youproof.orgDeep Math. Human Access.

25.13. Tétel

Részcsoportok és normálosztók képe és teljes inverz képe

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, f:G\to H pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor igazak az alábbi állítások:

1.
Tetszőleges K\leq G részcsoport f szerinti képe részcsoport H-ban, azaz:
f(K)\leq H
2.
Ha f szürjektív, akkor tetszőleges K\triangleleft G normálosztó f szerinti képe normálosztó H-ban, azaz:
f(K)\triangleleft H
3.
Tetszőleges L\leq H részcsoport f szerinti teljes inverz képe részcsoport G-ben, amely tartalmazza az f magját, azaz:
\ker f \sube f^{-1}(L) \leq G
4.
Tetszőleges L\triangleleft H normálosztó f szerinti teljes inverz képe normálosztó G-ben, azaz:
f^{-1}(L)\triangleleft G

♣