Bizonyítás
A 25.8. Tétel alapján a mellékosztályok közötti \odot művelet jóldefiniált, azaz az eredményként kapott mellékosztály nem függ az a és b reprezentánselemek megválasztásától. Így G/N-re elegendő a 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákat ellenőrizni.
Asszociativitás
Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges A, B és C mellékosztályok esetén teljesül az alábbi:
A művelet tételben szereplő definíciója alapján ez így írható fel valamilyen G-beli a, b és c reprezentánselemek segítségével:
A reprezentánselemek között viszont teljesül ez a tulajdonság, hiszen ők a G csoport elemei.
G/N egységeleme
A G/N csoportban kell egy olyan E mellékosztályt mutatni, amelyre tetszőleges A=aN mellékosztály esetén teljesül az alábbi:
Ha a G csoport egységeleme e, akkor az E=eN mellékosztály épp megfelelő lesz egységelemnek a G/N csoportban, hiszen:
Inverzképzés G/N-ben
Itt azt kell megmutatni, hogy amennyiben E a G/N csoport egységeleme, úgy tetszőleges A=aN mellékosztályhoz létezik olyan A^{-1}-gyel jelölt mellékosztály, amelyre teljesül az alábbi:
Az A^{-1}=(a^{-1})N mellékosztály épp megfelelő lesz inverz elemnek a G/N csoportban, hiszen:
A G/N halmaz tehát valóban csoportot alkot a tételben szereplő művelettel. Most nézzük meg, hogy mi van azokban az esetekben, amikor G Abel-csoport.
G/N kommutativitása
Most tegyük fel, hogy G Abel-csoport, és legyen az A=aN valamint a B=bN két tetszőleges mellékosztály a G/N csoportban. Ekkor G kommutativitása miatt teljesül az alábbi, azaz G/N is valóban Abel-csoport:
Meg kell még mutatni, hogy a tételben szereplő f:G\to G/N függvény egy csoporthomomorfizmus az eredeti G csoport és a G/N faktorcsoport között. Az f függvény a tétel szövege alapján minden G-beli g elemhez a gN mellékosztályt rendeli hozzá G/N-ből. Tegyük fel, hogy g és h a G csoport tetszőleges elemei. Ekkor a művelettartó tulajdonság az alábbiak alapján valóban teljesül:
Továbbá f nyilván szürjektív. Ugyanis G/N elemei a 24.7. Tétel alapján ekvivalencia-osztályok, tehát a 13.3. Definíció értelmében mindegyiknek van legalább egy eleme. Az f viszont minden mellékosztályt hozzárendeli a saját elemeihez, és így valóban nincs olyan mellékosztály, amely ne lenne hozzárendelve egyetlen G-beli elemhez sem.
Végül azt kell megmutatni, hogy f magja épp az N normálosztó. Egy tetszőleges G-beli g elemhez az f csoporthomomorfizmus pontosan akkor rendeli hozzá a G/N csoport egységelemét – azaz az eN mellékosztályt –, ha fennáll az alábbi halmazegyenlőség:
Minthogy N egy részcsoport G-ben – hiszen normálosztó –, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja alapján ő az, aki tartalmazza e-t, azaz
Az f(g)=eN tehát akkor és csak akkor teljesül, ha gN=N, azaz ha g benne van N-ben. Az N normálosztó tehát valóban magja az f csoporthomomorfizmusnak.
∎