14.12. Definíció

Gyűrű, test

Legyen $R$ valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük $+$ -szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük $\cdot$ -tal, vagy egymás után írással. Az így kapott $(R, +, \cdot)$ algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük, amennyiben teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok – az úgynevezett gyűrűaxiómák:

+

művelet kommutatív és asszociatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

a + b (a + b) + c = b + a = a + (b + c)

+

műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű nullelemének nevezünk és

0

-val jelölünk. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elem esetén

a + 0 = a

+

művelet invertálható. Egy

a

elem erre a műveletre vonatkozó inverzét

a

ellentettjének (vagy additív inverzének) nevezzük, és

- a

-val jelöljük. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elemhez létezik olyan

- a

-val jelölt elem, hogy

a + (- a) = 0

\cdot

művelet asszociatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

\cdot

művelet disztributív a

+

műveletre nézve, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

a \cdot (b + c) (b + c) \cdot a = ab + a c = ba + c a

Azokat a gyűrűket kommutatív gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

\cdot

művelet kommutatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

és

b

elemek esetén

a \cdot b = b \cdot a

Azokat a gyűrűket egységelemes gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

\cdot

műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű egységelemének nevezünk és

1

-gyel jelölünk. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elem esetén

1 \cdot a a \cdot 1 = a = a

Egy $a$ elem $\cdot$ műveletre vonatkozó inverzét – amennyiben létezik – $a$ multiplikatív inverzének nevezzük, és $a^{- 1}$ -gyel, vagy $\frac{1}{a}$ -val jelöljük. Ezek esetében tehát

a \cdot a^{- 1} a^{- 1} \cdot a = 1 = 1

Azokat az egységelemes és kommutatív gyűrűket testnek nevezzük, amelyek esetén az 1-7. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

A gyűrű nullelemén kívül minden

R

-beli

a

elemnek létezik multiplikatív inverze.

Azt a gyűrűt, amely kizárólag a $0$ elemet – azaz a gyűrű nullelemét – tartalmazza, nullgyűrűnek nevezzük. Ezt definíció szerint nem tekintjük egységelemes gyűrűnek (és így persze testnek sem) annak ellenére, hogy a $0$ ebben az elfajult esetben nyilvánvalóan egyrészt neutrális elem, másrészt önmaga inverze mindkét műveletre nézve.

♣

Iratkozz fel a hírlevelünkre