Episode I

Alice és Bob

14. fejezet

Alice és Bob gyűrűje

Az előző fejezetben kényelmi okok miatt elkezdtük kibővíteni a szám fogalmát. Azon a nem is olyan egyszerű absztrakciós úton kezdtünk el haladni, amelyen őseinknek is végig kellett menniük. Eddig a számokat bizonyos dolgok, sokaságok megszámlálására használtuk, így látszólag semmi értelme sincs a "semminél kevesebb" mennyiségekről beszélni. Ezen túllépve azonban láthattuk, hogy például adósság, vagy valamilyen hiány kifejezésére igen praktikus eszközt kaphatunk a kezünkbe. Ennek az absztrakciónak a keretében új algebrai fogalmakkal ismerkedtünk meg.

Az egész számokat természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként határoztuk meg, amelyek között egy összeadásnak nevezett műveletet is definiáltunk. Ezután elkezdtük beágyazni ebbe az új számhalmazba a Peano-axiómarendszer szerinti $N$ halmazt. De vajon hogyan tudjuk a szorzás műveletét is ésszerű módon kiterjeszteni a számegyenes $0$ -tól balra eső részére? Mit jelent az absztrakt algebrában a "neutrális elem", az "inverz", a "gyűrű" és a "test" fogalma? Hogyan definiálható a "kivonás" művelete az egész számok között? Mi a helyzet az osztással? Ebben a fejezetben erről lesz szó...

Figyelem! Ez a fejezet erőteljesen épít a 13. fejezetben bevezetett alábbi definíciókra és a hozzájuk kapcsolódó tételekre:

E definíciók kontextusba helyezése, valamint a hozzájuk kapcsolódó tételek és egyéb fogalmak megismerése miatt erőteljesen ajánlott elolvasni a 13. fejezetet, mivel gyakran hivatkozni fogunk rájuk.

Ahhoz, hogy a szorzást is kiterjesszük az előző fejezetben bevezetett új számkörre, ismét az intuíciónkra kell hagyatkoznunk. Kezdhetnénk persze azzal, hogy megadunk egy képletet, mint a $Z$ halmaz elemei közötti szorzás definícióját. Ezzel azonban elveszne az az információ, hogy miért éppen azt a képletet használjuk, nem pedig mást. Először is jelöljük ki a céljainkat.

Az előző fejezetben ugye azt mondtuk, hogy a Peano-axiómarendszer által definiált $N$ halmazt szeretnénk beágyazni a $Z$ halmazba egy úgynevezett struktúratartó leképezéssel. Az eredeti $N$ halmazt átmenetileg $N_{1}$ -gyel, míg annak $Z$ -beli képét $N_{2}$ -vel jelöltük. A 13.13. Definíció szerinti $\oplus$ műveletről a 13.14. Tételben megmutattuk, hogy az az $f (n) = [(n; 0)]$ leképezés mellett valóban "ugyanúgy viselkedik" az $N_{2}$ halmazon, mint a természetes számok összeadása az $N_{1}$ halmazon.

Hasonló a célunk a most bevezetendő új művelettel kapcsolatban ugyanezen $f$ leképezés mellett. Ezt a műveletet "szorzásnak" fogjuk nevezni, átmenetileg a $⊙$ szimbólummal fogjuk jelölni, és ugyanúgy a teljes $Z$ halmazon szeretnénk értelmezni, mint az $\oplus$ műveletet. Ennek a halmaznak az elemei ugye a 13.8. Definíció alapján természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályai. Mi lehet hát két ilyen ekvivalencia-osztály "szorzata"?

Ahhoz, hogy ennek képletét megalkothassuk, egyenleteket kell tudnunk megoldani az $(N, +, \cdot)$ algebrai struktúrában, azaz a természetes számok halmazán. Lévén, hogy nem áll rendelkezésünkre mind a négy alapművelet, ezért ehhez szükségünk lesz némi segítségre.

14.1Egyenletek megoldása az $N$ halmazon

Most lépjünk vissza egy kicsit az eddig felépített $N$ halmazhoz és az azon értelmezett összeadáshoz és szorzáshoz. Tegyük fel, hogy a $2 \cdot x + 3 = 7$ egyenletet szeretnénk megoldani. Általános iskolában mindenki megtanulta, hogy ha egy érvényes egyenlet mindkét oldalából kivonunk egy tetszőleges számot, vagy mindkét oldalt elosztjuk egy tetszőleges nemnulla számmal, akkor az így kapott egyenletek továbbra is érvényben maradnak. Nincs más dolgunk hát, mint ilyen lépésekkel addig rendezgetni az egyenletet, míg az egyik oldalon kizárólag az ismeretlen marad. Ekkor a másik oldal épp a megoldás lesz.

Ezzel a gondolatmenettel tehát vonjunk ki mindkét oldalból $3$ -at, majd mindkét oldalt osszuk el $2$ -vel, így megkapjuk a megoldást:

2 \cdot x + 3 2 \cdot x x = 7 = 4 = 2

Csakhogy van ezzel egy kis probléma: nem ismerünk olyan fogalmat, mint "kivonás" vagy "osztás". Ne feledjük, hogy jelenleg a számelméletet az axiómákból szeretnénk felépíteni! Márpedig ebben az esetben nem hivatkozhatunk olyan fogalmakra, amiket nem definiáltunk pontosan.

Szerencsére azonban ez a probléma könnyen áthidalható két okos kis segédtétellel. Az egyik ezek közül a 12.7. szakaszban már ismertetett 12.18. Lemma. Ez azt mondja ki, hogy tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ természetes számok esetén $a + c = b + c$ -ből $a = b$ következik. Az első egyenletmegoldó eszközünk tehát már rendelkezésre áll.

A fenti példában szereplő $2 \cdot x + 3 = 7$ egyenlet megoldásának első lépésében tehát ahelyett, hogy "kivonnánk" mindkét oldalból $3$ -at – ezáltal nem definiált fogalmat használva –, az egyenlet jobboldalát cselesen felírjuk két természetes szám összegeként:

2 \cdot x + 3 = 4 + 3

Ebből már a 12.18. Lemma miatt következik, hogy $2 \cdot x = 4$ . Mondhatnánk, hogy ez szőrszálhasogatás, azonban a 18.2. szakaszban látni fogjuk, hogy mennyire könnyen tehetünk olyan logikailag helyesnek tűnő lépéseket, amelyek valójában hibásak.

De vajon mi a helyzet a következő lépéssel, amikoris az egyenlet mindkét oldalát "elosztjuk" $2$ -vel? Az "osztás" fogalmát szintén nem ismerjük, ezért itt is megpróbáljuk megkerülni ezt a problémát, és az egyenlet jobboldalát felírjuk két természetes szám szorzataként:

2 \cdot x = 2 \cdot 2

Kérdés, hogy vajon ebből következik-e, hogy $x = 2$ ? És úgy általában abból, hogy $a \cdot c = b \cdot c$ , vajon következik-e, hogy $a = b$ ? Az alábbiakban ezt fogjuk bizonyítani. Ehhez előszöris emlékeztetnénk az Olvasót a korábban már szintén bizonyított 12.19. Lemmára, amely azt mondja ki, hogy a természetes számok körében egy összeadás eredménye csak úgy lehet $0$ , ha mindkét tagja $0$ . Most egy ehhez hasonló állítást mondunk ki a szorzásra vonatkozóan.

14.1. Lemma:

A természetes számok körében ha $a \cdot b = 0$ , akkor $a = 0$ vagy $b = 0$ .

♣

Eszerint tehát egy szorzás eredménye csak úgy lehet $0$ , ha legalább az egyik tényezője $0$ . Ez a tulajdonság persze nyilvánvalónak tűnik, ám – mint már említettük – a 18.2. szakaszban olyan algebrai struktúrákra is mutatunk majd példát, amelyekben ez nem teljesül. Most nézzük a 14.1. Lemma bizonyítását.

Bizonyítás:

Indirekt bizonyítást fogunk alkalmazni, azaz megmutatjuk, hogy milyen képtelen következményekhez vezetne, ha az állítás nem lenne igaz. Tegyük fel ezért, hogy léteznek olyan galád $a$ és $b$ természetes számok, amelyek esetén $a \cdot b = 0$ , ugyanakkor $a \neq = 0$ és $b \neq = 0$ .

Mivel $b \neq = 0$ , ezért a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan természetes szám, amelynek épp $b$ a rákövetkezője. Jelöljük ezt a számot $c$ -vel, a rákövetkezési függvényt pedig $s$ -sel, azaz $s (c) = b$ . Ekkor viszont $b$ helyére behelyettesítve $s (c)$ -t, a következőt kapjuk:

a \cdot = b s (c) = 0

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt ez a kifejezés így is írható:

a \cdot c + a = 0

Viszont a 12.19. Lemma miatt a természetes számok körében egy összeg csak akkor lehet $0$ , ha mindkét tagja $0$ . Azaz jelen esetben $a \cdot c = 0$ és $a = 0$ . Ezek közül a második viszont ellentmond annak az indirekt feltételezésünknek, miszerint $a \neq = 0$ .

∎

Ennek segítségével mostmár megfogalmazhatjuk azt a segédtételt, amely általánosságban is lehetővé teszi, hogy egy egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a tényezővel egyszerűsíthessük.

14.2. Lemma:

Tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ természetes számok esetén ha $c \neq = 0$ és $a \cdot c = b \cdot c$ , akkor $a = b$ .

♣

Bizonyítás:

Tegyük fel indirekt, hogy nem igaz az állítás, azaz valamilyen $c \neq = 0$ mellett léteznek olyan galád $a$ és $b$ természetes számok, amelyekre $a \cdot c = b \cdot c$ teljesül, ugyanakkor $a \neq = b$ .

Ekkor $a$ és $b$ kisebb-nagyobb viszonyaira vonatkozóan a 12.15. Definícióban bevezetett $\leq$ reláció trichotómiája miatt az alábbi két eset lehetséges:

a a < b > b

Ha $a < b$ , akkor ez szintén a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan $k \neq = 0$ természetes szám, hogy:

a + k = b

Ezt behelyettesítve az $a \cdot c = b \cdot c$ egyenletbe a következőt kapjuk:

a \cdot c = (= b a + k) \cdot c

A szorzás a 12.6. Tétel alapján disztributív, ezért az egyenlet jobboldalán lévő zárójel felbontható:

a \cdot c = a \cdot c + k \cdot c

Azt viszont tudjuk, hogy egyrészt $k \neq = 0$ , másrészt $c \neq = 0$ , ezért a 14.1. Lemma alapján a szorzatuk sem lehet $0$ . Jelöljük most ezt a nemnulla $k \cdot c$ szorzatot $l$ -lel, azaz:

a \cdot c = a \cdot c + \neq = 0 l

Az egyenlet baloldalához a 11.4. Definíció 1. pontja miatt hozzáadhatunk $0$ -t:

a \cdot c + 0 = a \cdot c + \neq = 0 l

Ez viszont ellentmondás, hiszen ezt az egyenletet a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük $a \cdot c$ -vel, és így az alábbi butaságot kapnánk:

0 = l \neq = 0

A másik esetben – tehát amikor $a > b$ – ugyanilyen gondolatmenet alapján juthatunk ellentmondásra.

∎

Innentől kezdve tehát egy természetes számokon értelmezett egyenlet megoldása során legálisan egyszerűsíthetjük – vagy némiképp helytelenül fogalmazva "oszthatjuk el" – az egyenlet mindkét oldalát egy nemnulla természetes számmal. Azaz a korábbi példaegyenletünk megoldása során a $2 \cdot x = 4$ állításból a most bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy $x = 2$ .

Nagyon fontos azonban, hogy csak nemnulla természetes számmal szabad egyszerűsíteni. Például $a \cdot 0 = b \cdot 0$ tetszőleges $a$ és $b$ természetes számokra teljesül, így ebből nem következik, hogy $a = b$ .

14.2Hogyan szorozzunk a $Z$ halmazon?

A 13.11. Definícióban bevezettük a pozitív és negatív egész számok általános iskolából már megszokott jelölését a meglehetősen szokatlan $[(a; b)]$ jelölésmód helyett. Eszerint az $[(n; 0)]$ alakú egész számokat – amelyek ugye $n$ aranytallérnyi betétet jelentenek – pozitív egész számoknak neveztük, és $+ n$ -nel jelöltük. Ezzel szemben a $[(0; n)]$ alakú egész számokat – amelyek tehát $n$ aranytallérnyi adósságot jelölnek – negatív egész számoknak neveztük, és $- n$ -nel jelöltük. Végül a $[(0; 0)]$ alakban felírható egész számot nullának neveztük, és $0$ -val jelöltük. Ezt a 13.10. Tétel miatt tehettük meg, amely szerint minden egész szám felírható valamelyik alakban e három közül. Egyelőre azonban maradjunk a "szokatlan" jelölésmódnál mindaddig, amíg a megszokott számolási szabályok be nem bizonyosodnak.

Tegyük fel, hogy van egy $[(a; b)]$ -vel és egy $[(c; d)]$ -vel jelölt egész számunk. Kérdés, hogy mi legyen a $[(a; b)] ⊙ [(c; d)]$ "szorzás", mint művelet eredménye? Szabad kezet kaptunk a képlet megalkotásához, így azt úgy alakíthatjuk ki, ahogy nekünk tetszik. Az egyetlen megkötés, hogy kizárólag az eddig már megalkotott fogalmainkat használhatjuk, mint amilyen például a természetes számok összeadása és szorzása. Nyilván azt szeretnénk elérni, hogy a 13.6. szakaszban bevezetett $\oplus$ művelethez hasonlóan a megszokott számolási szabályok teljesüljenek a most bevezetendő $⊙$ műveletre is. Ennek szellemében kell tehát megalkotnunk a képletet.

Egy rövid előzetes megjegyzés: eddig a természetes számok közötti szorzás jelölésére minden esetben kiírtuk a $\cdot$ műveleti jelet. Mostantól azonban a jobb olvashatóság kedvéért ezt esetenként el fogjuk hagyni. Így például az $x y$ kifejezés ugyanazt fogja jelenteni, mint az $x \cdot y$ kifejezés. Remélhetőleg ez nem fogja összezavarni az Olvasót, hiszen már az általános iskolában is bevett szokás időnként elhagyni a szorzást jelölő $\cdot$ műveleti jelet.

Térjünk most vissza a $Z$ halmazon értelmezendő $⊙$ művelethez, és intuitív módon alkossuk meg az $[(a; b)] ⊙ [(c; d)]$ szorzat eredményének képletét. Az eredmény ugye szintén valamilyen egész szám lesz egy betétet és egy adósságot jelző komponenssel. Az intuíciónk azt mondatja velünk, hogy mindkét komponens valamilyen módon függeni fog az eredeti $[(a; b)]$ és $[(c; d)]$ egész számok mindkét komponensétől.

Ennél közelebbit azonban egyelőre nem tudunk mondani, ezért az alábbi viszonylag általános képletből indulunk ki, aztán meglátjuk, jól tippeltünk-e:

[(a; b)] ⊙ [(c; d)] = [(A \cdot a c + B \cdot a d + C \cdot b c + D \cdot b d 1. komponens; 2. komponens E \cdot a c + F \cdot a d + G \cdot b c + H \cdot b d)]

**14.1. ábra:** Egész számok szorzásképletének konstrukciója

A feladatunk tehát az $A$ , $B$ , $C$ és $D$ , valamint az $E$ , $F$ , $G$ és $H$ természetes számok, mint együtthatók meghatározása oly módon, hogy érvényben maradjanak a szokásos számolási szabályok. Most nézzük meg, milyen megkötéseket kell tennünk a keresett nyolc együtthatóra ahhoz, hogy ez teljesüljön.

I. követelmény: az $f$ leképezés legyen szorzattartó

Ezt képlettel így írhatjuk fel:

= f (n) [(n; 0)] ⊙ = f (k) [(k; 0)] = = f (n \cdot k) [(n \cdot k; 0)]

Az egyenlet baloldalára a fentebbi általános képletünket felírva – és persze a $0$ tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:

[(A \cdot nk; E \cdot nk)] = [(nk; 0)]

Azt kaptuk tehát, hogy az $(A \cdot nk; E \cdot nk)$ természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett $\sim$ reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint az $(nk; 0)$ számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy

A \cdot nk + 0 = E \cdot nk + nk

A baloldalt $0$ -val egyszerűsítve, a jobboldalon pedig a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:

A \cdot nk = (E + 1) \cdot nk

Itt feltételezhetjük, hogy $nk \neq = 0$ , máskülönben ez az egyenlet $A$ és $E$ megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont $nk \neq = 0$ , akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy

A = E + 1

A keresett nyolc együtthatóról tehát azt már tudjuk, hogy az $A$ együtthatónak $E$ -nél egy $1$ -gyel nagyobb természetes számot kell választanunk. Ha így teszünk, akkor a fentiek alapján az $f$ leképezés biztosan "tartani fogja" a természetes számok közötti szorzást. Tudományosabban fogalmazva ekkor $f$ egy beágyazás lesz az $(N_{1}, \cdot)$ és a $(Z, ⊙)$ algebrai struktúrák között.

Mondhatnánk, hogy készen is vagyunk. Hiszen ez alapján ha az $A = 1$ választással élünk, a többi együtthatót pedig $0$ -nak választjuk, akkor megvan a művelettartás. Igenám, de mi szeretnénk egyéb megkötéseket is tenni az $⊙$ műveletre annak érdekében, hogy a szokásos számolási szabályok érvényben maradjanak ne csak az $N_{2}$ -n belül, hanem a $Z$ halmaz többi részén is.

II. követelmény: adósság szorzása pozitív egész számmal

Emlékezzünk vissza, hogy mi motiválta a természetes számok szorzásának bevezetését a 12.1. szakaszban. Ugye szerettük volna lerövidíteni az olyan kifejezéseket, amikor egy számot önmagával kell sokszor összeadni. Például az $a + a + a + a + a$ kifejezést így rövidíthettük: $a \cdot 5$ . Érdemes lenne megtartani ezt a tulajdonságot a $⊙$ művelet esetén is.

A pozitív egész számokra ezt már biztosítottuk az I. követelménnyel. Most nézzük meg, mi a helyzet akkor, ha egy adósságot reprezentáló egész számot kell önmagával sokszor összeadni. Tekintsük például a $[(0; n)] \oplus [(0; n)] \oplus [(0; n)]$ kifejezést. Ez egyrészt a $\oplus$ művelet 13.13. Definíciója miatt így írható fel:

[(0; n + n + n)] = [(0; n \cdot 3)]

Másrészt viszont itt tulajdonképpen arról van szó, hogy a $[(0; n)]$ adósságot reprezentáló negatív egész számot $⊙$ -ozzuk össze a $3$ természetes szám $f$ szerinti képével, azaz a $[(3; 0)]$ pozitív egész számmal. Tehát lényegében:

[(0; n)] ⊙ [(3; 0)] = [(0; n \cdot 3)]

Általánosságban tehát a $⊙$ művelettel szembeni második követelményünk, hogy tetszőleges $n$ és $k$ természetes számok esetén teljesüljön az alábbi:

[(0; n)] ⊙ = f (k) [(k; 0)] = [(0; n \cdot k)]

Az egyenlet baloldalára az általános képletünket felírva – és persze a $0$ tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:

[(C \cdot nk; G \cdot nk)] = [(0; nk)]

Azt kaptuk tehát, hogy a $(C \cdot nk; G \cdot nk)$ természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett $\sim$ reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a $(0; nk)$ számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy

C \cdot nk + nk = G \cdot nk + 0

A jobboldalt $0$ -val egyszerűsítve, a baloldalon pedig a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:

(C + 1) \cdot nk = G \cdot nk

Itt feltételezhetjük, hogy $nk \neq = 0$ , máskülönben ez az egyenlet $C$ és $G$ megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont $nk \neq = 0$ , akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy

C + 1 = G

A keresett nyolc együtthatóról most tehát már azt is tudjuk, hogy a $G$ együtthatónak $C$ -nél egy $1$ -gyel nagyobb természetes számot kell választanunk. Ha így teszünk, akkor a fentiek alapján egy adósságot jobbról megszorozva egy $k$ természetes számnak megfelelő pozitív egész számmal, lényegében az adósság $k$ -szorosát kapjuk. Most nézzük, milyen megkötéseket lenne érdemes még tenni a $⊙$ műveletre.

III. követelmény: pozitív egész szám szorzása adóssággal

Szeretnénk, ha a természetes számok közötti szorzáshoz hasonlóan a $⊙$ művelet is kommutatív lenne. A pozitív egész számokra ezt már biztosítottuk az I. követelménnyel. Jó volna azonban, ha a kommutativitás a II. követelmény kapcsán felvázolt szituációban is teljesülne, tehát amikor az egyik tényező adósságot, a másik pedig betétet reprezentál.

Általánosságban tehát a $⊙$ művelettel szembeni harmadik követelményünk, hogy tetszőleges $n$ és $k$ természetes számok esetén teljesüljön az alábbi:

[(0; n)] ⊙ [(k; 0)] = [(k; 0)] ⊙ [(0; n)]

Az egyenlet mindkét oldalára az általános képletünket felírva – és persze a $0$ tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:

[(C \cdot nk; G \cdot nk)] = [(B \cdot nk; F \cdot nk)]

Azt kaptuk tehát, hogy a $(C \cdot nk; G \cdot nk)$ természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett $\sim$ reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a $(B \cdot nk; F \cdot nk)$ számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy

C \cdot nk + F \cdot nk = G \cdot nk + B \cdot nk

Mindkét oldalon a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:

(C + F) \cdot nk = (G + B) \cdot nk

Itt feltételezhetjük, hogy $nk \neq = 0$ , máskülönben ez az egyenlet $C$ , $F$ , $G$ és $B$ megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont $nk \neq = 0$ , akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy

C + F = G + B

A II. követelmény kapcsán viszont már megállapítottuk, hogy $G = C + 1$ , emiatt:

C + F = = G C + 1 + B

Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük $C$ -vel:

F = 1 + B

Végül nézzük az utolsó, $⊙$ műveletre vonatkozó megkötésünket.

IV. követelmény: adósság szorzása adóssággal

Az előző három követelményben felvázolt szituációk esetén legalább az egyik tényező lényegében egy természetes szám, pontosabban annak az $f$ leképezés szerinti képe volt. Ezeket az eseteket viszonylag könnyű volt a valósághoz kötni, most azonban kénytelenek leszünk ettől némiképp elvonatkoztatni. Ha ugyanis a $⊙$ műveletet a teljes $Z$ halmazon szeretnénk értelmezni, akkor muszáj kezelnünk azokat az eseteket is, amikor mindkét tényező egy-egy adósságot reprezentáló negatív egész szám.

Vonatkoztassunk most el attól az apróságtól, hogy ennek látszólag nincs értelme, és tegyük fel, hogy a $[(0; n)] ⊙ [(0; k)]$ szorzás eredménye is egy valamilyen egész szám. Azt még nem tudjuk, hogy pontosan melyik, az azonban biztos, hogy a $⊙$ műveletnek is jóldefiniáltnak kell lennie a 13.6. szakaszban leírtak szerinti értelemben. Mit is jelent ez pontosan?

A 13.13. Definíció szerinti $\oplus$ művelet esetén mindkét tag egy-egy ekvivalencia-osztály volt. Felmerült tehát a kérdés, hogy vajon mindegy-e, hogy a definícióban szereplő képletet e két ekvivalencia-osztály mely elemeire alkalmazzuk. A 13.12. Tétel épp arról szólt, hogy e választástól függetlenül az eredményül kapott számpárok mindig ugyanabból az ekvivalencia-osztályból kerülnek ki.

Valami hasonlóra volna szükségünk a $⊙$ művelet kapcsán is. A 13.1. Definícióban bevezetett $\sim$ reláció meghatározása alapján a $[(0; n)]$ és az $[(a; n + a)]$ kifejezések ugyanazt az egész számot jelölik tetszőleges $a$ természetes szám esetén. Elvárjuk tehát, hogy amennyiben ezt egy tetszőleges $[(0; k)]$ negatív egész számmal megszorozzuk, akkor a képletünk által szolgáltatott eredmény mindig ugyabból az ekvivalencia-osztályból kerüljön ki függetlenül attól, hogy a baloldali tényezőt a $[(0; n)]$ vagy az $[(a; n + a)]$ kifejezéssel írtuk-e le. Mint ahogyan törtszámok esetén is teljesen mindegy, hogy $\frac{1}{2}$ -et vagy $\frac{2}{4}$ -et írunk-e egy kifejezésbe.

A fentiek fényében mostmár megfogalmazhatjuk a $⊙$ művelettel szemben támasztott utolsó követelményünket is, miszerint tetszőleges $n$ , $k$ és $a$ természetes számokra teljesülnie kell a következőnek:

[(0; n)] ⊙ [(0; k)] = [(a; n + a)] ⊙ [(0; k)]

Az egyenlet mindkét oldalára az általános képletünket felírva – és persze a $0$ tagokat elhagyva – a következőt kapjuk:

[(D \cdot nk; H \cdot nk)] = [(B \cdot ak + D \cdot (n + a) k; F \cdot ak + H \cdot (n + a) k)]

Azt kaptuk tehát, hogy a $(D \cdot nk; H \cdot nk)$ természetes számokból álló párnak ugyanabba a 13.1. Definícióban bevezetett $\sim$ reláció szerinti ekvivalencia-osztályba kell esnie, mint a $(B \cdot ak + D \cdot (n + a) k; F \cdot ak + H \cdot (n + a) k)$ számpárnak. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy

D \cdot nk + F \cdot ak + H \cdot (n + a) k = H \cdot nk + B \cdot ak + D \cdot (n + a) k

Mindkét oldalon a természetes számok közötti szorzás disztributivitását (lásd a 12.6. Tételt) kihasználva ez így írható fel:

D \cdot nk + F \cdot ak + H \cdot nk + H \cdot ak = H \cdot nk + B \cdot ak + D \cdot nk + D \cdot ak

A 12.18. Lemma miatt az egyenlet mindkét oldalát egyszerűsíthetjük $D \cdot nk$ -val és $H \cdot nk$ -val:

F \cdot ak + H \cdot ak = B \cdot ak + D \cdot ak

Ismételten a szorzás disztributivitása miatt ez így is írható:

(F + H) \cdot ak = (B + D) \cdot ak

Itt feltételezhetjük, hogy $ak \neq = 0$ , máskülönben ez az egyenlet $F$ , $H$ , $B$ és $D$ megválasztásától függetlenül teljesülne. Ha viszont $ak \neq = 0$ , akkor a 14.1. szakaszban bizonyított 14.2. Lemma miatt következik, hogy

F + H = B + D

A III. követelmény kapcsán viszont már megállapítottuk, hogy $F = 1 + B$ , emiatt:

= F 1 + B + H = B + D

Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük $B$ -vel:

1 + H = D

A 14.3. szakaszban az iméntiek alapján mostmár definiálhatjuk a szorzás műveletét a $Z$ halmazon.

14.3A $Z$ -beli szorzás definíciója

A $⊙$ művelet képletének meghatározására az alábbi általánosnak tekinthető képletből indultunk ki, amelyben tehát ismeretlennek tekintettük az $A$ , $B$ , $C$ és $D$ , valamint az $E$ , $F$ , $G$ és $H$ együtthatóhat:

[(a; b)] ⊙ [(c; d)] = [(A \cdot a c + B \cdot a d + C \cdot b c + D \cdot b d; E \cdot a c + F \cdot a d + G \cdot b c + H \cdot b d)]

A 14.2. szakaszban meghatároztunk négy olyan követelményt, amelyet elvárunk egy "normálisan viselkedő" szorzástól, mint művelettől. Habár a nyolc együttható továbbra is ismeretlen, azt azonban már tudjuk, hogy az említett négy követelménynek ez a képlet eleget fog tenni, amennyiben az együtthatókra igazak az alábbiak:

A D F G = E + 1 = H + 1 = B + 1 = C + 1

Mondhatnánk, hogy ezzel nem vagyunk sokkal előrébb, hiszen az $E$ , $H$ , $B$ és $C$ együtthatókat még mindig nem ismerjük. Ez igaz ugyan, azonban a 14.2. szakaszban leírt okfejtésből az következik, hogy a kívánt tulajdonságok teljesülése nem függ ennek a négy együtthatónak az értékétől. Így azokat tulajdonképpen szabadon megválaszthatjuk. Annak érdekében, hogy minél egyszerűbb legyen a végleges képletünk, célszerű ezeket önkényesen $0$ -nak választani – feltéve, hogy nem vagyunk mazochisták. Így ezeket az együtthatókat kapjuk:

E H B C = 0 = 0 = 0 = 0 A = E + 1 D = H + 1 F = B + 1 G = C + 1 = 1 = 1 = 1 = 1

Ezek alapján már definiálhatjuk a $⊙$ műveletet.

14.3. Definíció (Egész számok szorzása):

A $Z$ halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett $⊙$ -tal jelölt kétváltozós műveletet szorzásnak nevezzük:

[(a; b)] ⊙ [(c; d)] = [(a c + b d; a d + b c)]

A fentiekben $+$ a 11.4. Definíció szerinti természetes számok közötti összeadást, az egymás után írás a 12.1. Definíció szerinti természetes számok közötti szorzást, $[(x; y)]$ pedig a $Z$ halmaznak azon elemét jelöli, amelynek – mint ekvivalencia-osztálynak – eleme az $(x; y)$ természetes számokból álló pár.

♣

Először megmutatjuk, hogy a $⊙$ művelet nemcsak a 14.2. szakaszban megfogalmazott IV. követelmény szerinti esetekben – tehát amikor adósságot "szorzunk" adóssággal – jóldefiniált, hanem a teljes $Z$ halmazon:

14.4. Tétel:

Jelölje $\sim$ a 13.1. Definíció szerinti relációt. Ebben az esetben ha $(a_{1}; b_{1}) \sim (a_{2}; b_{2})$ és $(c_{1}; d_{1}) \sim (c_{2}; d_{2})$ , akkor

(a_{1} c_{1} + b_{1} d_{1}; a_{1} d_{1} + b_{1} c_{1}) \sim (a_{2} c_{2} + b_{2} d_{2}; a_{2} d_{2} + b_{2} c_{2})

♣

Bizonyítás:

A 13.10. Tétel szerint minden egész szám felírható $[(x; 0)]$ vagy $[(0; x)]$ alakban – ahol $x$ valamilyen természetes szám. Ezért elegendő ellenőrizni, hogy tetszőleges $n$ , $k$ és $a$ természetes számok esetén teljesülnek az alábbiak:

pozit \overset{ı}{ˊ} v [(n; 0)] ⊙ pozit \overset{ı}{ˊ} v [(k; 0)] pozit \overset{ı}{ˊ} v [(n; 0)] ⊙ negat \overset{ı}{ˊ} v [(0; k)] negat \overset{ı}{ˊ} v [(0; n)] ⊙ pozit \overset{ı}{ˊ} v [(k; 0)] negat \overset{ı}{ˊ} v [(0; n)] ⊙ negat \overset{ı}{ˊ} v [(0; k)] = [(n + a; a)] ⊙ [(k; 0)] = [(n + a; a)] ⊙ [(0; k)] = [(a; n + a)] ⊙ [(k; 0)] = [(a; n + a)] ⊙ [(0; k)]

Ez a négy egyenlet a 14.3. Definíció miatt rendre így írható fel:

[(nk; 0)] [(0; nk)] [(0; nk)] [(nk; 0)] = [(nk + ak; ak)] = [(ak; nk + ak)] = [(ak; nk + ak)] = [(nk + ak; ak)]

Mivel a $\sim$ reláció 13.1. Definíciójának 1. pontja miatt egyrészt $(nk; 0) \sim (nk + ak; ak)$ , másrészt $(0; nk) \sim (ak; nk + ak)$ , ezért az egyenletek bal- és jobboldalai valóban ugyanazokat az egész számokat reprezentálják.

∎

A $⊙$ művelet eredménye tehát valóban nem függ attól, hogy a tényezők, mint ekvivalencia-osztályok mely elemeire alkalmazzuk a 14.3. Definícióban szereplő képletet. Azaz a $⊙$ művelet jóldefiniált ezen ekvivalencia-osztályok halmazán, tehát végsősoron a teljes $Z$ halmazon.

Most vizsgáljuk meg, hogy tényleg minden szükséges tulajdonságot teljesít-e ez a művelet. Az biztos, hogy az $f (n) = [(n; 0)]$ beágyazófüggvény – amellyel tehát a Peano-axiómarendszer szerinti $N_{1}$ halmazt ágyazzuk be a $Z$ halmazba – tartja a természetes számok közötti szorzást, hiszen épp ez volt az I. követelményünk a 14.2. szakaszban. Ezért ezt most tételként is kimondhatjuk.

14.5. Tétel:

Jelölje $⊙$ a 14.3. Definícióban bevezetett műveletet. Tegyük fel továbbá, hogy $N_{1}$ a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer által meghatározott természetes számok halmaza, valamint adva van egy $f : N_{1} \to Z$ függvény az alábbiak szerint:

f (n) = [(n; 0)]

Ekkor tetszőleges $a$ és $b$ természetes számokra teljesül, hogy $f (a \cdot b) = f (a) ⊙ f (b)$ . Más szavakkal $f$ egy injektív homomorfizmus az $(N_{1}, \cdot)$ és a $(Z, ⊙)$ algebrai struktúrák között.

♣

Bizonyítás:

Az $f$ függvény definíciója alapján egyrészt:

f (a) f (b) f (ab) = [(a; 0)] = [(b; 0)] = [(ab; 0)]

Másrészt a 14.3. Definícióban bevezetett $⊙$ művelet definíciója miatt igaz az alábbi:

f (a) ⊙ f (b) = = f (a) [(a; 0)] ⊙ = f (b) [(b; 0)] = [(ab; 0)]

Az eredményül kapott két kifejezés megegyezik, tehát valóban:

f (ab) = f (a) ⊙ f (b)

Azt, hogy $f$ injektív, már a 13.14. Tétel bizonyításában beláttuk.

∎

Végül megmutatjuk, hogy a $⊙$ művelet teljesíti az iskolából jól ismert számolási szabályokat.

14.6. Tétel:

Jelölje $⊙$ a 14.3. Definícióban, $\oplus$ pedig a 13.13. Definícióban bevezetett műveleteket. Ekkor a $Z$ halmaz tetszőleges $[(a; b)]$ , $[(c; d)]$ és $[(e; f)]$ elemeire igazak az alábbi összefüggések:

⊙

művelet kommutatív, azaz

[(a; b)] ⊙ [(c; d)] = [(c; d)] ⊙ [(a; b)]

⊙

művelet asszociatív, azaz

([(a; b)] ⊙ [(c; d)]) ⊙ [(e; f)] = [(a; b)] ⊙ ([(c; d)] ⊙ [(e; f)])

⊙

művelet disztributív a

\oplus

műveletre nézve, azaz

[(a; b)] ⊙ ([(c; d)] \oplus [(e; f)]) = ([(a; b)] ⊙ [(c; d)]) \oplus ([(a; b)] ⊙ [(e; f)])

♣

Bizonyítás:

Először a kommutativitást vizsgáljuk. Az 1. pontban szereplő egyenlet baloldala a $⊙$ művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

[(a; b)] ⊙ [(c; d)] = [(a c + b d; a d + b c)]

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

[(c; d)] ⊙ [(a; b)] = [(c a + d b; c b + d a)]

Tekintve, hogy a 11.8. és a 12.4. Tételek miatt a természetes számok összeadása és szorzása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a $⊙$ művelet is valóban kommutatív.

Most nézzük az asszociativitást. A 2. pontban szereplő egyenlet baloldala szintén a $⊙$ művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

= = = ([(a; b)] ⊙ [(c; d)]) ⊙ [(e; f)] = [(a c + b d; a d + b c)] ⊙ [(e; f)] = [((a c + b d) e + (a d + b c) f; (a c + b d) f + (a d + b c) e)] = [(a ce + b d e + a df + b c f; a c f + b df + a d e + b ce)]

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

= = = [(a; b)] ⊙ ([(c; d)] ⊙ [(e; f)]) = [(a; b)] ⊙ [(ce + df; c f + d e)] = [(a (ce + df) + b (c f + d e); a (c f + d e) + b (ce + df))] = [(a ce + a df + b c f + b d e; a c f + a d e + b ce + b df)]

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel miatt a természetes számok összeadása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a $⊙$ művelet valóban asszociatív.

Végül ellenőrizzük a disztributivitást. A 3. pontban szereplő egyenlet baloldala szintén a $⊙$ művelet 14.3. Definíciója miatt így írható:

= = = [(a; b)] ⊙ ([(c; d)] \oplus [(e; f)]) = [(a; b)] ⊙ [(c + e; d + f)] = [(a (c + e) + b (d + f); a (d + f) + b (c + e))] = [(a c + a e + b d + b f; a d + a f + b c + b e)]

Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható:

= = ([(a; b)] ⊙ [(c; d)]) \oplus ([(a; b)] ⊙ [(e; f)]) = [(a c + b d; a d + b c)] \oplus [(a e + b f; a f + b e)] = [(a c + b d + a e + b f; a d + b c + a f + b e)]

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel miatt a természetes számok összeadása kommutatív, ezért gyakorlatilag ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, így a $⊙$ művelet valóban disztributív a $\oplus$ műveletre nézve.

∎

14.4Neutrális elem

Többször szó esett már valamiféle "szokásos" vagy az "általános iskolában már megszokott" számolási szabályokról. Elsőként akkor, amikor a természetes számok közötti összeadás és szorzás tulajdonságait vizsgáltuk, majd a $Z$ halmazon értelmezett két hasonló művelet kapcsán is. Ez még sokszor elő fog kerülni a további fejezetekben is, amikor különböző matematikai objektumok – amelyek nem feltétlenül számok – körében értelmezett műveletek tulajdonságait fogjuk vizsgálni. Ezért jó volna egy általánosan használható és tömör fogalomrendszert használni az ilyen esetekben.

A kétváltozós művelet fogalmát a 11.3. Definícióból már ismerjük. Fontos, hogy egy műveletet mindig valamilyen alaphalmazon értelmezünk. Önmagában például nincs értelme "összeadásról" beszélni. "Összeadás" hol? A természetes számok $N$ halmazán? Vagy az egész számok $Z$ halmazán? Nem mindegy, ugyanis adott esetben más-más tulajdonságai lehetnek egy műveletnek az alaphalmaztól függően. Például a 12.19. Lemma szerint egy összeg csak akkor lehet "nulla", ha mindkét tagja "nulla". Ez nyilvánvalóan csak az $N$ halmazon értelmezett összeadásra igaz, a $Z$ halmazon már nem. Például $[(3; 0)] \oplus [(0; 3)] = [(3; 3)] = [(0; 0)]$ . Nyilván, hiszen ha $3$ aranytallérnyi betétet és $3$ aranytallérnyi adósságot "összeadunk", akkor eredményül a nulla egész számot kell kapjuk, holott sem a $[(3; 0)]$ sem pedig a $[(0; 3)]$ nem a nulla egész szám volt.

**14.3. ábra:** Műveletvégzés a neutrális elemmel

Néhány példa ilyen, a fenti értelemben kitüntetett tulajdonságú elemre:

Az $N$ halmazon értelmezett, $+$ -szal jelölt, 11.4. Definíció szerinti összeadás esetén a $0$ természetes szám.
Az $N$ halmazon értelmezett, $\cdot$ -tal jelölt, 12.1. Definíció szerinti szorzás esetén az $1$ természetes szám.
A $Z$ halmazon értelmezett, $\oplus$ -szal jelölt, 13.13. Definíció szerinti művelet esetén a $[(0; 0)]$ – vagy az iskolában megszokott jelöléssel a $0$ – egész szám.
A $Z$ halmazon értelmezett, $⊙$ -tal jelölt, 14.3. Definíció szerinti művelet esetén az $[(1; 0)]$ – vagy az iskolában megszokott jelöléssel az $1$ vagy $+ 1$ – egész szám.

Egy adott művelet alaphalmazában egy ilyen tulajdonságú elemnek külön neve is van.

14.7. Definíció (Neutrális elem):

Legyen adott egy $S$ halmaz és egy ezen értelmezett $*$ -gal jelölt kétváltozós művelet, valamint legyen $n$ az $S$ halmaz egy eleme.

Az $n$ elemet jobboldali neutrális elemnek nevezzük a $*$ műveletre nézve, amennyiben tetszőleges $S$ -beli $a$ elemre teljesül az alábbi:

a * n = a

Az $n$ elemet baloldali neutrális elemnek nevezzük a $*$ műveletre nézve, amennyiben tetszőleges $S$ -beli $a$ elemre teljesül az alábbi:

n * a = a

Ha $n$ egyszerre jobb- és baloldali neutrális elem, akkor őt kétoldali neutrális elemnek (vagy egyszerűen csak neutrális elemnek) nevezzük.

A szakirodalomban sok helyen találkozhatunk még a semleges elem, a nullelem, a zéruselem vagy az egységelem kifejezésekkel, valamint a $0$ illetve az $1$ jelölésekkel is. Kontextustól függően mi is felváltva fogjuk használni ezeket a fogalmakat és/vagy jelöléseket, ettől függetlenül ezek mind ugyanazt jelentik.

♣

Megjegyzés:

Természetesen kommutatív művelet esetén nincs értelme külön jobboldali vagy baloldali neutrális elemről beszélni, hiszen ott minden baloldali neutrális elem egyben jobboldali is, és fordítva.

♣

Rögtön felmerülhet a kérdés, hogyha egy halmazban egy adott műveletre nézve létezik neutrális elem, akkor vajon az egyértelmű-e? Ezt válaszolja meg az alábbi tétel.

14.8. Tétel (Neutrális elem egyértelműsége):

Egy tetszőleges $S$ alaphalmazon értelmezett bármilyen $*$ műveletre nézve legfeljebb egy neutrális elem létezik. Más szavakkal a neutrális elem – amennyiben létezik – egyértelmű.

♣

Bizonyítás:

Indirekt tegyük fel, hogy két neutrális elem is létezik a $*$ műveletre nézve. Jelöljük ezeket $n$ -nel és $m$ -mel. Egyrészt, mivel $n$ neutrális elem, ezért egyben baloldali neutrális elem is. Így igaz az alábbi:

n * m = m

Másrész, mivel $m$ is neutrális elem, ezért egyben jobboldali neutrális elem is. Így igaz az alábbi is:

n * m = n

A két egyenletet összevetve indirekt feltételezésünkkel ellentétben azt kaptuk tehát, hogy $n = m$ , vagyis a neutrális elem valóban egyértelmű, amennyiben létezik.

∎

Megjegyezzük, hogy az egyértelműség csak a kétoldali neutrális elemre igaz, a csak jobboldali vagy csak baloldali neutrális elemre nem feltétlenül. Most, hogy van már neutrális elemünk, ismerkedjünk meg egy másik fontos fogalommal.

14.5Inverz elem, művelet invertálhatósága

**14.4. ábra:** Műveletvégzés invertálása

Lényegében tehát egy olyan $b^{- 1}$ elemet keresünk, amelyre teljesül, hogy $b * b^{- 1} = n$ . Így valóban meg tudjuk fordítani a $b$ -vel való műveletvégzést, feltéve persze, hogy a $*$ művelet asszociatív, hiszen ekkor:

(a * b) * b^{- 1} = a * (= n b * b^{- 1}) = a

A $*$ művelet asszociativitása a fenti esetben a "visszafordíthatóság" miatt fontos, máskülönben a fenti átzárójelezést nem tudjuk meglépni. Így a $b^{- 1}$ -gyel való $*$ -ozás valóban visszaszolgáltatja nekünk az eredeti $a$ elemet. Nem asszociatív esetben ez nem feltétlenül van így, ám a most következő fogalom enélkül a "képesség" nélkül is fontos.

14.9. Definíció (Inverz elem, invertálhatóság):

Legyen adott egy $S$ halmaz egy rajta értelmezett $*$ művelettel, továbbá létezzen neutrális elem erre a műveletre nézve, amelyet jelöljünk $n$ -nel.

Ha egy adott $b$ elemhez létezik olyan $b^{- 1}$ -gyel jelölt elem, amelyre $b * b^{- 1} = n$ , akkor $b^{- 1}$ -et a $b$ elem jobboldali inverzének nevezzük a $*$ műveletre nézve.

Ha egy adott $b$ elemhez létezik olyan $b^{- 1}$ -gyel jelölt elem, amelyre $b^{- 1} * b = n$ , akkor $b^{- 1}$ -et a $b$ elem baloldali inverzének nevezzük a $*$ műveletre nézve.

Ha $b^{- 1}$ egyszerre jobb- és baloldali inverz, akkor őt a $b$ elem kétoldali inverzének (vagy egyszerűen csak inverzének) nevezzük a $*$ műveletre nézve. Azt mondjuk, hogy a $b$ elem invertálható, amennyiben létezik hozzá kétoldali inverz elem a $*$ műveletre nézve. Azt mondjuk, hogy a $*$ művelet invertálható, ha minden $S$ -beli elemhez létezik inverz erre a műveletre nézve.

A szakirodalomban sok helyen találkozhatunk még az ellentett elem vagy a reciprok kifejezésekkel, valamint a $- b$ illetve az $\frac{1}{b}$ jelölésekkel is. Kontextustól függően mi is felváltva fogjuk használni ezeket a fogalmakat és/vagy jelöléseket, ettől függetlenül ezek mind ugyanazt jelentik.

♣

Megjegyzés:

Természetesen kommutatív művelet esetén nincs értelme külön jobboldali vagy baloldali inverz elemről beszélni, hiszen ott minden baloldali inverz elem egyben jobboldali is, és fordítva. Megjegyezzük még, hogy a neutrális elem fogalmával ellentétben itt nem egyetlen, az $S$ halmazra nézve globális elemről van szó, amely rendelkezik az "inverzséggel", mint tulajdonsággal. Inverz elemről beszélni csak akkor van értelme, ha megmondjuk azt is, hogy melyik $S$ -beli elemnek keressük az inverzét.

♣

Rögtön felmerülhet a kérdés, hogyha egy adott elemhez egy műveletre nézve létezik inverz, akkor vajon az egyértelmű-e? Ezt válaszolja meg az alábbi tétel.

14.10. Tétel (Inverz elem egyértelműsége):

Tegyük fel, hogy $*$ egy valamilyen $S$ halmazon értelmezett asszociatív kétváltozós művelet. Ekkor tetszőleges $S$ -beli $a$ elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik erre a műveletre nézve. Más szavakkal minden $a$ elem inverze – amennyiben létezik – egyértelmű.

♣

Bizonyítás:

Indirekt tegyük fel, hogy egy $a$ elemnek két inverze is létezik a $*$ műveletre nézve. Jelöljük ezeket $x$ -szel és $y$ -nal. Egyrészt mivel $x$ inverz, ezért egyben baloldali inverz is. Így igaz az alábbi:

(x * a) * y = n * y = y

Másrészt, mivel $y$ is inverz, ezért egyben jobboldali inverz is. Így igaz az alábbi is:

x * (a * y) = x * n = x

Tekintve, hogy a $*$ művelet asszociatív, ezért a fenti két egyenlet baloldalai megegyeznek, így tulajdonképpen indirekt feltételezésünkkel ellentétben $x = y$ . Az $a$ elem inverze tehát valóban egyértelmű, amennyiben létezik.

∎

A neutrális elemmel ellentétben tehát egy adott elem inverze csak asszociatív művelet esetén egyértelmű, általánosságban azonban ez nem feltétlenül van így.

Most gondoljuk végig, tudunk-e példákat mutatni az inverz fogalmára az eddig tanultakból. A természetes számok $N$ halmazán ugye nem, hiszen épp azért kezdtük el a számfogalom bővítését és vezettük be a negatív számokat, mert sem a 11.4. Definíció szerinti összeadás, sem pedig a 12.1. Definíció szerinti szorzás nem invertálható. Ezzel szemben a $Z$ halmazon értelmezett $\oplus$ művelet invertálható, hiszen egy tetszőleges $[(a; b)]$ -vel jelölt egész számnak az ellentettje erre a műveletre nézve épp a $[(b; a)]$ -val jelölt egész szám. Ezek összege ugyanis a 11.4. Definíció értelmében az $[(a + b; b + a)]$ egész szám, amely a 13.10. Tétel alapján megegyezik a $[(0; 0)]$ egész számmal, azaz a $\oplus$ művelet neutrális elemével.

A 13.11. Definícióban bevezetett hagyományos jelölésekkel tehát egy $n$ egész szám $\oplus$ műveletre vonatkozó ellentettje a $- n$ egész szám, és fordítva. Ezt a tényt – tehát, hogy minden egész számnak létezik ellentettje – kihasználva mostmár értelmezhetjük a harmadik alapműveletünket, vagyis a kivonást.

14.11. Definíció (Egesz számok kivonása):

A $Z$ halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett $⊖$ -szal jelölt kétváltozós műveletet kivonásnak nevezzük:

[(a; b)] ⊖ [(c; d)] = [(a; b)] \oplus - [(c; d)] = [(a; b)] \oplus [(d; c)]

A fentiekben $\oplus$ a 13.13. Definíció szerinti összeadást, $- [(x; y)]$ pedig az $[(x; y)]$ egész szám ellentettjét jelöli a $\oplus$ műveletre nézve.

Hagyományos jelölésekkel, műveleti jelként $⊖$ helyett a megszokott $-$ szimbólumot használva ezt is írhatjuk:

n - k = n + (- k)

Ez tehát azt jelenti, hogy egy $n$ egész számból egy $k$ egész számot úgy vonunk ki, hogy hozzáadjuk az ellentettjét.

♣

Sajnos azonban az osztás fogalmát még mindig nem tudjuk értelmezni a $Z$ halmazon, mivel a $⊙$ művelet nem invertálható ebben a számkörben. Ehhez tovább kéne bővítenünk a szám fogalmát, és bevezetni az úgynevezett racionális számokat, amelyeket kevésbé tudományosan törtszámoknak szoktunk nevezni. Ezt ebben a cikksorozatban nem fogjuk megtenni, így általánosságban nem fogjuk tudni elvégezni az egész számok közötti osztást. A 16.1. szakaszban azonban bevezetjük majd az oszthatóság fogalmát, amely bizonyos esetekben mégis lehetővé teszi, hogy egy egész számot "elosszunk" egy másik egész számmal. Ez az "osztás" azonban algebrai értelemben nem lesz művelet, hiszen nem végezhető el általánosságban bármely két egész szám között.

14.6Gyűrűk és testek

Most az eddig tanult fogalmakkal felvértezve ismerkedjünk meg két olyan algebrai struktúrával, amelyek a további számelméleti vizsgálataink során központi szerepet fognak játszani. Ezeket tekinthetjük az egész számok $Z$ halmaza egyfajta általánosításainak, amelyek azonban annál jóval messzebbre fognak vezetni bennünket.

14.12. Definíció (Gyűrű, test):

Legyen $R$ valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük $+$ -szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük $\cdot$ -tal, vagy egymás után írással. Az így kapott $(R, +, \cdot)$ algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük, amennyiben teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok – az úgynevezett gyűrűaxiómák:

+

művelet kommutatív és asszociatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

a + b (a + b) + c = b + a = a + (b + c)

+

műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű nullelemének nevezünk és

0

-val jelölünk. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elem esetén

a + 0 = a

+

művelet invertálható. Egy

a

elem erre a műveletre vonatkozó inverzét

a

ellentettjének (vagy additív inverzének) nevezzük, és

- a

-val jelöljük. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elemhez létezik olyan

- a

-val jelölt elem, hogy

a + (- a) = 0

\cdot

művelet asszociatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

\cdot

művelet disztributív a

+

műveletre nézve, azaz tetszőleges

R

-beli

a

b

és

c

elemek esetén

a \cdot (b + c) (b + c) \cdot a = ab + a c = ba + c a

Azokat a gyűrűket kommutatív gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

\cdot

művelet kommutatív, azaz tetszőleges

R

-beli

a

és

b

elemek esetén

a \cdot b = b \cdot a

Azokat a gyűrűket egységelemes gyűrűknek nevezzük, amelyek esetén az 1-5. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

\cdot

műveletre nézve létezik neutrális elem, amelyet a gyűrű egységelemének nevezünk és

1

-gyel jelölünk. Azaz tetszőleges

R

-beli

a

elem esetén

1 \cdot a a \cdot 1 = a = a

Egy $a$ elem $\cdot$ műveletre vonatkozó inverzét – amennyiben létezik – $a$ multiplikatív inverzének nevezzük, és $a^{- 1}$ -gyel, vagy $\frac{1}{a}$ -val jelöljük. Ezek esetében tehát

a \cdot a^{- 1} a^{- 1} \cdot a = 1 = 1

Azokat az egységelemes és kommutatív gyűrűket testnek nevezzük, amelyek esetén az 1-7. axiómákon kívül teljesül az alábbi is:

A gyűrű nullelemén kívül minden

R

-beli

a

elemnek létezik multiplikatív inverze.

Azt a gyűrűt, amely kizárólag a $0$ elemet – azaz a gyűrű nullelemét – tartalmazza, nullgyűrűnek nevezzük. Ezt definíció szerint nem tekintjük egységelemes gyűrűnek (és így persze testnek sem) annak ellenére, hogy a $0$ ebben az elfajult esetben nyilvánvalóan egyrészt neutrális elem, másrészt önmaga inverze mindkét műveletre nézve.

♣

Felhívnánk a figyelmet arra, hogy a fenti definícióban semmit nem tételeztünk fel az $R$ halmazról és a két műveletről azon kívül, hogy teljesülnek rájuk a definícióban szereplő gyűrűaxiómák. Az, hogy "összeadásnak" és "szorzásnak" neveztük a két műveletet, egyáltalán nem azt jelenti, hogy ezeknek adott esetben bármiféle közük van az ebben és az előző fejezetben bevezetett egész számok közötti összeadáshoz és szorzáshoz. Az $R$ halmaz elemei még csak nem is feltétlenül számok.

A gyűrűk és a testek vizsgálatával az absztrakt algebra foglalkozik. Ezek tehát a fejünkben élő számfogalom egyfajta általánosításai, absztrakciói. Célszerű azonban az egész számok $Z$ halmazára, illetve az ezen a halmazon értelmezett összeadásra és szorzásra gondolni, amikor például gyűrűkre vonatkozó általános összefüggésekről beszélünk. Mint látni fogjuk, ezek az összefüggések bármilyen más gyűrűre ugyanúgy érvényesek lesznek. Ilyen értelemben az absztrakt algebra igen hatékony fegyverként bevethető lesz konkrét – azaz nem absztrakt – problémák megoldására is. Éppen ezért a tágabb értelemben vett számelmélet főként a gyűrűket, illeve azok szerkezetét vizsgálja. A továbbiakban ezért mi is általános gyűrűkre vonatkozó összefüggéseket fogunk bizonyítani, amennyire csak lehetséges.

14.7Visszatérés a megszokott jelölésekhez

A 13.8. Definícióval a 13.4. szakaszban bevezettük az egész számok $Z$ halmazát, amelynek elemeit természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként határoztuk meg. Ezekre a szokatlan $[(a; b)]$ jelölésmódot alkalmaztuk, és definiáltunk közöttük egy "összeadásnak" és "szorzásnak" nevezett műveletet, amelyeket a szintén szokatlan $\oplus$ és $⊙$ szimbólumokkal jelöltünk. Erre a szokatlan jelölésmódra azért volt szükség, mert szerettük volna kihangsúlyozni, hogy a $(Z, \oplus, ⊙)$ algebrai struktúrának látszólag semmi köze nincs a 11. és a 12. fejezetben bevezetett, a Peano-axiómarendszer által meghatározott $(N, +, \cdot)$ algebrai struktúrához, azaz a természetes számok halmazához.

Mostanra azonban már kiderült, hogy ez utóbbi struktúra beágyazható a $Z$ halmazba, méghozzá az $f (n) = [(n; 0)]$ függvénnyel, amelyről bizonyítottuk, hogy algebrai értelemben tartja a természetes számok összeadását és szorzását. Ez azt jelenti számunkra, hogy a természetes számok eredeti halmazán – amelyet átmenetileg $N_{1}$ -gyel jelöltünk – és annak $f$ szerinti képén – amelyet átmenetileg $N_{2}$ -vel jelöltünk, és amely már a $Z$ halmaz része – a műveletek gyakorlatilag ugyanúgy viselkednek, leszámítva a jelölésbeli különbséget.

Természetes számok beágyazása Z-be — **14.5. ábra:** Természetes számok beágyazása $Z$ -be

A továbbiakban tehát nyugodtan elfelejthetjük a régi $(N_{1}, +, \cdot)$ algebrai struktúrát, és tekinthetjük az új $(N_{2}, \oplus, ⊙)$ algebrai struktúrát a természetes számoknak, amely így már az általánosabb $(Z, \oplus, ⊙)$ algebrai struktúra része. Amint az az alábbi tételből kiderül, ez az algebrai struktúra előnyösebb tulajdonságokkal rendelkezik az elődjéhez képest.

14.13. Tétel (Az egész számok gyűrűje):

A 13.8. Definícióban bevezetett $Z$ halmaz egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot a 13.13. Definíció szerinti $\oplus$ és a 14.3. Definíció szerinti $⊙$ műveletekkel. Ezt a gyűrűt az egész számok gyűrűjének nevezzük.

♣

Bizonyítás:

Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómák teljesülését.

1. axióma: A $\oplus$ művelet a 13.15. Tétel alapján valóban kommutatív és asszociatív.

2. axióma: A $[(0; 0)]$ egész szám valóban neutrális elem a $\oplus$ műveletre nézve, hiszen a 13.13. Definíció alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén

[(a; b)] \oplus [(0; 0)] = [(a + 0; b + 0)] = [(a; b)]

3. axióma: Ugyanezen definíció, valamint a 13.10. Tétel alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén $[(a; b)]$ és $[(b; a)]$ valóban egymás inverzei a $\oplus$ műveletre nézve, hiszen

[(a; b)] \oplus [(b; a)] = [(a + b; b + a)] = [(0; 0)]

4., 5. és 6. axióma: Lásd a 14.6. Tételt

7. axióma: Az $[(1; 0)]$ egész szám valóban neutrális elem a $⊙$ műveletre nézve, hiszen a 14.3. Definíció alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén

[(a; b)] ⊙ [(1; 0)] = [(a \cdot 1 + b \cdot 0; a \cdot 0 + b \cdot 1)] = [(a; b)]

A $(Z, \oplus, ⊙)$ algebrai struktúra tehát valóban egy kommutatív és egységelemes gyűrű, ahogyan a tétel állítja.

∎

A továbbiakban tehát a fura $\oplus$ , $⊙$ és $⊖$ jelölések helyett rendre a $+$ , a $\cdot$ (vagy egymás után írás) és a $-$ szimbólumokat fogjuk használni a $Z$ halmazon értelmezett műveleteinkhez. Ezen kívül az egész számokat a továbbiakban nem a szintén szokatlan $[(a; b)]$ alakban fogjuk jelölni, hanem a 13.11. Definícióban szereplő, az általános iskolából jól ismert jelöléseket használjuk mostantól. Végül a természetes számok $N$ halmaza alatt a továbbiakban $Z$ -nek azt a részhalmazát fogjuk érteni, amely a pozitív egész számokat és a nulla egész számot tartalmazza.

Ebben a fejezetben intuitív módon értelmeztük a szorzás műveletét is az egész számok halmazán. Ezután megmutattuk róla, hogy teljesíti a megszokott azonosságokat, valamint ugyanúgy viselkedik, mint az $N$ halmazon értelmezett természetes számok közötti szorzás. Végül megismerkedtünk néhány hasznos absztrakt algebrai fogalommal, és megmutattuk, hogy a $Z$ halmaz egy úgynevezett kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot az új műveleteinkkel, emiatt a kivonás korlátlanul elvégezhető rajta. Így már tulajdonképpen teljessé vált $N$ beágyazása $Z$ -be a $\leq$ rendezési reláció kiterjesztésétől eltekintve, amelyet következő fejezetben fogunk elvégezni. Megemlítettük azonban, hogy az osztás még a $Z$ halmazon sem végezhető el korlátlanul. Ez a 16. fejezetben elvezet minket az egyik legfontosabb számelméleti fogalomhoz, méghozzá az oszthatóság kérdéséhez.

14.1Egyenletek megoldása az N halmazon

14.1. Lemma:

Bizonyítás:

14.2. Lemma:

Bizonyítás:

14.2Hogyan szorozzunk a Z halmazon?

I. követelmény: az f leképezés legyen szorzattartó

II. követelmény: adósság szorzása pozitív egész számmal

III. követelmény: pozitív egész szám szorzása adóssággal

IV. követelmény: adósság szorzása adóssággal

14.3A Z-beli szorzás definíciója

14.3. Definíció (Egész számok szorzása):

14.4. Tétel:

Bizonyítás:

14.5. Tétel:

Bizonyítás:

14.6. Tétel:

Bizonyítás:

14.4Neutrális elem

14.7. Definíció (Neutrális elem):

Megjegyzés:

14.8. Tétel (Neutrális elem egyértelműsége):

Bizonyítás:

14.5Inverz elem, művelet invertálhatósága

14.9. Definíció (Inverz elem, invertálhatóság):

Megjegyzés:

14.10. Tétel (Inverz elem egyértelműsége):

Bizonyítás:

14.11. Definíció (Egesz számok kivonása):

14.6Gyűrűk és testek

14.12. Definíció (Gyűrű, test):

14.7Visszatérés a megszokott jelölésekhez

14.13. Tétel (Az egész számok gyűrűje):

Bizonyítás:

14.1Egyenletek megoldása az $N$ halmazon

14.2Hogyan szorozzunk a $Z$ halmazon?

I. követelmény: az $f$ leképezés legyen szorzattartó

14.3A $Z$ -beli szorzás definíciója