25.2. Lemma
A csoporthomomorfizmus egységelem- és inverzképzéstartó
Legyenek (G,\cdot) és (H,\odot) tetszőleges csoportok, továbbá legyen adva egy közöttük lévő f:G\to H csoporthomomorfizmus, azaz tetszőleges G-beli a és b elemek esetén teljesüljön az alábbi:
f(a\cdot b) = f(a)\odot f(b)
Ekkor igazak az alábbi állítások:
1.
2.
Jelölje a -1 kitevő mind a G-beli, mind a H-beli inverzképzést. Ekkor minden G-beli a elemre teljesül az alábbi:
f(a^{-1})=(f(a))^{-1}
Szavakkal: egy csoporthomomorfizmus az inverzképzést és az egységelemet is tartja. Azaz egyrészt a G csoport egységelemének képe a H csoport egységeleme, másrészt bármely G-beli elem G-beli inverzének képe az elem képének H-beli inverze.
♣