11.1. Definíció
Peano-axiómarendszer
Legyen adott egy \N-nel jelölt halmaz, valamint egy s:\N \to \N függvény. Az \N halmaz elemeit természetes számoknak nevezzük, amennyiben teljesülnek az alábbi tulajdonságok – az úgynevezett Peano-axiómák:
1.
Az s függvény az \N halmaz minden x eleméhez hozzárendel egy valamilyen szintén \N-beli elemet. Ezt az s(x)-szel jelölt elemet az x rákövetkezőjének nevezzük.
2.
Ha x és y az \N halmaz két tetszőleges eleme, és s(x)=s(y), akkor x=y. Másként fogalmazva különböző természetes számok rákövetkezői is különbözőek.
3.
Az \N halmazban létezik pontosan egy olyan 0-val jelölt elem, amelyhez nem található olyan x elem, amelyre teljesül, hogy s(x)=0. Ezt az elemet a nulla természetes számnak nevezzük, amely tehát nem rákövetkezője semmilyen más természetes számnak.
4.
Tegyük fel, hogy a P halmaz az \N halmaznak egy valamilyen részhalmaza. Ha a 0 a P halmazban van, valamint abból, hogy egy tetszőleges x elem a P halmazban van következik, hogy s(x) is a P halmazban van, akkor \N összes eleme a P halmazban van – azaz P=\N.
♣