youproof.orgDeep Math. Human Access.

14.12. Definíció

Gyűrű, test

Legyen RR valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük ++-szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük ⋅\cdot-tal, vagy egymás után írással. Az így kapott (R,+,⋅)(R,+,\cdot ) algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük, amennyiben teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok – az úgynevezett gyűrűaxiómák:

1.
A ++ művelet kommutatív és asszociatív, azaz tetszőleges RR-beli aa, bb és cc elemek esetén
a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)\begin{aligned} a+b &= b+a \\ (a+b)+c &= a+(b+c) \end{aligned}
2.
A ++ műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű nullelemének nevezünk és 00-val jelölünk. Azaz tetszőleges RR-beli aa elem esetén
a+0=aa+0 = a
3.
A ++ művelet invertálható. Egy aa elem erre a műveletre vonatkozó inverzét aa ellentettjének (vagy additív inverzének) nevezzük, és −a-a-val jelöljük. Azaz tetszőleges RR-beli aa elemhez létezik olyan −a-a-val jelölt elem, hogy
a+(−a)=0a+(-a)=0
4.
A ⋅\cdot művelet asszociatív, azaz tetszőleges RR-beli aa, bb és cc elemek esetén
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)
5.
A ⋅\cdot művelet disztributív a ++ műveletre nézve, azaz tetszőleges RR-beli aa, bb és cc elemek esetén
a⋅(b+c)=ab+ac(b+c)⋅a=ba+ca\begin{aligned} a\cdot (b+c) &= ab + ac \\ (b+c) \cdot a &= ba + ca \end{aligned}

Azokat a gyűrűket kommutatív gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

6.
A ⋅\cdot művelet kommutatív, azaz tetszőleges RR-beli aa és bb elemek esetén
a⋅b=b⋅aa\cdot b = b\cdot a

Azokat a gyűrűket egységelemes gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

7.
A ⋅\cdot műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű egységelemének nevezünk és 11-gyel jelölünk. Azaz tetszőleges RR-beli aa elem esetén
1⋅a=aa⋅1=a\begin{aligned} 1\cdot a &= a \\ a\cdot 1 &= a \end{aligned}

Egy aa elem ⋅\cdot műveletre vonatkozó inverzét – amennyiben létezik – aa multiplikatív inverzének nevezzük, és a−1a^{-1}-gyel, vagy 1a\frac{1}{a}-val jelöljük. Ezek esetében tehát

a⋅a−1=1a−1⋅a=1\begin{aligned} a\cdot a^{-1} &= 1 \\ a^{-1}\cdot a &= 1 \end{aligned}

Azokat az egységelemes és kommutatív gyűrűket testnek nevezzük, amelyek esetén az 1-7. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

8.
A gyűrű nullelemén kívül minden RR-beli aa elemnek létezik multiplikatív inverze.

Azt a gyűrűt, amely kizárólag a 00 elemet – azaz a gyűrű nullelemét – tartalmazza, nullgyűrűnek nevezzük. Ezt definíció szerint nem tekintjük egységelemes gyűrűnek (és így persze testnek sem) annak ellenére, hogy a 00 ebben az elfajult esetben nyilvánvalóan egyrészt neutrális elem, másrészt önmaga inverze mindkét műveletre nézve.

♣