Megjegyzés

Vegyük észre, hogy ez a bizonyítás szinte szó szerint megegyezik a 18.21. Tétel bizonyításával. A különbség pusztán annyi, hogy abban a tételben a G csoport szerepét az ott szereplő R gyűrű additív csoportja, a H részcsoport szerepét az ott szereplő I ideál, mint részgyűrű, végül a \sim reláció szerepét az I ideál szerinti kongruenciareláció tölti be. Az I ideál szerinti maradékosztályok tehát tulajdonképpen az R gyűrű additív csoportjának I szerinti mellékosztályai.

Ebben az esetben azonban nincs értelme külön bal- illetve jobboldali mellékosztályokról beszélnünk, hiszen az R gyűrűn értelmezett + művelet kommutativitása miatt ezek nyilván megegyeznek. Egy általános csoport esetén azonban nem követeljük meg a csoportművelet kommutativitását, ezért ilyenkor a bal- és jobboldali mellékosztályok is általában különböző halmazok lesznek, azaz általában gH\neq Hg.

A 18.21. Tételben definiált maradékosztályokhoz – vagy speciálisan az egész számok maradékosztályaihoz – hasonlóan a mellékosztályok esetén is beszélhetünk reprezentáns elemekről. Tegyük fel például, hogy egy H részcsoport szerinti bal- vagy jobboldali mellékosztályból a g elemet választottuk reprezentánselemnek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a g elem reprezentálja az adott mellékosztályt. Ekkor egyrészt az iménti tétel alapján az adott baloldali mellékosztályt, mint halmazt gH – vagy jobboldali mellékosztály esetén Hg – alakban tudjuk leírni. Másrészt pedig tetszőleges a elemről könnyen eldönthető, hogy g-vel azonos baloldali mellékosztályban van-e, azaz teljesül-e a tételben szereplő g\sim a reláció. Ehhez csak azt kell megvizsgálni, hogy a g^{-1}a – vagy jobboldali mellékosztály esetén az ag^{-1} – szorzat benne van-e a H részcsoportban.

♣