youproof.orgDeep Math. Human Access.

14.12. Definíció

Gyűrű, test

Legyen R valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük +-szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük \cdot-tal, vagy egymás után írással. Az így kapott (R,+,\cdot ) algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük, amennyiben teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok – az úgynevezett gyűrűaxiómák:

1.
A + művelet kommutatív és asszociatív, azaz tetszőleges R-beli a, b és c elemek esetén
\begin{aligned} a+b &= b+a \\ (a+b)+c &= a+(b+c) \end{aligned}
2.
A + műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű nullelemének nevezünk és 0-val jelölünk. Azaz tetszőleges R-beli a elem esetén
a+0 = a
3.
A + művelet invertálható. Egy a elem erre a műveletre vonatkozó inverzét a ellentettjének (vagy additív inverzének) nevezzük, és -a-val jelöljük. Azaz tetszőleges R-beli a elemhez létezik olyan -a-val jelölt elem, hogy
a+(-a)=0
4.
A \cdot művelet asszociatív, azaz tetszőleges R-beli a, b és c elemek esetén
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)
5.
A \cdot művelet disztributív a + műveletre nézve, azaz tetszőleges R-beli a, b és c elemek esetén
\begin{aligned} a\cdot (b+c) &= ab + ac \\ (b+c) \cdot a &= ba + ca \end{aligned}

Azokat a gyűrűket kommutatív gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

6.
A \cdot művelet kommutatív, azaz tetszőleges R-beli a és b elemek esetén
a\cdot b = b\cdot a

Azokat a gyűrűket egységelemes gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

7.
A \cdot műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű egységelemének nevezünk és 1-gyel jelölünk. Azaz tetszőleges R-beli a elem esetén
\begin{aligned} 1\cdot a &= a \\ a\cdot 1 &= a \end{aligned}

Egy a elem \cdot műveletre vonatkozó inverzét – amennyiben létezik – a multiplikatív inverzének nevezzük, és a^{-1}-gyel, vagy \frac{1}{a}-val jelöljük. Ezek esetében tehát

\begin{aligned} a\cdot a^{-1} &= 1 \\ a^{-1}\cdot a &= 1 \end{aligned}

Azokat az egységelemes és kommutatív gyűrűket testnek nevezzük, amelyek esetén az 1-7. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

8.
A gyűrű nullelemén kívül minden R-beli a elemnek létezik multiplikatív inverze.

Azt a gyűrűt, amely kizárólag a 0 elemet – azaz a gyűrű nullelemét – tartalmazza, nullgyűrűnek nevezzük. Ezt definíció szerint nem tekintjük egységelemes gyűrűnek (és így persze testnek sem) annak ellenére, hogy a 0 ebben az elfajult esetben nyilvánvalóan egyrészt neutrális elem, másrészt önmaga inverze mindkét műveletre nézve.

♣