Fölérendelt lap:13.2. TételTermészetes számpárok ekvivalenciarelációjának szükséges és elégséges feltétele

Bizonyítás

Mivel ez egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért mindkét irányú implikációt bizonyítani kell. Nézzük először az egyik irányt. Ha $(a;b)\sim (c;d)$ , akkor a 13.1. Definíció két pontja közül legalább az egyik teljesül.

Nézzük, hogy mi van akkor, ha az 1. pont teljesül. Ebben az esetben tehát létezik olyan $n$ természetes szám, amelyre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a+n&=c\\b+n&=d\end{aligned}

Ekkor megtehetjük, hogy a felső egyenlet mindkét oldalához $b$ -t, az alsó egyenlet mindkét oldalához pedig $a$ -t adunk hozzá. Így ezt kapjuk:

\begin{aligned}a+n+b&=c+b\\b+n+a&=d+a\end{aligned}

Tekintve, hogy a 11.8. Tétel alapján az összeadás kommutatív, ezért a két egyenlet baloldalain lévő kifejezések megegyeznek, és így természetesen az egyenletek jobboldalain lévő kifejezések is megegyeznek, azaz $c+b=d+a$ . Ez viszont szintén az összeadás kommutatívitása miatt épp a tételben szereplő kritérium teljesülésének bizonyítéka.

Ha viszont nem teljesül a 13.1. Definíció 1. pontja, akkor teljesül a 2. pont, hiszen ugye legalább az egyiknek teljesülnie kell. Ezzel viszont ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Azt kaptuk tehát, hogy ha $(a;b)\sim (c;d)$ , akkor $a+d=b+c$ szükségképpen teljesül.

Most nézzük meg, hogy vajon az állítás megfordítása is teljesül-e. Most azt tudjuk, hogy az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra teljesül, hogy $a+d=b+c$ , és az a kérdés, hogy ekkor teljesül-e legalább az egyik pont a 13.1. Definícióban az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra.

A 12.15. Definíció szerinti $\leq$ reláció trichotómiája miatt tudjuk, hogy $a\leq c$ és $a \geq c$ közül legalább az egyik teljesül. Ugyanezen okok miatt $b\leq d$ és $b\geq d$ közül is teljesül legalább az egyik. Emiatt az alábbi esetek közül legalább az egyiknek teljesülnie kell $a$ és $c$ valamint $b$ és $d$ kisebb-nagyobb viszonyaival kapcsolatban:

$a\leq c$ és $b\leq d$
$a\leq c$ és $b\geq d$
$a\geq c$ és $b\leq d$
$a\geq c$ és $b\geq d$

Most egyenként belátjuk, hogy mind a négy esetben teljesülni fog a 13.1. Definíció valamelyik pontja.

Első eset:

a\leq c

és

b\leq d

Ez ugye a $\leq$ reláció a 12.15. Definíciója miatt azt jelenti, hogy léteznek $n_1$ és $n_2$ természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n_1&=c\\b+n_2&=d\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában $n_1=n_2$ , hiszen ekkor épp a $\sim$ reláció 13.1. Definíciójának 1. pontját kapnánk.

Azt ugye tudjuk, hogy az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra teljesül az $a+d=b+c$ összefüggés, amelybe $c$ és $d$ helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+\underbrace{b+n_2}_{=d}=b+\underbrace{a+n_1}_{=c}

Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma miatt egyszerűsíthetjük $(a+b)$ -vel, így valóban $n_1=n_2$ .

Második eset:

a\leq c

és

b\geq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek olyan $n$ és $k$ természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n&=c\\d+k&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy ekkor valójában $n=0$ és $k=0$ , hiszen ebből $a=c$ és $b=d$ következne, azaz az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárok valójában megegyeznének, így nyilván teljesülne közöttük a $\sim$ reláció 13.1. Definíciójának mindkét pontja.

Azt ugye tudjuk, hogy az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra teljesül az $a+d=b+c$ összefüggés, amelybe $c$ és $b$ helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+d=\underbrace{d+k}_{=b}+\underbrace{a+n}_{=c}

Ezt az egyenletet most $(a+d)$ -vel egyszerűsíthetjük ismételten a 12.18. Lemma miatt, azaz azt kapjuk, hogy $0=k+n$ . Ebből viszont a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy valóban $k=0$ és $n=0$ .

Harmadik eset:

a\geq c

és

b\leq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek $k$ és $n$ természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k&=a\\b+n&=d\end{aligned}

Hasonlóan az előző esethez, azt ugye tudjuk, hogy az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra teljesül az $a+d=b+c$ összefüggés, amelybe $a$ és $d$ helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k}_{=a}+\underbrace{b+n}_{=d}=b+c

Ezt az egyenletet a 12.18. Lemma miatt $(b+c)$ -vel egyszerűsíthetjük, azaz $k+n=0$ . Ebből viszont ismételten a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy valóban $k=0$ és $n=0$ .

Negyedik eset:

a\geq c

és

b\geq d

Ekkor az első esethez hasonlóan léteznek $k_1$ és $k_2$ természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k_1&=a\\d+k_2&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában $k_1=k_2$ , hiszen ekkor épp a $\sim$ reláció 13.1. Definíciójának 2. pontját kapnánk.

Azt ugye tudjuk, hogy az $(a;b)$ és $(c;d)$ számpárokra teljesül az $a+d=b+c$ összefüggés, amelybe $a$ és $b$ helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k_1}_{=a}+d=\underbrace{d+k_2}_{=b}+c

Ezt az egyenletet viszont egyszerűsíthetjük $(c+d)$ -vel ismételten a 12.18. Lemma miatt, így valóban $k_1=k_2$ .

Mindegyik esetben bizonyítottuk tehát, hogy a 13.1. Definícióban szereplő követelmények közül legalább az egyik teljesül az $(a;b)$ és a $(c;d)$ számpárokra, amennyiben $a+d=b+c$ .

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre