youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Mivel ez egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért mindkét irányú implikációt bizonyítani kell. Nézzük először az egyik irányt. Ha (a;b)\sim (c;d), akkor a 13.1. Definíció két pontja közül legalább az egyik teljesül.

Nézzük, hogy mi van akkor, ha az 1. pont teljesül. Ebben az esetben tehát létezik olyan n természetes szám, amelyre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a+n&=c\\b+n&=d\end{aligned}

Ekkor megtehetjük, hogy a felső egyenlet mindkét oldalához b-t, az alsó egyenlet mindkét oldalához pedig a-t adunk hozzá. Így ezt kapjuk:

\begin{aligned}a+n+b&=c+b\\b+n+a&=d+a\end{aligned}

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel alapján az összeadás kommutatív, ezért a két egyenlet baloldalain lévő kifejezések megegyeznek, és így természetesen az egyenletek jobboldalain lévő kifejezések is megegyeznek, azaz c+b=d+a. Ez viszont szintén az összeadás kommutatívitása miatt épp a tételben szereplő kritérium teljesülésének bizonyítéka.

Ha viszont nem teljesül a 13.1. Definíció 1. pontja, akkor teljesül a 2. pont, hiszen ugye legalább az egyiknek teljesülnie kell. Ezzel viszont ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Azt kaptuk tehát, hogy ha (a;b)\sim (c;d), akkor a+d=b+c szükségképpen teljesül.

Most nézzük meg, hogy vajon az állítás megfordítása is teljesül-e. Most azt tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül, hogy a+d=b+c, és az a kérdés, hogy ekkor teljesül-e legalább az egyik pont a 13.1. Definícióban az (a;b) és (c;d) számpárokra.

A 12.15. Definíció szerinti \leq reláció trichotómiája miatt tudjuk, hogy a\leq c és a \geq c közül legalább az egyik teljesül. Ugyanezen okok miatt b\leq d és b\geq d közül is teljesül legalább az egyik. Emiatt az alábbi esetek közül legalább az egyiknek teljesülnie kell a és c valamint b és d kisebb-nagyobb viszonyaival kapcsolatban:

  1. a\leq c és b\leq d
  2. a\leq c és b\geq d
  3. a\geq c és b\leq d
  4. a\geq c és b\geq d

Most egyenként belátjuk, hogy mind a négy esetben teljesülni fog a 13.1. Definíció valamelyik pontja.

Első eset: a\leq c és b\leq d

Ez ugye a \leq reláció a 12.15. Definíciója miatt azt jelenti, hogy léteznek n_1 és n_2 természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n_1&=c\\b+n_2&=d\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában n_1=n_2, hiszen ekkor épp a \sim reláció 13.1. Definíciójának 1. pontját kapnánk.

Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe c és d helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+\underbrace{b+n_2}_{=d}=b+\underbrace{a+n_1}_{=c}

Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük (a+b)-vel, így valóban n_1=n_2.

Második eset: a\leq c és b\geq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek olyan n és k természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n&=c\\d+k&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy ekkor valójában n=0 és k=0, hiszen ebből a=c és b=d következne, azaz az (a;b) és (c;d) számpárok valójában megegyeznének, így nyilván teljesülne közöttük a \sim reláció 13.1. Definíciójának mindkét pontja.

Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe c és b helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+d=\underbrace{d+k}_{=b}+\underbrace{a+n}_{=c}

Ezt az egyenletet most (a+d)-vel egyszerűsíthetjük ismételten a 12.18. Lemma miatt, azaz azt kapjuk, hogy 0=k+n. Ebből viszont a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy valóban k=0 és n=0.

Harmadik eset: a\geq c és b\leq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek k és n természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k&=a\\b+n&=d\end{aligned}

Hasonlóan az előző esethez, azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe a és d helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k}_{=a}+\underbrace{b+n}_{=d}=b+c

Ezt az egyenletet a 12.18. Lemma miatt (b+c)-vel egyszerűsíthetjük, azaz k+n=0. Ebből viszont ismételten a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy valóban k=0 és n=0.

Negyedik eset: a\geq c és b\geq d

Ekkor az első esethez hasonlóan léteznek k_1 és k_2 természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k_1&=a\\d+k_2&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában k_1=k_2, hiszen ekkor épp a \sim reláció 13.1. Definíciójának 2. pontját kapnánk.

Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe a és b helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k_1}_{=a}+d=\underbrace{d+k_2}_{=b}+c

Ezt az egyenletet viszont egyszerűsíthetjük (c+d)-vel ismételten a 12.18. Lemma miatt, így valóban k_1=k_2.

Mindegyik esetben bizonyítottuk tehát, hogy a 13.1. Definícióban szereplő követelmények közül legalább az egyik teljesül az (a;b) és a (c;d) számpárokra, amennyiben a+d=b+c.

∎