Bizonyítás

A 13.5. Definíció alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy az I ideál szerinti kongruenciareláció reflexív, tranzitív és szimmetrikus. Az alábbiakban legyenek a, b és c az R gyűrű tetszőleges elemei. A bizonyítás során végig arra fogunk támaszkodni, hogy I ideál, tehát a 18.18. Definíció alapján egyben részgyűrű is, és így érvényesek rá a 18.15. Tételben felsorolt tulajdonságok.

Mivel nyilván a-a=0 teljesül, és az R nulleleme a 18.15. Tétel 3. pontja alapján benne van I-ben, ezért fennáll az a\equiv a\pod I kongruencia, így teljesül a reflexivitás.

Ha a-b és b-c benne vannak I-ben, akkor a 18.15. Tétel 1. pontja alapján az ő összegük, azaz a-b+b-c=a-c is benne van I-ben. Így tehát az a\equiv b\pod I és b\equiv c\pod I kongruenciákból következik az a\equiv c\pod I kongruencia, azaz teljesül a tranzitivitás is.

Végül ha a-b benne van I-ben, akkor a 18.15. Tétel 4. pontja alapján az ő ellentettje, azaz b-a is benne van I-ben, vagyis a\equiv b\pod I-ből következik b\equiv a\pod I, ami épp a szimmetriát jelenti.

Az I szerinti kongruencia tehát valóban egy ekvivalenciareláció, amely az R gyűrű alaphalmazát ekvivalencia-osztályokra bontja. Ezek lesznek a modulo I maradékosztályok. Az r elemet tartalmazó maradékosztály pontosan azokból az x elemekből fog állni, amelyekre teljesül az x\equiv r\pod I kongruencia. A 18.20. Definíció alapján ez pontosan azt jelenti, hogy az x-r különbség benne van I-ben. Ez viszont a 18.19. Definícióban bevezetett komplexusösszeadással kifejezve pontosan azt jelenti, hogy x benne van az r+I halmazban.

∎