youproof.orgDeep Math. Human Access.

24.1. Definíció

Csoport

Legyen G valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van egy kétváltozós művelet. Nevezzük ezt a műveletet szorzásnak, és jelöljük \cdot-tal, vagy egymás után írással. Például egy a és egy b elem szorzatát jelöljük a\cdot b-vel vagy ab-vel. Az így kapott (G,\cdot ) algebrai struktúrát félcsoportnak nevezzük, amennyiben teljesül rá az alábbi tulajdonság:

1.
A \cdot művelet asszociatív, azaz tetszőleges G-beli a, b és c elemek esetén
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)

Azokat a félcsoportokat csoportoknak nevezzük, amelyek esetén az asszociativitáson kívül teljesülnek az alábbiak is:

2.
A \cdot műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet általában e-vel vagy 1-gyel jelölünk, és egységelemnek nevezzük. Az egységelemre tehát tetszőleges a\in G esetén teljesül, hogy
a\cdot e = e\cdot a = a
3.
A \cdot művelet invertálható, azaz tetszőleges a\in G esetén létezik olyan a^{-1}-gyel jelölt elem G-ben, amelyet a inverzének nevezünk, és amelyre teljesül az alábbi:
a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = e

Abel-csoportoknak vagy kommutatív csoportoknak nevezzük azokat a csoportokat, amelyek esetén a fentieken kívül teljesül az alábbi is:

4.
A \cdot művelet kommutatív, azaz tetszőleges G-beli a és b elemek esetén
a\cdot b = b\cdot a

Abel-csoportok esetén a csoportműveletet tipikusan a + szimbólummal, a neutrális elemet 0-val, egy a elem inverzét pedig -a-val szoktuk jelölni. Ilyenkor egységelem helyett nullelemről, inverz helyett pedig ellentettről beszélünk.

A fenti tulajdonságokat együttesen csoportaxiómáknak nevezzük.

♣