:

Mivel G ciklikus, ezért ez a bizonyos x kifejezhető a g generátorelem egész kitevős hatványaként, azaz létezik olyan n egész szám, hogy teljesül az alábbi:

Ha n pozitív, akkor ez a kifejezés a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

Ám ekkor f művelettartó tulajdonsága miatt a baloldal átírható az alábbi módon:

Azaz ebben az esetben h kifejezhető f(g) egész kitevős hatványaként.

Ha n negatív, akkor vezessük be a k=-n jelölést. Ilyenkor tehát k pozitív, és f(g^{-k})=h a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

Mivel f a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést, ezért a baloldal átírható az alábbi módon:

Ha g rendje végtelen, akkor tekintsük azt az f:\Z^+\to G függvényt, amely minden n egész számhoz hozzárendeli a g^n elemet. Mivel a 24.13. Tétel 6. pontja alapján g bármely két hatványa különbözik, ezért ez a függvény injektív lesz, hiszen különböző egész számok képe különböző G-beli elem lesz. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként – hiszen ciklikus –, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságairól szóló 24.11. Tétel 3. pontjából következik:

Azaz G ebben az esetben izomorf a \Z^+ csoporttal.

Tekintsünk most két tetszőleges maradékosztályt. Legyenek ezek például [n]_m és [k]_m, továbbá tegyük fel, hogy teljesül az alábbi:

Az f függvény definíciója alapján ez az egyenlet így írható fel:

Ám mivel g rendje véges, ezért a 24.13. Tétel 1. pontja alapján ekkor teljesül az alábbi kongruencia:

Ez viszont azt jelenti, hogy n és k ugyanazt a modulo m maradékosztályt reprezentálják, azaz:

Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságairól szóló 24.11. Tétel 3. pontjából, továbbá a maradékosztályok közötti összeadás definíciójából következik:

Azaz G ebben az esetben izomorf a (\Z/m\Z)^+ csoporttal.

A 24.13. Tétel 4. pontja alapján tehát azt a legkisebb pozitív m kitevőt keressük, amellyel a g^k elemet hatványozva a csoport e-vel jelölt egységelemét kapjuk. Ez a hatvány a 24.11. Tétel 2. pontja alapján a g elem mk-adik hatványa lesz, azaz felírható az alábbi egyenlet:

Ez a 24.13. Tétel 2. pontja alapján akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az alábbi kongruencia:

Mivel itt mind a baloldal, mind pedig a jobboldal osztható k-val, ezért alkalmazható a kongruenciák egyszerűsítéséről szóló a 20.3. Tétel, miszerint fennáll az alábbi kongruencia is:

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja alapján azt jelenti, hogy teljesül az alábbi oszthatóság:

Azt kaptuk tehát, hogy m a legkisebb olyan pozitív egész szám, amely teljesíti ezt az oszthatóságot. Így tehát ő a 17.2. Lemma alapján szükségképpen \frac{d}{(d,k)}-val egyezik meg. Azaz g^k rendjére valóban megkaptuk a tételben szereplő képletet: