Bizonyítás

A 13.5. Definíció alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy az $I$ ideál szerinti kongruenciareláció reflexív, tranzitív és szimmetrikus. Az alábbiakban legyenek $a$, $b$ és $c$ az $R$ gyűrű tetszőleges elemei. A bizonyítás során végig arra fogunk támaszkodni, hogy $I$ ideál, tehát a 18.18. Definíció alapján egyben részgyűrű is, és így érvényesek rá a 18.15. Tételben felsorolt tulajdonságok.

Mivel nyilván $a-a=0$ teljesül, és az $R$ nulleleme a 18.15. Tétel 3. pontja alapján benne van $I$-ben, ezért fennáll az $a\equiv a\pod I$ kongruencia, így teljesül a reflexivitás.

Ha $a-b$ és $b-c$ benne vannak $I$-ben, akkor a 18.15. Tétel 1. pontja alapján az ő összegük, azaz $a-b+b-c=a-c$ is benne van $I$-ben. Így tehát az $a\equiv b\pod I$ és $b\equiv c\pod I$ kongruenciákból következik az $a\equiv c\pod I$ kongruencia, azaz teljesül a tranzitivitás is.

Végül ha $a-b$ benne van $I$-ben, akkor a 18.15. Tétel 4. pontja alapján az ő ellentettje, azaz $b-a$ is benne van $I$-ben, vagyis $a\equiv b\pod I$-ből következik $b\equiv a\pod I$, ami épp a szimmetriát jelenti.

Az $I$ szerinti kongruencia tehát valóban egy ekvivalenciareláció, amely az $R$ gyűrű alaphalmazát ekvivalencia-osztályokra bontja. Ezek lesznek a modulo $I$ maradékosztályok. Az $r$ elemet tartalmazó maradékosztály pontosan azokból az $x$ elemekből fog állni, amelyekre teljesül az $x\equiv r\pod I$ kongruencia. A 18.20. Definíció alapján ez pontosan azt jelenti, hogy az $x-r$ különbség benne van $I$-ben. Ez viszont a 18.19. Definícióban bevezetett komplexusösszeadással kifejezve pontosan azt jelenti, hogy $x$ benne van az $r+I$ halmazban.

∎