Alice és Bob eladósodik

13.1Kompánia bankárai

A 7.1. szakaszban már megismert Kompánia országában az állampolgárok már időtlen idők óta aranytallérokat használtak fizetőeszközként. Sajnos azonban – ahogy az lenni szokott – egyre jobban kezdett elterjedni a bűnözés. Ezért az emberek egy idő után már nem szívesen tárolták aranytallérjaikat otthon a párna alatt. Volt, aki elásta a kertben, mások elrejtették a padláson vagy egyéb helyeken. Azaz egyre nagyobb piaci igény kezdett el kialakulni egy olyan szolgáltatásra, amely biztosítani tudja az állampolgárok számára pénzük biztonságos tárolását.

Megjelentek tehát a bankok, akik vállalták, hogy megőrzik és nyilvántartják az emberek aranytallérjait némi jutalékért cserébe. Minden ügyfelük számára nyitottak tehát egy úgynevezett betéti számlát. Ez azt tartalmazta, hogy a banknál tárolt összes aranytallér közül hány darab tartozik az adott ügyfélhez. Ennek leírására logikus módon a természetes számok már jól ismert $\N$ halmazának elemeit használták.

A kapzsi bankárok azonban hamar felismerték, hogy mivel kereshetnének jóval több pénzt annál, mint amit a betéti számlák után jutalékként kapnak az ügyfelektől. Elkezdtek hát további jutalékért cserébe kölcsönadni aranytallérokat az embereknek. Egyre többet és többet. Egy idő után már annál is többet, mint amennyi aranytallért összesen őriztek a páncéltermeikben. Ezt a látszólagos ellentmondást egy roppant egyszerű trükkel oldották fel. Minden ügyfél számára nyitottak egy úgynevezett hitelszámlát is a már meglévő betéti számla mellé. Ez azt tartalmazta, hogy az adott ügyfél a banknak mennyi aranytallérral tartozik. Logikus módon ennek leírására is a természetes számok $\N$ halmazának elemeit használták.

Természetesen sok esetben nem történt valódi aranytallér kifizetés az ügyfél számára, hiszen nem is mindig volt rá szükség. Tegyük fel például, hogy Alice vásárol valamit Bobtól $n$ aranytallérért, de nincs rá pénze. Megkéri ezért a bankot, hogy adjon hozzá a saját hitelszámlájához $n$ aranytallérnyi összeget, Bob betéti számlájához pedig szintén adjon hozzá egy ugyanekkora összeget. Vegyük észre, hogy habár nem történt valódi aranytallér fizetés Alice és Bob között, a banknál nyilvántartott számláik alapján azonban mégis elmondhatjuk, hogy Bob "vagyona" $n$ aranytallérral növekedett, miközben Alice "vagyona" ugyanekkora összeggel csökkent.

Ebből mindaddig nincs probléma, ameddig az ügyfelek nem kezdik el tömegesen kivenni az aranytallérjaikat a bankokból. Ha azonban ez mégis megtörténik valami miatt, akkor nagy meglepetésben lesz részük. A bank páncéltermében tárolt valódi aranytallérok száma ugyanis jóval kevesebb, mint amennyinek a betéti és hitelszámlák alapján ott kéne lennie. Nyilvánvaló tehát, hogy szabályozni kell, hogy a bankok mennyi aranytallérnyi összeget tarthatnak nyilván az ügyfelek számláin ahhoz képest, mint amennyit valóban tárolnak a páncéltermükben. Kompánia országában például 8:1 ez az arány. Ez azt jelenti, hogy ha egy bank páncéltermében 100 valódi aranytallér van, akkor az ügyfelek számláin összesen 800 virtuális aranytallér lehet nyilvántartva. De természetesen Kompánia csak egy képzeletbeli ország...

Számunkra most nem is a hitelkihelyezés állami szabályozásának módja az érdekes, ezért feltételezzük, hogy a bankok természetesen a törvényeknek megfelelően és tisztességesen működnek. Szándékosan az "és", nem pedig a "tehát" szót használtam, mivel a törvényes működésből nem feltétlenül következik a tisztesség. Most inkább azt vizsgáljuk meg, hogy mi az, ami egy ügyfél vagyonát jellemzi a fenti felállásban.

13.2A vagyon, mint mennyiség

A 13.1. szakaszban tehát egy mérhető mennyiség fogalma kezdett el körvonalazódni, amely – mint látni fogjuk – alapjában véve más, mint azok a mennyiségek, amelyeket eddig az $\N$ halmaz elemeivel tudtunk mérni. A fenti bankos példában ezt a mennyiséget "vagyonnak" neveztük, amit a "betéti" és a "hitelszámla" egyenlegével, azaz lényegében egy természetes számokból álló párral jellemeztünk. A továbbiakban is használni fogjuk ezeket a bankokhoz köthető fogalmakat a könnyebb érthetőség kedvéért, azonban tartsuk szem előtt, hogy absztrakt szinten ezek lényegtelenek.

Egy vagyont, mint mennyiséget leíró matematikai objektum tehát a természetes számokból alkotott párok halmazának egy eleme. Ezt a halmazt a 12.8. Definíció fényében $\N \times \N$-nel jelöljük. Ennek a halmaznak egy eleme például a $(3;2)$ számpár, egy másik eleme pedig mondjuk a $(4;3)$ számpár. Általánosságban egy $(a;b)$ számpár – ahol $a$ is és $b$ is természetes számok – egy olyan ügyfél vagyonát jelöli, akinek a betéti számláján $a$ darab, míg a hitelszámláján $b$ darab aranytallér van nyilvántartva.

Vegyük észre, hogy egy ügyfél vagyona nem változik, ha mind a hitel-, mind pedig a betéti számlájának egyenlegét ugyanazzal az összeggel növeljük. Előfordulhat tehát az, hogy egy $(a;b)$ számpár ugyanazt a vagyont jelöli, mint egy $(c;d)$ számpár, holott $a\neq c$ és $b\neq d$. A 12.5. szakaszban megismertük a kétváltozós reláció fogalmát, amellyel egy halmaz elemei között valamilyen viszony meglétét, vagy meg nem létét fejezhetjük ki. Jelen esetben az $\N\times \N$ halmazban lévő számpárok között szeretnénk azt a viszonyt kifejezni, hogy két ilyen számpár "ugyanazt a vagyont jelöli"-e vagy nem. Most öntsük mindezt matematikai formába.

A 13.1. Definíció 1. pontja tehát azt fejezi ki, hogy ha a reláció baloldalán lévő számpár mindkét komponensét ugyanazzal az $n$ értékkel növeljük meg, akkor az így kapott jobboldali számpár ugyanazt a vagyont jelölje. A 2. pont ugyanezt mondja ki, csak a másik irányban. Erre azért van szükség, mivel azt szeretnénk, hogy minden olyan esetben, amikor az "ugyanazt a vagyont jelöli"-reláció két számpár között fennáll az egyik irányban, akkor fennálljon a másik irányban is. Nyilvánvaló, hogy egy valamiféle egyenlőséget vagy azonosságot kifejező relációtól elvárjuk ezt a tulajdonságot. Ezt azonban rögzíteni kell a definícióban, ha a továbbiakban hivatkozni szeretnénk rá. Ez alapján például $(3;2)\sim (4;3)$ a definíció az 1. pontja miatt, míg $(4;3)\sim (3;2)$ a definíció a 2. pontja miatt teljesül. Az ilyen jellegű relációknak a 13.3. szakaszban külön nevet is fogunk majd adni.

Az "ugyanazt a vagyont jelöli"-reláció 13.1. Definíciója jól leírja azt az intuitív gondolatot, hogy mikor tekintünk két vagyont leíró számpárt azonosnak. Ez azonban a gyakorlatban nem túl praktikus. Ha például az a kérdés, hogy $(2738;12993)\sim (3625; 13885)$ teljesül-e, akkor máris gondba kerülünk. Mondhatnánk azt, hogy mivel a $3625-2738$ és a $13885-12993$ különbségek nem egyeznek meg, ezért ez a reláció nem teljesül. De ne feledjük, hogy ez csalás lenne, mivel a kivonás fogalma még nem létezik számunkra. Ezért szükségünk van egy olyan kritériumra, amelyet a már létező fogalmainkkal könnyen tudunk ellenőrizni, és pontosan azokban az esetekben teljesül, amikor a 13.1. Definíció által megfogalmazott követelmények is. Egy ilyen kritériumot fogalmaz meg az alábbi tétel.

Vegyük észre, hogy ez már egy olyan feltétel, amely kizárólag a 11.4. Definícióban bevezetett természetes számok közötti összeadás műveletét használja. Ha ez a tétel igaz, akkor az azt jelenti, hogy akár ezzel a kritériummal is definiálhattuk volna a $\sim$ relációt. Ebből azonban nem látszódna egyértelműen a vagyoni helyzetek mérésére vonatkozó analógia. A tétel bizonyítása egyszerű, de a részletes indoklás miatt kissé hosszadalmas.

Most tehát van egy olyan relációnk, amellyel a vagyoni helyzeteket mérő számpárok – tehát lényegében az $\N \times \N$ halmaz elemei – között valamiféle egyenlőséget tudunk kifejezni. Azt fogjuk megvizsgálni, hogy milyen hatása van ennek a relációnak az $\N \times \N$ halmazra. Ehhez egy újabb fontos fogalommal fogunk megismerkedni.

13.3Ekvivalenciarelációk

A 12.6. szakaszban megismerkedtünk az úgynevezett rendezési relációkkal. Ezek ugye arra szolgálnak, hogy egy halmaz elemei között valamilyen egyértelmű sorrendet tudjunk felállítani.

Ebben a szakaszban relációk egy másik fajtájával fogunk megismerkedni. Ezek nem arra szolgálnak, hogy sorrendet állítsunk fel egy halmaz elemei között, hanem arra, hogy azokat csoportosítani tudjuk. Méghozzá oly módon, hogy a halmaz minden eleme pontosan egy csoportba kerüljön. Ez azt jelenti, hogy minden elemről egyértelműen meg lehessen mondani, hogy ő melyik csoportba került. Ezenkívül ne legyen olyan elem, amely nem került bele egyik csoportba sem. Egy halmaz elemeinek ilyen jellegű csoportosításának külön neve van.

A 13.1. ábra egy $10$ elemű halmaz egy lehetséges partícióját mutatja:

Ezzel szemben a 13.2. ábrán lévő csoportosítás nem partíció, mivel van olyan elem, amely nem került be egyetlen részhalmazba sem, valamint van olyan elem, amely egynél több részhalmazba is bekerült:

Egy ilyen csoportosítást megvalósító relációnak tehát azt kell tudnia megmondani két tetszőleges elemről, hogy ők azonos csoportba kerültek-e, vagy sem. Most vizsgáljuk meg, hogy milyen speciális tulajdonságok szükségesek ahhoz, hogy ez a csoportosítás valóban egy partíció legyen. Érezhető, hogy a reflexivitás és a tranzitivitás mindenképpen szükséges lesz. Nyilvánvaló ugyanis, hogy egy elem önmagával azonos osztályba kerül bármilyen partíció esetén (az "azonos osztályban van"-reláció tehát reflexív). Ezenkívül az is nyilvánvaló, hogy ha $a$ és $b$ azonos osztályba kerültek, valamint $b$ és $c$ is azonos osztályba kerültek, akkor $a$ és $c$ is azonos osztályba kerültek (a reláció tehát tranzitív).

E két speciális tulajdonságon kívül azonban szükség van még egy harmadikra is, amelyet most ismertetünk.

Ez egész egyszerűen annyit fejez ki, hogyha két elem között fennáll a reláció valamelyik irányban, akkor fennáll a másik irányban is. Megjegyezzük még, hogy a nevével ellentétben ez a tulajdonság nem ellentéte a 12.11. Definíció szereplő antiszimmetria tulajdonságának. Létezik ugyanis olyan reláció, amely egyszerre szimmetrikus és antiszimmetrikus. Triviális példa erre egy tetszőleges halmaz elemeinek egyenlősége, mint reláció. Létezik továbbá olyan reláció is, amely se nem szimmetrikus, se nem antiszimmetrikus. Erre a 16.1. szakaszban fogunk példát mutatni, amikor bevezetjük az oszthatóság fogalmát, amely alapvető fontosságú lesz minden további vizsgálatunk szempontjából.

Ezek után a rendezési relációkhoz hasonlóan most relációknak egy újabb fajtájával ismerkedünk meg.

Most vizsgáljuk meg, hogy egy ekvivalenciareláció valóban alkalmas-e egy halmaz elemeinek csoportosítására oly módon, hogy ez a csoportosítás egy partíció legyen. Az alábbi tétel azt mondja ki, hogy a reflexivitáson, tranzitivitáson és szimmetrián kívül nincs szükség egyéb tulajdonságra ehhez.

Bizonyítás:

Induljunk ki a tétel első felében szereplő $R$ ekvivalenciarelációból. Olyan nyilván nem fordulhat elő, hogy egy $a$ elem nem kerül bele egyik csoportba sem. A reflexivitás miatt ugyanis $a$ legalább önmagával relációban áll, így ő legrosszabb esetben is benne van egy egyelemű (csak $a$-t tartalmazó) csoportban. Indirekt tegyük most fel, hogy $a$ két olyan csoportban is benne van, amelyek tartalmaznak további elemeket és különböznek egymástól. Ez a szituáció látható a 13.3. ábrán.

Mivel $a$ és $b$ egy csoportba kerültek, ezért $aRb$ teljesül. Hasonló okok miatt teljesül $aRc$ is. De ha $aRc$ teljesül, akkor a szimmetria miatt $cRa$ is teljesül. De mivel $cRa$ és $aRb$ egyszerre teljesül, ezért a tranzitivitás miatt $cRb$ is teljesül. Ez viszont azt jelenti, hogy $c$-nek és $b$-nek mégiscsak ugyanabba a csoportba kellett volna kerülnie, ami ellentmond annak a feltételezésünknek, hogy kialakulhat az ábrán lévő szituáció. Az $R$ ekvivalenciareláció által a tételben szereplő módon meghatározott csoportosítás tehát valóban egy partíció az $S$ halmazon.

Megfordítva: Tekintsük most $S$ egy tetszőleges partícióját, amelyben tehát minden elem pontosan egy csoportban van. Képezzük ebből az $R$ relációt a tétel szerint. Az $R$ reláció reflexív, mivel tetszőleges $a$ elem nyilvánvalóan ugyanabban a csoportban van, mint önmaga, legyen szó bármilyen partícióról. Hasonlóan az $R$ reláció szimmetrikus, mivel ha egy tetszőleges $a$ elem ugyanabban a csoportban van, mint egy tetszőleges $b$ elem, akkor nyilván $b$ elem is ugyanabban a csoportban van, mint $a$ elem, legyen szó bármilyen partícióról.

Végezetül indirekt tegyük fel, hogy $R$ nem tranzitív, azaz léteznek olyan galád $a$, $b$ és $c$ elemek, amelyekre $aRb$ és $bRc$ teljesül, ugyanakkor $a\cancel{R} c$. Ez csak akkor fordulhat elő, ha $a$ és $c$ két különböző csoportban van, $b$ viszont mindkét csoportnak eleme. Ez látható a 13.4. ábrán.

Ez viszont ellentmond annak, hogy a csoportosítás, amiből a tétel szerinti $R$ relációt képeztük egy partíció volt. Az $R$ reláció tehát mégiscsak tranzitív. Mivel beláttuk, hogy teljesül mindhárom követelmény, ezért $R$ valóban egy ekvivalenciareláció.

Megnézem a tudásbázisban→

∎

13.4Az egész számok, mint ekvivalencia-osztályok

A fentiek fényében térjünk most vissza a 13.2. szakaszban definiált $\sim$ relációnkhoz, amelyet az $\N\times \N$ halmazon – azaz a természetes számokból álló párokon – értelmeztünk a 13.1. Definíció alapján. Megjegyezzük, hogy a 13.2. Tétel miatt e reláció vonatkozásában mindegy, hogy a tételben vagy a reláció eredeti definíciójában szereplő feltételeket használjuk a továbbiakban, hiszen az említett tétel épp azt mondja ki, hogy vagy mindkét tulajdonság teljesül, vagy egyik sem. Az alábbi tétel igazolásához – amely a $\sim$ reláció kulcsfontosságú tulajdonságát mondja ki – az utóbbit fogjuk használni.

Ha viszont $\sim$ egy ekvivalenciareláció, akkor a 13.6. Tétel alapján ez a reláció ekvivalencia-osztályokra bontja az $\N\times \N$ halmazt. Vizsgáljuk meg, hogyan néznek ki ezek az ekvivalencia-osztályok. Ábrázoljuk az $\N\times \N$ halmaz elemeit egy kétdimenziós koordinátarendszer rácspontjaiként, és csoportosítsuk ezeket a pontokat az ekvivalencia-osztályok alapján. A 13.5. ábrán ez a csoportosítás látható.

A vagyoni helyzetek analógiájával élve az azonos csoportba került számpárok mind ugyanazt a vagyoni helyzetet írják le. Ha például egy ügyfélnek $0$ aranytallér van a betéti számláján és $1$ aranytallér a hitelszámláján, akkor ugyanolyan a vagyoni helyzete, mintha $2$ aranytallér lenne a betéti számláján és $3$ a hitelszámláján. Az első esetet a $(0;1)$, míg a második esetet a $(2;3)$ számpár írja le. Mivel vagyoni helyzet szempontjából mindegy, hogy melyik leírást választjuk, ezért ennek megfelelően e két számpár ugyanabba az ekvivalencia-osztályba került. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a $(0;1)$ és a $(2;3)$ számpárok ugyanazt az ekvivalencia-osztályt reprezentálják.

Minket ezért a továbbiakban nem külön-külön az egyes számpárok, azaz az $\N\times \N$ halmaz elemei érdekelnek, hanem azok az ekvivalencia-osztályok, amelyeket reprezentálják. A most következő, elsőre furcsának tűnő definíció bevezet egy olyan halmazt, amelynek az elemei ezek az ekvivalencia-osztályok lesznek. Ez a halmaz annyira fontos lesz a továbbiakban, hogy a definíció külön nevet is ad ezeknek az ekvivalencia-osztályoknak, mint e halmaz elemeinek.

Jól vigyázzunk a fenti jelölésekkel, az $(a;b)$ ugyanis egy egyszerű természetes számokból álló párt jelöl, amely az $\N\times \N$ halmaz eleme. Ezzel szemben $[(a;b)]$ egy ekvivalencia-osztályt, azaz – az iménti definíció szerinti elnevezés alapján – egy egész számot jelöl, amely viszont a $\Z$ halmaz eleme. Igaz továbbá, hogy egy egész számot végtelen sok különböző számpárral reprezentálhatunk. Ha például $(c;d)$ egy olyan számpár, hogy $(a;b)\sim (c;d)$, akkor a $[(c;d)]$ is ugyanazt az egész számot jelöli, mint $[(a;b)]$. Ez nagyon hasonló ahhoz, mint amikor törtszámokat írunk le többféleképpen. Például $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\dots$.

A 13.8. Definíció azért tűnik elsőre furcsának, mert nem vagyunk hozzászokva, hogy egy egész számot $[(a;b)]$ alakban jelöljünk. Ezért hamarosan be fogunk vezetni egy olyan jelölést, amelyet az általános iskolában már megszoktunk. Egyelőre azonban tekintsük továbbra is ezeket az $[(a;b)]$ alakú furcsaságokat az egész számoknak.

13.5A természetes számok beágyazása $\Z$-be

Most tehát egyrészt van egy $\N$-nel jelölt halmazunk a rajta értelmezett két művelettel és a $\leq$ relációval, amelyek definiálásához áttételesen vagy közvetlenül a 11.1. Definícióban szereplő Peano-axiómarendszert használtuk. Ennek elemeit természetes számoknak neveztük. Másrészt van egy $\Z$-vel jelölt halmazunk, amelynek elemei az $\N\times \N$ halmazon értelmezett, 13.1. Definíció szerinti $\sim$-vel jelölt reláció ekvivalencia-osztályai. Ezeket az ekvivalencia-osztályokat – bármilyen furcsa is egyelőre – egész számoknak neveztük.

Látható, hogy $\N$ és $\Z$ a mostani értelmezésünk szerint két, teljesen más jellegű objektumokat tartalmazó halmaz, így nyilván egyik sem lehet részhalmaza a másiknak. Mivel mi jelenleg az eddig megismert természetes számok általánosításán dolgozunk, ezért ez nem elfogadható számunkra. Egy általánosítás során ugyanis az a kívánatos, hogy a speciálisabb kiindulási objektumok halmaza az általánosabb objektumok halmazának részhalmaza legyen.

Az eddigi $\N$-nek nevezett halmazról tehát át szeretnénk térni a továbbiakban egy olyan halmazra, amely $\Z$-nek valamilyen részhalmaza, és "ugyanúgy viselkedik", mint a "régi" $\N$ halmaz. Az "ugyanúgy viselkedik" kifejezés jelentésére hamarosan rátérünk, de az már biztos, hogy szükségünk van egy függvényre, amely a "régi" és az "új" $\N$ halmaz elemeit kölcsönösen egyértelműen megfelelteti egymással.

Jelöljük most átmenetileg a "régi" halmazt $\N_1$-gyel, az "újat" $\N_2$-vel (amely ugye már része $\Z$-nek), a közöttük lévő kölcsösen egyértelmű függvényt pedig $f$-fel. A kölcsönösen egyértelműség ebben az esetben azt jelenti, hogy minden $\N_2$-beli elem pontosan egy – azaz se nem több, se nem kevesebb – $\N_1$-beli elemhez legyen hozzárendelve az $f$ függvény által, és fordítva, minden $\N_1$-beli elemhez legyen hozzárendelve pontosan egy $\N_2$-beli elem. Ez az elrendezés látható a 13.6. ábrán.

Most térjünk rá arra a kérdésre, hogy mit jelent az, hogy $\N_2$ "ugyanúgy viselkedik", mint $\N_1$. Vegyük észre, hogy az $\N_1$ nem csupán egy halmaz, hanem definiálva van rajta egy $+$-szal és egy $\cdot$-tal jelölt művelet (lásd a 11.4. és a 12.1. Definíciót), valamint egy $\leq$-val jelölt rendezési reláció (lásd a 12.15. Definíciót).

Annak érdekében, hogy az általánosítási projektünk teljes legyen, be szeretnénk vezetni a $\Z$ halmazon is két műveletet, valamint egy teljes rendezést. De nem akárhogyan, hanem úgy, hogy amennyiben ezt a két új műveletet, valamint az új rendezési relációt csak az $\N_2$ halmazon vizsgáljuk – amely ugye $\Z$ részhalmaza –, akkor azok "ugyanúgy viselkedjenek", mint a régi $\N_1$ halmazon értelmezett műveleteink és rendezési relációnk. Az absztrakt algebrában ilyenkor azt mondjuk, hogy az $\N_1$ és az $\N_2$ halmazok közötti $f$ leképezés egy művelet- és rendezéstartó leképezés – vagy összefoglaló néven struktúratartó leképezés – kell legyen.

Vezessünk be tehát a $\Z$ halmazon is két műveletet, és egyelőre jelöljük az egyiket $\oplus$-szal, a másikat pedig $\odot$-tal, amelyek rendre a régi $\N_1$ halmazon értelmezett $+$ és $\cdot$ műveletek megfelelői lesznek. A 13.7. ábrán láthatjuk, mit jelent pontosan az, hogy az $f$ leképezés "tartja" a $+$ műveletet. A $\cdot$ művelet "tartása" ugyanígy értelmezhető.

Ha tehát a régi $\N_1$ halmaz két tetszőleges $a$ és $b$ elemei esetén a $+$ művelet eredménye a szintén $\N_1$-beli $a+b$ elem, akkor elvárjuk az $f$ leképzéstől, hogy az $\N_2$-beli $f(a)$ és $f(b)$ elemek esetén az $f(a)\oplus f(b)$ művelet eredménye a szintén $\N_2$-beli $f(a+b)$ elem legyen. Azaz tetszőleges $\N_1$-beli elemek közötti $+$ művelet eredményének képe épp az eredeti elemek képei közötti $\oplus$ művelet eredménye legyen. A $\cdot$ és az újonnan bevezetett $\odot$ műveletek tekintetében ugyanezt várjuk el az $f$ leképezéstől.

A műveletekhez hasonlóan vezessünk be egy relációt is a $\Z$ halmazon, amelyet egyelőre jelöljünk $\lesssim$-vel. Ez a régi $\N_1$ halmazon értelmezett $\leq$ reláció megfelelője lesz a $\Z$ halmazban. A 13.8. ábrán láthatjuk, mit jelent az, hogy az $f$ leképezés "tartja" a $\leq$ relációt.

Azaz tetszőleges $\N_1$-beli elemek között pontosan akkor teljesüljön a $\leq$ reláció, ha az $\N_2$-beli képeik között teljesül a $\lesssim$ reláció.

Az absztrakt algebrában ezek a különleges, "tartási tulajdonságokkal" rendelkező függvények vagy leképezések központi jelentőségűek. Segítségükkel ugyanis a különböző úgynevezett algebrai struktúrák (azaz műveletekkel és/vagy relációkkal ellátott halmazok) mélyebb szerkezete vizsgálható anélkül, hogy elvesznénk az egyes konkrét reprezentációk részleteiben. Ezért fontos, hogy megismerkedjünk az alábbi fogalmakkal, amelyek az imént leírtakat öntik precíz matematikai formába.

13.9. Definíció (Homomorfizmus, izomorfizmus, beágyazás):

Legyen $A$ és $B$ két, valamilyen műveletekkel és/vagy relációkkal ellátott halmaz, amely műveletek és relációk összepárosíthatók egymással olymódon, hogy minden $A$-n értelmezett művelet (illetve reláció) pontosan egy $B$-n értelmezett művelettel (illetve relációval) áll párban, és minden $B$-n értelmezett művelet (illetve reláció) pontosan egy $A$-n értelmezett művelet (illetve reláció) párja. Tegyük fel továbbá, hogy egy ilyen párosítás mellett létezik egy valamilyen közöttük lévő $f:A\to B$ függvény (vagy leképezés), amelyre teljesülnek az alábbiak:

1.

Minden $A$-n értelmezett $*$ művelet és a – fenti párosítás szerinti – neki megfelelő $B$-n értelmezett $\circledast$ művelet esetén tetszőleges $A$-beli $a$ és $b$ elemekre teljesül, hogy $f(a*b)=f(a)\circledast f(b)$.

2.

Minden $A$-n értelmezett $\sim$ reláció és a – fenti párosítás szerinti – neki megfelelő $B$-n értelmezett $\simeq$ reláció, valamint tetszőleges $A$-beli $a$ és $b$ elemek esetén $a\sim b$ akkor és csak akkor teljesül, ha $f(a)\simeq f(b)$ is teljesül.

Ekkor a két halmaz közötti $f$ függvényt (vagy leképezést) homomorfizmusnak nevezzük.

Amennyiben $B$ minden eleme legalább egy $A$-beli elemhez hozzá van rendelve $f$ által, akkor $f$-et szürjektív homomorfizmusnak (vagy ráképezésnek) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.9. ábrán.

Amennyiben $B$ minden eleme legfeljebb egy $A$-beli elemhez van hozzárendelve $f$ által, akkor $f$-et injektív homomorfizmusnak (vagy beágyazásnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.10. ábrán.

Amennyiben $B$ minden eleme pontosan egy $A$-beli elemhez van hozzárendelve $f$ által, akkor $f$-et bijektív homomorfizmusnak (vagy izomorfizmusnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.11. ábrán.

Megnézem a tudásbázisban→

♣

Ezzel a szóhasználattal élve tehát szeretnénk egy beágyazást létesíteni a régi $\N_1$ és az imént megkonstruált $\Z$ halmaz között úgy, hogy ennek a beágyazásnak a képe épp az új $\N_2$ halmaz legyen, amely ugye $\Z$-nek egy részhalmaza. Ekkor $\N_2$ izomorf lenne a régi $\N_1$ halmazzal a $+$ és a $\cdot$ műveletek, valamint a $\leq$ reláció tekintetében. Ez azt jelentené, hogy az $\N_1$ és az $\N_2$ halmazok feletti algebrai struktúrák lényegében azonosak lennének – attól eltekintve persze, hogy másként jelöljük az elemeiket, a műveleteket és a rendezési relációt –, és az eddigi $\N_1$ halmaz helyett nyugodtan tekinthetnénk $\N_2$-t a természetes számok halmazának.

A beágyazáshoz két dolgot kell tennünk. Először is definiálnunk kell egy $f:\N_1 \to \Z$ függvényt. Ezután pedig értelmeznünk kell a $\Z$ halmazon az újdonsült $\oplus$ és $\odot$ műveleteket, valamint a $\lesssim$ relációt úgy, hogy $f$ az $\N_1$ halmaz $\Z$-be való beágyazását valósítsa meg, és az $\N_1$ halmaz $f$ szerinti képe épp az $\N_2$ halmaz legyen $\Z$-n belül. Ekkor az izomorfia miatt $\N_2$-re ugyanúgy érvényesek lesznek a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómák és minden eddig bizonyított tételünk. Ezen kívül nyugodtan használhatjuk majd azokat a jelöléseket, amelyeket az általános iskolából már megszokhattunk.

A következő tétel arról szól, hogy bármely vagyoni helyzet mindhárom esetben biztosan reprezentálható egy olyan számpárral is, amelynek az egyik komponense $0$.

Ez tehát azt jelenti, hogy a $\Z$ halmazban lévő összes $[(a;b)]$-vel jelölt ekvivalencia-osztály (azaz egész szám) leírható $[(n;0)]$, $[(0;n)]$ vagy $[(0;0)]$ alakban is. Ezekre hamarosan az alábbi – az általános iskolában már megszokott – megnevezéseket és jelöléseket fogjuk használni

Ahogy a 13.12. ábrán látható, a beágyazófüggvény az $\N_1$ elemeihez – amiket egészen idáig természetes számoknak neveztünk – a nulla és a pozitív egész számokat felelteti meg. Ezek alkotják az $\N_2$ részhalmazt a $\Z$ halmazon belül:

Az is látható, hogy a negatív egész számoknak nincs megfelelője a természetes számok között, ez tehát egy valódi beágyazás. Ez épp megfelel az elvárásainknak, tekintve, hogy most a számfogalom bővítését hajtjuk végre éppen. Most már csak azt kell biztosítani, hogy a $\oplus$ és $\odot$ műveleteket, valamint a $\lesssim$ relációt úgy definiáljuk a $\Z$ halmazon, hogy azok $\N_2$-re való megszorításai rendre épp az $\N_1$ halmazon értelmezett $+$ és $\cdot$ műveletek, valamint a $\leq$ reláció megfelelői legyenek. Azaz – algebrai szóhasználattal és jelölésmóddal élve – az $(\N_1 ,+,\cdot , \leq)$ algebrai struktúra legyen izomorf az $(\N_2 , \oplus , \odot , \lesssim )$ algebrai struktúrával.

13.6Összeadás a $\Z$ halmazon

Értelmezzük hát az "összeadás" műveletét az egész számok $\Z$ halmazán, amelyet ugye egyelőre a $\oplus$ műveleti jellel jelölünk. Ezzel szeretnénk ugyanis hangsúlyozni, hogy ez látszólag teljesen független attól a $+$ szimbólummal jelölt művelettől, amelyet a 11.4. Definícióban összeadásnak neveztünk. Ez a művelet ugyanis – a mostani jelölésekkel – az $\N_1$ halmazon volt értelmezve, amelynek az elemei ugye a természetes számok. Ezzel szemben a $\oplus$ művelet az imént megkonstruált $\Z$ halmazon van értelmezve, amelynek az elemei ugye a vagyoni helyzeteket jelölő természetes számpárok ekvivalencia-osztályai. Látni fogjuk azonban, hogy e két művelet között a 13.5. szakaszban megadott $f:\N_1 \to \Z$ beágyazás fog szoros kapcsolatot teremteni.

Na de mégis hogyan lehet ekvivalencia-osztályok közötti "műveletről" beszélni? Mi értelme van ennek? Ennek értelmezéséhez megint a vagyoni helyzetekről szóló analógiához nyúlunk. Tegyük fel, hogy Alice vagyonát egy $(a;b)$ számpár reprezentálja. Ez ugye azt jelenti, hogy Alice betéti számláján $a$, hitelszámláján pedig $b$ darab aranytallér van nyilvántartva. Hasonlóan tegyük fel, hogy Bob vagyonát egy $(c;d)$ számpár reprezentálja ugyanilyen értelmezéssel. Teljesen értelmes feltenni egy olyan kérdést, hogy mennyi lesz az ő közös vagyonuk, ha összeházasodnak?

Kézenfekvő, ha azt mondjuk, hogy ebben az esetben ezt a közös vagyont – Alice és Bob vagyonának "összegét" – az $(a+c;b+d)$ számpár reprezentálja. Ezzel tehát logikusan azt fejezzük ki, hogy a betéti számlák egyenlegén kívül a hitelszámlák egyenlegeit is össze kell adni. Vegyük észre, hogy ilyen módon a $\oplus$ művelet definícióját visszavezethetjük egy már definiált fogalomra, nevezetesen a 11.4. Definícióban bevezetett összeadás nevű műveletre.

Fontos azonban megjegyezni, hogy nekünk valójában vagyoni helyzeteknek megfelelő ekvivalencia-osztályokat kellene tudni "összeadni". Márpedig az imént csak egy-egy természetes számokból álló párt adtunk össze. Azonban a 13.10. Tétel értelmében tetszőleges számpárról egyértelműen azonosítani lehet, hogy ő melyik ekvivalencia-osztályhoz tartozik. Ha tehát adva van két ekvivalencia-osztály, amelyeket szeretnénk "összeadni", akkor már csak az a kérdés, hogy vajon mindegy-e, hogy e két ekvivalencia-osztálynak mely elemein végezzük el a "számlánkénti" összeadást?

Kérdés, hogy mondhatjuk-e nyugodt szívvel azt, hogy $[(3;0)]\oplus [(0;5)]=[(0;2)]$? Nem lehetséges-e, hogy ha a $[(3;0)]$ és a $[(0;5)]$ osztályok valamely más elemeit "összegezzük", akkor eredményül egy olyan számpárt kapunk, amely nem a $[(0;2)]$ osztályba tartozik? Elvégre minden osztályban végtelen sok számpár van, miért ne választhatnánk épp ilyen szerencsétlenül?

A most következő tétel azt állítja, hogy ilyen nem fordulhat elő.

Eszerint tehát mindegy, hogy a két ekvivalencia-osztály mely elemein végezzük el a "számlánkénti" összeadást. Az eredmény minden esetben ugyanabból az ekvivalencia-osztályból fog kikerülni. Azt mondhatjuk tehát, hogy a $\Z$ halmaz elemei között az alábbi definícióval értelmezett $\oplus$ művelet jóldefiniált.

Most vizsgáljuk meg, hogy a 13.5. szakaszban megadott $f:\N_1\to\Z$ beágyazás valóban tartja-e a $+$ műveletet.

Végezetül vizsgáljuk meg, hogy vajon az egész számok $\Z$ halmazán értelmezett $\oplus$ művelet is teljesíti-e az általános iskolában már megszokott tulajdonságokat a természetes számok között értelmezett összeadáshoz hasonlóan.