Bizonyítás
Az 1. állítás: Mivel K részcsoport G-ben, ezért ő maga is csoport a G csoportműveletére nézve. Tekintsük azt az f_K:K\to H függvényt, amely teljesen megegyezik az eredeti f csoporthomomorfizmussal, viszont a teljes G helyett csak a K halmazon van értelmezve. Azaz minden x\in K esetén:
Emiatt nyilván a K részcsoport f szerinti képe ugyanaz a halmaz lesz, mint az f_K szerinti képe, azaz:
Az f_K függvény szintén csoporthomomorfizmus, hiszen örökli az eredeti f függvény művelettartó tulajdonságát. A 25.3. Definíció alapján igaz tehát az alábbi:
A 25.4. Tétel alapján viszont tetszőleges csoporthomomorfizmus képe részcsoport abban a csoportban, ahová az adott csoporthomomorfizmus mutat. Így tehát valóban:
A 2. állítás: Mivel K normálosztó G-ben, ezért egyúttal részcsoport is, így az 1. állítás alapján f(K) részcsoport H-ban. A 25.6. Definíció szerint tehát már csak azt kell megmutatni, hogy tetszőleges h\in H és x\in f(K) esetén a hxh^{-1} szorzat is benne van f(K)-ban. Mivel f szürjektív, ezért létezik olyan g\in G, amelyre f(g)=h. Továbbá x\in f(K) miatt a 25.12. Definíció alapján létezik olyan k\in K, amelyre f(k)=x.
Mivel f csoporthomomorfizmus, amely a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést is, ezért teljesül az alábbi:
Mivel azonban K normálosztó G-ben, ezért a 25.6. Definíció alapján a gkg^{-1} szorzat benne van K-ban. Így ennek f szerinti képe, azaz a hxh^{-1} szorzat benne van f(K)-ban, tehát f(K) valóban normálosztó H-ban.
A 3. állítás: Vezessük be a K=f^{-1}(L) jelölést. A K halmaz a 25.12. Definíció alapján nyilván részhalmaza G-nek. Először azt szeretnénk megmutatni, hogy K részcsoport, amihez a 24.5. Tétel feltételeit fogjuk ellenőrizni.
1. feltétel: műveleti zártság
Legyenek a és b a K halmaz két tetszőleges eleme. Mivel K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján f(a) és f(b) is benne van L-ben. Mivel L-ről tudjuk, hogy részcsoport H-ban, ezért rá teljesül a műveleti zártság, és így az f(a)\cdot f(b) szorzat is L-ben van. Ez a szorzat azonban f művelettartó tulajdonsága alapján átírható az alábbi módon:
Vagyis az ab szorzat f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján az ab szorzat csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli műveletre nézve.
2. feltétel: egységelem tartalmazása
Mivel L-ről tudjuk, hogy részcsoport H-ban, ezért ő tartalmazza annak egységelemét, amelyet most jelöljünk e_H-val. A 25.2. Lemma 1. pontja alapján azonban tudjuk, hogy a G csoport egységelemének – amelyet most jelöljünk e_G-vel – f szerinti képe e_H, azaz:
Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján e_G csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban tartalmazza a G csoport egységelemét.
3. feltétel: inverzképzésre való zártság
Legyen a tetszőleges K-beli elem. Mivel K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján f(a) benne van L-ben. Mivel L-ről tudjuk, hogy részcsoport H-ban, ezért ő zárt az inverzképzésre, vagyis az (f(a))^{-1} inverz is benne van L-ben. A 25.2. Lemma 2. pontja szerint azonban f tartja a G-beli inverzképzést, így teljesül az alábbi:
Vagyis az a^{-1} elem f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján az a^{-1} elem csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli inverzképzésre nézve.
Teljesül mindhárom feltétel, a K halmaz tehát valóban részcsoport G-ben. Már csak azt kell igazolni, hogy tartalmazza f magját. Tekintsünk egy tetszőleges x\in \ker f elemet. A 25.3. Definíció alapján f(x)=e_H, amiről a 24.5. Tétel 2. pontja alapján tudjuk, hogy L-ben van. A 25.12. Definíció szerint viszont ekkor x benne van f^{-1}(L)-ben. Vagyis valóban:
A 4. állítás: Vezessük be ismét a K=f^{-1}(L) jelölést. Mivel L normálosztó H-ban, ezért egyúttal részcsoport is, így a 3. állítás alapján K részcsoport G-ben. A 25.6. Definíció szerint tehát már csak azt kell megmutatni, hogy tetszőleges g\in G és k\in K esetén a gkg^{-1} szorzat is benne van K-ban. Mivel k\in K és K=f^{-1}(L), ezért a 25.12. Definíció alapján f(k)\in L.
Mivel f csoporthomomorfizmus, amely a 25.2. Lemma 2. pontja alapján tartja az inverzképzést is, ezért teljesül az alábbi
Mivel azonban L normálosztó H-ban és f(k)\in L, ezért a 25.6. Definíció alapján a jobboldalon álló szorzat benne van L-ben, és így a baloldali f(gkg^{-1}) is. Ez a 25.12. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy a gkg^{-1} szorzat benne van f^{-1}(L)-ben, ami ugye K-val egyenlő. Vagyis K valóban normálosztó G-ben.
∎