youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az 1. állítás: Mivel egyrészt e_G a G csoport egységeleme, valamint f tartja a csoportműveletet, ezért a G csoport tetszőleges a elemére felírhatók az alábbiak:

\begin{aligned} f(a)&=f(a\cdot e_G)=f(a)\odot f(e_G) \\ f(a)&=f(e_G\cdot a)=f(e_G)\odot f(a) \end{aligned}

Másrészt, mivel e_H a H csoport egységeleme, ezért:

\begin{aligned} f(a)&=f(a)\odot e_H \\ f(a)&=e_H\odot f(a) \end{aligned}

Ezeket egymással összevetve az alábbiakat kapjuk:

\begin{aligned} \overbrace{f(a)\odot f(e_G)}^{=f(a)}&=\overbrace{f(a)\odot e_H}^{=f(a)} \\ \underbrace{f(e_G)\odot f(a)}_{=f(a)}&=\underbrace{e_H\odot f(a)}_{=f(a)} \end{aligned}

Ha az első egyenlet mindkét oldalát balról, vagy a második egyenlet mindkét oldalát jobbról megszorozzuk az f(a) elem H-beli inverzével, akkor megkapjuk az 1. állítást:

f(e_G)=e_H

A 2. állítás: Legyen a a G csoport valamely tetszőleges eleme, amelynek G-beli inverzét jelöljük a^{-1}-gyel. Ekkor az 1. állítás miatt:

\begin{aligned} f(a\cdot a^{-1})&=f(e_G)=e_H \\ f(a^{-1}\cdot a)&=f(e_G)=e_H \end{aligned}

Másrészt viszont f tartja a csoportműveletet, ezért:

\begin{aligned} f(a\cdot a^{-1})&=f(a)\odot f(a^{-1}) \\ f(a^{-1}\cdot a)&=f(a^{-1})\odot f(a) \end{aligned}

Ezeket egymással összevetve ezt kapjuk:

\begin{aligned} \overbrace{e_H}^{=f(a\cdot a^{-1})}&=\overbrace{f(a)\odot f(a^{-1})}^{=f(a\cdot a^{-1})} \\ \underbrace{e_H}_{=f(a^{-1}\cdot a)}&=\underbrace{f(a^{-1})\odot f(a)}_{=f(a^{-1}\cdot a)} \end{aligned}

Mivel azt kaptuk, hogy f(a) és f(a^{-1}) szorzata mindkét sorrendben épp a H csoport egységeleme, valamint a 14.10. Tétel alapján az inverzképzés egyértelmű, ezért f(a^{-1}) valóban nem lehet más, csakis az f(a) elem H-beli inverze, ahogyan a tétel állítja.

∎