Episode I
Alice és Bob
14. fejezet
Alice és Bob gyűrűje
Az előző fejezetben kényelmi okok miatt elkezdtük kibővíteni a szám fogalmát. Azon a nem is olyan egyszerű absztrakciós úton kezdtünk el haladni, amelyen őseinknek is végig kellett menniük. Eddig a számokat bizonyos dolgok, sokaságok megszámlálására használtuk, így látszólag semmi értelme sincs a "semminél kevesebb" mennyiségekről beszélni. Ezen túllépve azonban láthattuk, hogy például adósság, vagy valamilyen hiány kifejezésére igen praktikus eszközt kaphatunk a kezünkbe. Ennek az absztrakciónak a keretében új algebrai fogalmakkal ismerkedtünk meg.
Az egész számokat természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként határoztuk meg, amelyek között egy összeadásnak nevezett műveletet is definiáltunk. Ezután elkezdtük beágyazni ebbe az új számhalmazba a Peano-axiómarendszer szerinti \N halmazt. De vajon hogyan tudjuk a szorzás műveletét is ésszerű módon kiterjeszteni a számegyenes 0-tól balra eső részére? Mit jelent az absztrakt algebrában a "neutrális elem", az "inverz", a "gyűrű" és a "test" fogalma? Hogyan definiálható a "kivonás" művelete az egész számok között? Mi a helyzet az osztással? Ebben a fejezetben erről lesz szó...
Figyelem! Ez a fejezet erőteljesen épít a 13. fejezetben bevezetett alábbi definíciókra és a hozzájuk kapcsolódó tételekre:
E definíciók kontextusba helyezése, valamint a hozzájuk kapcsolódó tételek és egyéb fogalmak megismerése miatt erőteljesen ajánlott elolvasni a 13. fejezetet, mivel gyakran hivatkozni fogunk rájuk.
Ahhoz, hogy a szorzást is kiterjesszük az előző fejezetben bevezetett új számkörre, ismét az intuíciónkra kell hagyatkoznunk. Kezdhetnénk persze azzal, hogy megadunk egy képletet, mint a \Z halmaz elemei közötti szorzás definícióját. Ezzel azonban elveszne az az információ, hogy miért éppen azt a képletet használjuk, nem pedig mást. Először is jelöljük ki a céljainkat.
Az előző fejezetben ugye azt mondtuk, hogy a Peano-axiómarendszer által definiált \N halmazt szeretnénk beágyazni a \Z halmazba egy úgynevezett struktúratartó leképezéssel. Az eredeti \N halmazt átmenetileg \N_1-gyel, míg annak \Z-beli képét \N_2-vel jelöltük. A 13.13. Definíció szerinti \oplus műveletről a 13.14. Tételben megmutattuk, hogy az az f(n)=[(n;0)] leképezés mellett valóban "ugyanúgy viselkedik" az \N_2 halmazon, mint a természetes számok összeadása az \N_1 halmazon.
Hasonló a célunk a most bevezetendő új művelettel kapcsolatban ugyanezen f leképezés mellett. Ezt a műveletet "szorzásnak" fogjuk nevezni, átmenetileg a \odot szimbólummal fogjuk jelölni, és ugyanúgy a teljes \Z halmazon szeretnénk értelmezni, mint az \oplus műveletet. Ennek a halmaznak az elemei ugye a 13.8. Definíció alapján természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályai. Mi lehet hát két ilyen ekvivalencia-osztály "szorzata"?
Ahhoz, hogy ennek képletét megalkothassuk, egyenleteket kell tudnunk megoldani az (\N ,+,\cdot ) algebrai struktúrában, azaz a természetes számok halmazán. Lévén, hogy nem áll rendelkezésünkre mind a négy alapművelet, ezért ehhez szükségünk lesz némi segítségre.
14.1Egyenletek megoldása az \N halmazon
Most lépjünk vissza egy kicsit az eddig felépített \N halmazhoz és az azon értelmezett összeadáshoz és szorzáshoz. Tegyük fel, hogy a 2\cdot x+3=7 egyenletet szeretnénk megoldani. Általános iskolában mindenki megtanulta, hogy ha egy érvényes egyenlet mindkét oldalából kivonunk egy tetszőleges számot, vagy mindkét oldalt elosztjuk egy tetszőleges nemnulla számmal, akkor az így kapott egyenletek továbbra is érvényben maradnak. Nincs más dolgunk hát, mint ilyen lépésekkel addig rendezgetni az egyenletet, míg az egyik oldalon kizárólag az ismeretlen marad. Ekkor a másik oldal épp a megoldás lesz.
Ezzel a gondolatmenettel tehát vonjunk ki mindkét oldalból 3-at, majd mindkét oldalt osszuk el 2-vel, így megkapjuk a megoldást:
Csakhogy van ezzel egy kis probléma: nem ismerünk olyan fogalmat, mint "kivonás" vagy "osztás". Ne feledjük, hogy jelenleg a számelméletet az axiómákból szeretnénk felépíteni! Márpedig ebben az esetben nem hivatkozhatunk olyan fogalmakra, amiket nem definiáltunk pontosan.
Szerencsére azonban ez a probléma könnyen áthidalható két okos kis segédtétellel. Az egyik ezek közül a 12.7. szakaszban már ismertetett 12.18. Lemma. Ez azt mondja ki, hogy tetszőleges a, b és c természetes számok esetén a+c=b+c-ből a=b következik. Az első egyenletmegoldó eszközünk tehát már rendelkezésre áll.
A fenti példában szereplő 2\cdot x + 3 = 7 egyenlet megoldásának első lépésében tehát ahelyett, hogy "kivonnánk" mindkét oldalból 3-at – ezáltal nem definiált fogalmat használva –, az egyenlet jobboldalát cselesen felírjuk két természetes szám összegeként:
Ebből már a 12.18. Lemma miatt következik, hogy 2\cdot x = 4. Mondhatnánk, hogy ez szőrszálhasogatás, azonban a 18.2. szakaszban látni fogjuk, hogy mennyire könnyen tehetünk olyan logikailag helyesnek tűnő lépéseket, amelyek valójában hibásak.
De vajon mi a helyzet a következő lépéssel, amikoris az egyenlet mindkét oldalát "elosztjuk" 2-vel? Az "osztás" fogalmát szintén nem ismerjük, ezért itt is megpróbáljuk megkerülni ezt a problémát, és az egyenlet jobboldalát felírjuk két természetes szám szorzataként:
Kérdés, hogy vajon ebből következik-e, hogy x=2? És úgy általában abból, hogy a\cdot c = b \cdot c, vajon következik-e, hogy a = b? Az alábbiakban ezt fogjuk bizonyítani. Ehhez előszöris emlékeztetnénk az Olvasót a korábban már szintén bizonyított 12.19. Lemmára, amely azt mondja ki, hogy a természetes számok körében egy összeadás eredménye csak úgy lehet 0, ha mindkét tagja 0. Most egy ehhez hasonló állítást mondunk ki a szorzásra vonatkozóan.
Eszerint tehát egy szorzás eredménye csak úgy lehet 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Ez a tulajdonság persze nyilvánvalónak tűnik, ám – mint már említettük – a 18.2. szakaszban olyan algebrai struktúrákra is mutatunk majd példát, amelyekben ez nem teljesül. Most nézzük a 14.1. Lemma bizonyítását.
Ennek segítségével mostmár megfogalmazhatjuk azt a segédtételt, amely általánosságban is lehetővé teszi, hogy egy egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a tényezővel egyszerűsíthessük.
Innentől kezdve tehát egy természetes számokon értelmezett egyenlet megoldása során legálisan egyszerűsíthetjük – vagy némiképp helytelenül fogalmazva "oszthatjuk el" – az egyenlet mindkét oldalát egy nemnulla természetes számmal. Azaz a korábbi példaegyenletünk megoldása során a 2\cdot x = 4 állításból a most bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy x=2.
Nagyon fontos azonban, hogy csak nemnulla természetes számmal szabad egyszerűsíteni. Például a\cdot 0=b\cdot 0 tetszőleges a és b természetes számokra teljesül, így ebből nem következik, hogy a=b.
14.2Hogyan szorozzunk a \Z halmazon?
A 13.11. Definícióban bevezettük a pozitív és negatív egész számok általános iskolából már megszokott jelölését a meglehetősen szokatlan [(a;b)] jelölésmód helyett. Eszerint az [(n;0)] alakú egész számokat – amelyek ugye n aranytallérnyi betétet jelentenek – pozitív egész számoknak neveztük, és +n-nel jelöltük. Ezzel szemben a [(0;n)] alakú egész számokat – amelyek tehát n aranytallérnyi adósságot jelölnek – negatív egész számoknak neveztük, és -n-nel jelöltük. Végül a [(0;0)] alakban felírható egész számot nullának neveztük, és 0-val jelöltük. Ezt a 13.10. Tétel miatt tehettük meg, amely szerint minden egész szám felírható valamelyik alakban e három közül. Egyelőre azonban maradjunk a "szokatlan" jelölésmódnál mindaddig, amíg a megszokott számolási szabályok be nem bizonyosodnak.
Tegyük fel, hogy van egy [(a;b)]-vel és egy [(c;d)]-vel jelölt egész számunk. Kérdés, hogy mi legyen a [(a;b)] \odot [(c;d)] "szorzás", mint művelet eredménye? Szabad kezet kaptunk a képlet megalkotásához, így azt úgy alakíthatjuk ki, ahogy nekünk tetszik. Az egyetlen megkötés, hogy kizárólag az eddig már megalkotott fogalmainkat használhatjuk, mint amilyen például a természetes számok összeadása és szorzása. Nyilván azt szeretnénk elérni, hogy a 13.6. szakaszban bevezetett \oplus művelethez hasonlóan a megszokott számolási szabályok teljesüljenek a most bevezetendő \odot műveletre is. Ennek szellemében kell tehát megalkotnunk a képletet.
Egy rövid előzetes megjegyzés: eddig a természetes számok közötti szorzás jelölésére minden esetben kiírtuk a \cdot műveleti jelet. Mostantól azonban a jobb olvashatóság kedvéért ezt esetenként el fogjuk hagyni. Így például az xy kifejezés ugyanazt fogja jelenteni, mint az x\cdot y kifejezés. Remélhetőleg ez nem fogja összezavarni az Olvasót, hiszen már az általános iskolában is bevett szokás időnként elhagyni a szorzást jelölő \cdot műveleti jelet.
Térjünk most vissza a \Z halmazon értelmezendő \odot művelethez, és intuitív módon alkossuk meg az [(a;b)]\odot [(c;d)] szorzat eredményének képletét. Az eredmény ugye szintén valamilyen egész szám lesz egy betétet és egy adósságot jelző komponenssel. Az intuíciónk azt mondatja velünk, hogy mindkét komponens valamilyen módon függeni fog az eredeti [(a;b)] és [(c;d)] egész számok mindkét komponensétől.
Ennél közelebbit azonban egyelőre nem tudunk mondani, ezért az alábbi viszonylag általános képletből indulunk ki, aztán meglátjuk, jól tippeltünk-e:
Az eredmény első komponensét tehát úgy kapjuk, hogy képezzük az eredeti két egész szám két-két komponensének összes lehetséges szorzatát, ezeket a szorzatokat ellátjuk valamilyen – egyelőre még ismeretlen – A, B, C és D együtthatókkal, majd az így kapott tagokat összeadjuk. Az eredmény második komponensét ugyanígy kapjuk, csak ott az E, F, G és H – egyelőre szintén ismeretlen – együtthatókat használjuk. Ez a folyamat látható a 14.1. ábrán:
A feladatunk tehát az A, B, C és D, valamint az E, F, G és H természetes számok, mint együtthatók meghatározása oly módon, hogy érvényben maradjanak a szokásos számolási szabályok. Most nézzük meg, milyen megkötéseket kell tennünk a keresett nyolc együtthatóra ahhoz, hogy ez teljesüljön.
I. követelmény: az f leképezés legyen szorzattartó
Az első és legfontosabb követelményünk, hogy az f(n)=[(n;0)] legyen egy szorzattartó leképezés a "régi" \N_1 és az "új" \N_2 halmaz között. Azaz ha tetszőleges a és b természetes számoknak képezzük az a\cdot b szorzatát az \N_1 halmazban, majd vesszük ennek f szerinti képét az \N_2 halmazban, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az a és b elemek f(a) és f(b) képeit \odot-oznánk össze az \N_2 halmazban. Ez látható a 14.2. ábrán.
Ezt képlettel így írhatjuk fel:
Az egyenlet baloldalára a fentebbi általános képletünket felírva – és persze a 0 tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:
Azt kaptuk tehát, hogy az (A\cdot nk;E\cdot nk) természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett \sim reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint az (nk;0) számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy
A baloldalt 0-val egyszerűsítve, a jobboldalon pedig a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:
Itt feltételezhetjük, hogy nk\neq 0, máskülönben ez az egyenlet A és E megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont nk\neq 0, akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy
A keresett nyolc együtthatóról tehát azt már tudjuk, hogy az A együtthatónak E-nél egy 1-gyel nagyobb természetes számot kell választanunk. Ha így teszünk, akkor a fentiek alapján az f leképezés biztosan "tartani fogja" a természetes számok közötti szorzást. Tudományosabban fogalmazva ekkor f egy beágyazás lesz az (\N_1 , \cdot ) és a (\Z , \odot ) algebrai struktúrák között.
Mondhatnánk, hogy készen is vagyunk. Hiszen ez alapján ha az A=1 választással élünk, a többi együtthatót pedig 0-nak választjuk, akkor megvan a művelettartás. Igenám, de mi szeretnénk egyéb megkötéseket is tenni az \odot műveletre annak érdekében, hogy a szokásos számolási szabályok érvényben maradjanak ne csak az \N_2-n belül, hanem a \Z halmaz többi részén is.
II. követelmény: adósság szorzása pozitív egész számmal
Emlékezzünk vissza, hogy mi motiválta a természetes számok szorzásának bevezetését a 12.1. szakaszban. Ugye szerettük volna lerövidíteni az olyan kifejezéseket, amikor egy számot önmagával kell sokszor összeadni. Például az a+a+a+a+a kifejezést így rövidíthettük: a\cdot 5. Érdemes lenne megtartani ezt a tulajdonságot a \odot művelet esetén is.
A pozitív egész számokra ezt már biztosítottuk az I. követelménnyel. Most nézzük meg, mi a helyzet akkor, ha egy adósságot reprezentáló egész számot kell önmagával sokszor összeadni. Tekintsük például a [(0;n)] \oplus [(0;n)] \oplus [(0;n)] kifejezést. Ez egyrészt a \oplus művelet 13.13. Definíciója miatt így írható fel:
Másrészt viszont itt tulajdonképpen arról van szó, hogy a [(0;n)] adósságot reprezentáló negatív egész számot \odot-ozzuk össze a 3 természetes szám f szerinti képével, azaz a [(3;0)] pozitív egész számmal. Tehát lényegében:
Általánosságban tehát a \odot művelettel szembeni második követelményünk, hogy tetszőleges n és k természetes számok esetén teljesüljön az alábbi:
Az egyenlet baloldalára az általános képletünket felírva – és persze a 0 tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:
Azt kaptuk tehát, hogy a (C\cdot nk;G\cdot nk) természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett \sim reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a (0;nk) számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy
A jobboldalt 0-val egyszerűsítve, a baloldalon pedig a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:
Itt feltételezhetjük, hogy nk\neq 0, máskülönben ez az egyenlet C és G megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont nk\neq 0, akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy
A keresett nyolc együtthatóról most tehát már azt is tudjuk, hogy a G együtthatónak C-nél egy 1-gyel nagyobb természetes számot kell választanunk. Ha így teszünk, akkor a fentiek alapján egy adósságot jobbról megszorozva egy k természetes számnak megfelelő pozitív egész számmal, lényegében az adósság k-szorosát kapjuk. Most nézzük, milyen megkötéseket lenne érdemes még tenni a \odot műveletre.
III. követelmény: pozitív egész szám szorzása adóssággal
Szeretnénk, ha a természetes számok közötti szorzáshoz hasonlóan a \odot művelet is kommutatív lenne. A pozitív egész számokra ezt már biztosítottuk az I. követelménnyel. Jó volna azonban, ha a kommutativitás a II. követelmény kapcsán felvázolt szituációban is teljesülne, tehát amikor az egyik tényező adósságot, a másik pedig betétet reprezentál.
Általánosságban tehát a \odot művelettel szembeni harmadik követelményünk, hogy tetszőleges n és k természetes számok esetén teljesüljön az alábbi:
Az egyenlet mindkét oldalára az általános képletünket felírva – és persze a 0 tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:
Azt kaptuk tehát, hogy a (C\cdot nk;G\cdot nk) természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett \sim reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a (B\cdot nk;F\cdot nk) számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy
Mindkét oldalon a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:
Itt feltételezhetjük, hogy nk\neq 0, máskülönben ez az egyenlet C, F, G és B megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont nk\neq 0, akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy
A II. követelmény kapcsán viszont már megállapítottuk, hogy G=C+1, emiatt:
Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük C-vel:
Végül nézzük az utolsó, \odot műveletre vonatkozó megkötésünket.
IV. követelmény: adósság szorzása adóssággal
Az előző három követelményben felvázolt szituációk esetén legalább az egyik tényező lényegében egy természetes szám, pontosabban annak az f leképezés szerinti képe volt. Ezeket az eseteket viszonylag könnyű volt a valósághoz kötni, most azonban kénytelenek leszünk ettől némiképp elvonatkoztatni. Ha ugyanis a \odot műveletet a teljes \Z halmazon szeretnénk értelmezni, akkor muszáj kezelnünk azokat az eseteket is, amikor mindkét tényező egy-egy adósságot reprezentáló negatív egész szám.
Vonatkoztassunk most el attól az apróságtól, hogy ennek látszólag nincs értelme, és tegyük fel, hogy a [(0;n)] \odot [(0;k)] szorzás eredménye is egy valamilyen egész szám. Azt még nem tudjuk, hogy pontosan melyik, az azonban biztos, hogy a \odot műveletnek is jóldefiniáltnak kell lennie a 13.6. szakaszban leírtak szerinti értelemben. Mit is jelent ez pontosan?
A 13.13. Definíció szerinti \oplus művelet esetén mindkét tag egy-egy ekvivalencia-osztály volt. Felmerült tehát a kérdés, hogy vajon mindegy-e, hogy a definícióban szereplő képletet e két ekvivalencia-osztály mely elemeire alkalmazzuk. A 13.12. Tétel épp arról szólt, hogy e választástól függetlenül az eredményül kapott számpárok mindig ugyanabból az ekvivalencia-osztályból kerülnek ki.
Valami hasonlóra volna szükségünk a \odot művelet kapcsán is. A 13.1. Definícióban bevezetett \sim reláció meghatározása alapján a [(0;n)] és az [(a;n+a)] kifejezések ugyanazt az egész számot jelölik tetszőleges a természetes szám esetén. Elvárjuk tehát, hogy amennyiben ezt egy tetszőleges [(0;k)] negatív egész számmal megszorozzuk, akkor a képletünk által szolgáltatott eredmény mindig ugyabból az ekvivalencia-osztályból kerüljön ki függetlenül attól, hogy a baloldali tényezőt a [(0;n)] vagy az [(a;n+a)] kifejezéssel írtuk-e le. Mint ahogyan törtszámok esetén is teljesen mindegy, hogy \frac{1}{2}-et vagy \frac{2}{4}-et írunk-e egy kifejezésbe.
A fentiek fényében mostmár megfogalmazhatjuk a \odot művelettel szemben támasztott utolsó követelményünket is, miszerint tetszőleges n, k és a természetes számokra teljesülnie kell a következőnek:
Az egyenlet mindkét oldalára az általános képletünket felírva – és persze a 0 tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:
Azt kaptuk tehát, hogy a (D\cdot nk;H\cdot nk) természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett \sim reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a (B\cdot ak + D\cdot (n+a)k;F\cdot ak + H\cdot (n+a)k) számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy
Mindkét oldalon a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:
A 12.18. Lemma miatt az egyenlet mindkét oldalát egyszerűsíthetjük D\cdot nk-val és H\cdot nk-val:
Ismételten a szorzás disztributivitása miatt ez így is írható:
Itt feltételezhetjük, hogy ak\neq 0, máskülönben ez az egyenlet F, H, B és D megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont ak\neq 0, akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy
A III. követelmény kapcsán viszont már megállapítottuk, hogy F=1+B, emiatt:
Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük B-vel:
A 14.3. szakaszban az iméntiek alapján mostmár definiálhatjuk a szorzás műveletét a \Z halmazon.
14.3A \Z-beli szorzás definíciója
A \odot művelet képletének meghatározására az alábbi általánosnak tekinthető képletből indultunk ki, amelyben tehát ismeretlennek tekintettük az A, B, C és D, valamint az E, F, G és H együtthatóhat:
A 14.2. szakaszban meghatároztunk négy olyan követelményt, amelyet elvárunk egy "normálisan viselkedő" szorzástól, mint művelettől. Habár a nyolc együttható továbbra is ismeretlen, azt azonban már tudjuk, hogy az említett négy követelménynek ez a képlet eleget fog tenni, amennyiben az együtthatókra igazak az alábbiak:
Mondhatnánk, hogy ezzel nem vagyunk sokkal előrébb, hiszen az E, H, B és C együtthatókat még mindig nem ismerjük. Ez igaz ugyan, azonban a 14.2. szakaszban leírt okfejtésből az következik, hogy a kívánt tulajdonságok teljesülése nem függ ennek a négy együtthatónak az értékétől. Így azokat tulajdonképpen szabadon megválaszthatjuk. Annak érdekében, hogy minél egyszerűbb legyen a végleges képletünk, célszerű ezeket önkényesen 0-nak választani – feltéve, hogy nem vagyunk mazochisták. Így ezeket az együtthatókat kapjuk:
Ezek alapján már definiálhatjuk a \odot műveletet.
Először megmutatjuk, hogy a \odot művelet nemcsak a 14.2. szakaszban megfogalmazott IV. követelmény szerinti esetekben – tehát amikor adósságot "szorzunk" adóssággal – jóldefiniált, hanem a teljes \Z halmazon:
A \odot művelet eredménye tehát valóban nem függ attól, hogy a tényezők, mint ekvivalencia-osztályok mely elemeire alkalmazzuk a 14.3. Definícióban szereplő képletet. Azaz a \odot művelet jóldefiniált ezen ekvivalencia-osztályok halmazán, tehát végsősoron a teljes \Z halmazon.
Most vizsgáljuk meg, hogy tényleg minden szükséges tulajdonságot teljesít-e ez a művelet. Az biztos, hogy az f(n)=[(n;0)] beágyazófüggvény – amellyel tehát a Peano-axiómarendszer szerinti \N_1 halmazt ágyazzuk be a \Z halmazba – tartja a természetes számok közötti szorzást, hiszen épp ez volt az I. követelményünk a 14.2. szakaszban. Ezért ezt most tételként is kimondhatjuk.
Végül megmutatjuk, hogy a \odot művelet teljesíti az iskolából jól ismert számolási szabályokat.
14.4Neutrális elem
Többször szó esett már valamiféle "szokásos" vagy az "általános iskolában már megszokott" számolási szabályokról. Elsőként akkor, amikor a természetes számok közötti összeadás és szorzás tulajdonságait vizsgáltuk, majd a \Z halmazon értelmezett két hasonló művelet kapcsán is. Ez még sokszor elő fog kerülni a további fejezetekben is, amikor különböző matematikai objektumok – amelyek nem feltétlenül számok – körében értelmezett műveletek tulajdonságait fogjuk vizsgálni. Ezért jó volna egy általánosan használható és tömör fogalomrendszert használni az ilyen esetekben.
A kétváltozós művelet fogalmát a 11.3. Definícióból már ismerjük. Fontos, hogy egy műveletet mindig valamilyen alaphalmazon értelmezünk. Önmagában például nincs értelme "összeadásról" beszélni. "Összeadás" hol? A természetes számok \N halmazán? Vagy az egész számok \Z halmazán? Nem mindegy, ugyanis adott esetben más-más tulajdonságai lehetnek egy műveletnek az alaphalmaztól függően. Például a 12.19. Lemma szerint egy összeg csak akkor lehet "nulla", ha mindkét tagja "nulla". Ez nyilvánvalóan csak az \N halmazon értelmezett összeadásra igaz, a \Z halmazon már nem. Például [(3;0)]\oplus [(0;3)] = [(3;3)] = [(0;0)]. Nyilván, hiszen ha 3 aranytallérnyi betétet és 3 aranytallérnyi adósságot "összeadunk", akkor eredményül a nulla egész számot kell kapjuk, holott sem a [(3;0)] sem pedig a [(0;3)] nem a nulla egész szám volt.
Egyáltalán mit jelent az egy halmazban, hogy "nulla"? Vizsgáljuk meg először ezt a kérdést általánosságban. Tegyük fel, hogy adva van egy tetszőleges S halmaz, valamint egy kétváltozós művelet ezen a halmazon, amelyet jelöljünk most *-gal. Előfordulhat, hogy létezik az S halmazban egy olyan kitüntetett n elem, amellyel bármilyen halmazbeli x elemet össze-*-ozva x-et kapjuk vissza eredményül. Ez látható a 14.3. ábrán.
Néhány példa ilyen, a fenti értelemben kitüntetett tulajdonságú elemre:
- Az \N halmazon értelmezett, +-szal jelölt, 11.4. Definíció szerinti összeadás esetén a 0 természetes szám.
- Az \N halmazon értelmezett, \cdot-tal jelölt, 12.1. Definíció szerinti szorzás esetén az 1 természetes szám.
- A \Z halmazon értelmezett, \oplus-szal jelölt, 13.13. Definíció szerinti művelet esetén a [(0;0)] – vagy az iskolában megszokott jelöléssel a 0 – egész szám.
- A \Z halmazon értelmezett, \odot-tal jelölt, 14.3. Definíció szerinti művelet esetén az [(1;0)] – vagy az iskolában megszokott jelöléssel az 1 vagy +1 – egész szám.
Egy adott művelet alaphalmazában egy ilyen tulajdonságú elemnek külön neve is van.
Rögtön felmerülhet a kérdés, hogyha egy halmazban egy adott műveletre nézve létezik neutrális elem, akkor vajon az egyértelmű-e? Ezt válaszolja meg az alábbi tétel.
Megjegyezzük, hogy az egyértelműség csak a kétoldali neutrális elemre igaz, a csak jobboldali vagy csak baloldali neutrális elemre nem feltétlenül. Most, hogy van már neutrális elemünk, ismerkedjünk meg egy másik fontos fogalommal.
14.5Inverz elem, művelet invertálhatósága
Maradjunk továbbra is az S halmaznál és a rajta értelmezett * műveletnél, és tegyük fel, hogy létezik erre a műveletre nézve neutrális elem, amelyet jelöljünk n-nel. Tegyük fel, hogy elvégeztük az a*b műveletet, amit szeretnénk "visszacsinálni", vagy tudományosabban fogalmazva invertálni. Azaz szeretnénk találni egy olyan elemet b-hez, amellyel ha össze-*-ozzuk az a*b-t, akkor visszakapjuk az eredeti a elemet. Jelöljük ezt a keresett elemet b^{-1}-gyel. Ez a folyamat látható a 14.4. ábrán.
Lényegében tehát egy olyan b^{-1} elemet keresünk, amelyre teljesül, hogy b*b^{-1}=n. Így valóban meg tudjuk fordítani a b-vel való műveletvégzést, feltéve persze, hogy a * művelet asszociatív, hiszen ekkor:
A * művelet asszociativitása a fenti esetben a "visszafordíthatóság" miatt fontos, máskülönben a fenti átzárójelezést nem tudjuk meglépni. Így a b^{-1}-gyel való *-ozás valóban visszaszolgáltatja nekünk az eredeti a elemet. Nem asszociatív esetben ez nem feltétlenül van így, ám a most következő fogalom enélkül a "képesség" nélkül is fontos.
Rögtön felmerülhet a kérdés, hogyha egy adott elemhez egy műveletre nézve létezik inverz, akkor vajon az egyértelmű-e? Ezt válaszolja meg az alábbi tétel.
A neutrális elemmel ellentétben tehát egy adott elem inverze csak asszociatív művelet esetén egyértelmű, általánosságban azonban ez nem feltétlenül van így.
Most gondoljuk végig, tudunk-e példákat mutatni az inverz fogalmára az eddig tanultakból. A természetes számok \N halmazán ugye nem, hiszen épp azért kezdtük el a számfogalom bővítését és vezettük be a negatív számokat, mert sem a 11.4. Definíció szerinti összeadás, sem pedig a 12.1. Definíció szerinti szorzás nem invertálható. Ezzel szemben a \Z halmazon értelmezett \oplus művelet invertálható, hiszen egy tetszőleges [(a;b)]-vel jelölt egész számnak az ellentettje erre a műveletre nézve épp a [(b;a)]-val jelölt egész szám. Ezek összege ugyanis a 11.4. Definíció értelmében az [(a+b;b+a)] egész szám, amely a 13.10. Tétel alapján megegyezik a [(0;0)] egész számmal, azaz a \oplus művelet neutrális elemével.
A 13.11. Definícióban bevezetett hagyományos jelölésekkel tehát egy n egész szám \oplus műveletre vonatkozó ellentettje a -n egész szám, és fordítva. Ezt a tényt – tehát, hogy minden egész számnak létezik ellentettje – kihasználva mostmár értelmezhetjük a harmadik alapműveletünket, vagyis a kivonást.
Sajnos azonban az osztás fogalmát még mindig nem tudjuk értelmezni a \Z halmazon, mivel a \odot művelet nem invertálható ebben a számkörben. Ehhez tovább kéne bővítenünk a szám fogalmát, és bevezetni az úgynevezett racionális számokat, amelyeket kevésbé tudományosan törtszámoknak szoktunk nevezni. Ezt ebben a cikksorozatban nem fogjuk megtenni, így általánosságban nem fogjuk tudni elvégezni az egész számok közötti osztást. A 16.1. szakaszban azonban bevezetjük majd az oszthatóság fogalmát, amely bizonyos esetekben mégis lehetővé teszi, hogy egy egész számot "elosszunk" egy másik egész számmal. Ez az "osztás" azonban algebrai értelemben nem lesz művelet, hiszen nem végezhető el általánosságban bármely két egész szám között.
14.6Gyűrűk és testek
Most az eddig tanult fogalmakkal felvértezve ismerkedjünk meg két olyan algebrai struktúrával, amelyek a további számelméleti vizsgálataink során központi szerepet fognak játszani. Ezeket tekinthetjük az egész számok \Z halmaza egyfajta általánosításainak, amelyek azonban annál jóval messzebbre fognak vezetni bennünket.
Felhívnánk a figyelmet arra, hogy a fenti definícióban semmit nem tételeztünk fel az R halmazról és a két műveletről azon kívül, hogy teljesülnek rájuk a definícióban szereplő gyűrűaxiómák. Az, hogy "összeadásnak" és "szorzásnak" neveztük a két műveletet, egyáltalán nem azt jelenti, hogy ezeknek adott esetben bármiféle közük van az ebben és az előző fejezetben bevezetett egész számok közötti összeadáshoz és szorzáshoz. Az R halmaz elemei még csak nem is feltétlenül számok.
A gyűrűk és a testek vizsgálatával az absztrakt algebra foglalkozik. Ezek tehát a fejünkben élő számfogalom egyfajta általánosításai, absztrakciói. Célszerű azonban az egész számok \Z halmazára, illetve az ezen a halmazon értelmezett összeadásra és szorzásra gondolni, amikor például gyűrűkre vonatkozó általános összefüggésekről beszélünk. Mint látni fogjuk, ezek az összefüggések bármilyen más gyűrűre ugyanúgy érvényesek lesznek. Ilyen értelemben az absztrakt algebra igen hatékony fegyverként bevethető lesz konkrét – azaz nem absztrakt – problémák megoldására is. Éppen ezért a tágabb értelemben vett számelmélet főként a gyűrűket, illeve azok szerkezetét vizsgálja. A továbbiakban ezért mi is általános gyűrűkre vonatkozó összefüggéseket fogunk bizonyítani, amennyire csak lehetséges.
14.7Visszatérés a megszokott jelölésekhez
A 13.8. Definícióval a 13.4. szakaszban bevezettük az egész számok \Z halmazát, amelynek elemeit természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként határoztuk meg. Ezekre a szokatlan [(a;b)] jelölésmódot alkalmaztuk, és definiáltunk közöttük egy "összeadásnak" és "szorzásnak" nevezett műveletet, amelyeket a szintén szokatlan \oplus és \odot szimbólumokkal jelöltünk. Erre a szokatlan jelölésmódra azért volt szükség, mert szerettük volna kihangsúlyozni, hogy a (\Z , \oplus , \odot ) algebrai struktúrának látszólag semmi köze nincs a 11. és a 12. fejezetben bevezetett, a Peano-axiómarendszer által meghatározott (\N ,+,\cdot ) algebrai struktúrához, azaz a természetes számok halmazához.
Mostanra azonban már kiderült, hogy ez utóbbi struktúra beágyazható a \Z halmazba, méghozzá az f(n)=[(n;0)] függvénnyel, amelyről bizonyítottuk, hogy algebrai értelemben tartja a természetes számok összeadását és szorzását. Ez azt jelenti számunkra, hogy a természetes számok eredeti halmazán – amelyet átmenetileg \N_1-gyel jelöltünk – és annak f szerinti képén – amelyet átmenetileg \N_2-vel jelöltünk, és amely már a \Z halmaz része – a műveletek gyakorlatilag ugyanúgy viselkednek, leszámítva a jelölésbeli különbséget.
A továbbiakban tehát nyugodtan elfelejthetjük a régi (\N_1 ,+,\cdot ) algebrai struktúrát, és tekinthetjük az új (\N_2 ,\oplus ,\odot ) algebrai struktúrát a természetes számoknak, amely így már az általánosabb (\Z , \oplus, \odot ) algebrai struktúra része. Amint az az alábbi tételből kiderül, ez az algebrai struktúra előnyösebb tulajdonságokkal rendelkezik az elődjéhez képest.
A továbbiakban tehát a fura \oplus, \odot és \ominus jelölések helyett rendre a +, a \cdot (vagy egymás után írás) és a - szimbólumokat fogjuk használni a \Z halmazon értelmezett műveleteinkhez. Ezen kívül az egész számokat a továbbiakban nem a szintén szokatlan [(a;b)] alakban fogjuk jelölni, hanem a 13.11. Definícióban szereplő, az általános iskolából jól ismert jelöléseket használjuk mostantól. Végül a természetes számok \N halmaza alatt a továbbiakban \Z-nek azt a részhalmazát fogjuk érteni, amely a pozitív egész számokat és a nulla egész számot tartalmazza.
Ebben a fejezetben intuitív módon értelmeztük a szorzás műveletét is az egész számok halmazán. Ezután megmutattuk róla, hogy teljesíti a megszokott azonosságokat, valamint ugyanúgy viselkedik, mint az \N halmazon értelmezett természetes számok közötti szorzás. Végül megismerkedtünk néhány hasznos absztrakt algebrai fogalommal, és megmutattuk, hogy a \Z halmaz egy úgynevezett kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot az új műveleteinkkel, emiatt a kivonás korlátlanul elvégezhető rajta. Így már tulajdonképpen teljessé vált \N beágyazása \Z-be a \leq rendezési reláció kiterjesztésétől eltekintve, amelyet következő fejezetben fogunk elvégezni. Megemlítettük azonban, hogy az osztás még a \Z halmazon sem végezhető el korlátlanul. Ez a 16. fejezetben elvezet minket az egyik legfontosabb számelméleti fogalomhoz, méghozzá az oszthatóság kérdéséhez.