Peano-axiómarendszer

Az $s$ függvény az $\N$ halmaz minden $x$ eleméhez hozzárendel egy valamilyen szintén $\N$-beli elemet. Ezt az $s(x)$-szel jelölt elemet az $x$ rákövetkezőjének nevezzük.

Ha $x$ és $y$ az $\N$ halmaz két tetszőleges eleme, és $s(x)=s(y)$, akkor $x=y$. Másként fogalmazva különböző természetes számok rákövetkezői is különbözőek.

Az $\N$ halmazban létezik pontosan egy olyan $0$-val jelölt elem, amelyhez nem található olyan $x$ elem, amelyre teljesül, hogy $s(x)=0$. Ezt az elemet a nulla természetes számnak nevezzük, amely tehát nem rákövetkezője semmilyen más természetes számnak.

Tegyük fel, hogy a $P$ halmaz az $\N$ halmaznak egy valamilyen részhalmaza. Ha a $0$ a $P$ halmazban van, valamint abból, hogy egy tetszőleges $x$ elem a $P$ halmazban van következik, hogy $s(x)$ is a $P$ halmazban van, akkor $\N$ összes eleme a $P$ halmazban van – azaz $P=\N$.