Megjegyzés
Az 1. axióma tulajdonképpen azt követeli meg, hogy minden természetes számhoz létezzen egy olyan természetes szám is, amely rákövetkezője. Ez azt jelenti, hogy bármelyik természetes számból indulunk ki, a rákövetkezésen keresztül mindig tovább tudunk lépni egy másik természetes számhoz, azaz utunk soha nem szakad meg.
A 2. axióma lényegében azt mondja ki, hogy semmilyen természetes számhoz a rákövetkezésen keresztül nem érkezhetünk meg két különböző irányból, bárhonnan is indulunk. Ez tehát megakadályozza egy, a 11.4. ábrán láthatóhoz hasonló szituáció kialakulását.
A 3. axióma kimondja egy és csakis egy olyan speciális természetes szám létezését, amely nem rákövetkezője semmilyen más természetes számnak sem. Ezzel lényegében két nagyon fontos dolgot kapunk. Egyrészt megtudjuk, hogy a "számegyenes" valóban egy egyik irányban végtelen egyenes, amely elkezdődik valahol. Másrészt pedig tulajdonképpen ez az axióma biztosítja, hogy természetes számok egyáltalán léteznek. A másik három axióma ugyanis a szigorúan vett matematikai logika szerint abban az esetben is teljesülne, ha az halmaz történetesen üres lenne. Például furcsamód a "minden ismert egyszarvú fehér" állítás igaz. Az persze más kérdés, hogy a "minden" ebben a példában épp nulla darabot jelent, de ettől még az állítás igaz. Akárcsak az az állítás, miszerint "minden ismert egyszarvú fekete". Általánosságban is elmondható, hogy egy üres halmaz elemeire vonatkozó bármilyen univerzális állítás szintén igaz. Furcsa dolog ez a logika...
Végül a 4. axióma biztosítja, hogy a -ból kiindulva a rákövetkezésen keresztül minden természetes számhoz eljutunk. Azaz nem léteznek a számegyenestől elszigetelt természetes számok, és így nem alakulhat ki olyan szituáció, mint amilyen 11.5. ábrán látható.
Ezen kívül a 4. axióma teszi lehetővé az úgynevezett teljes indukciós bizonyításokat. Lényegét tekintve arról van szó, hogy ha egy állítás igaz -ra – amely alapján őt az axiómában említett halmazba helyeztük –, továbbá az állítás igazsága a rákövetkezésen keresztül öröklődik, akkor igaz lesz minden természetes számra. Ez jól szemléltethető egy valamelyik irányban végtelen dominósorral, amelyről belátjuk, hogy amennyiben valamelyik dominót felborítjuk – ezt indukciós feltételnek nevezzük –, akkor az fel fogja borítani a soron következő dominót is – ezt indukciós lépésnek nevezzük. Ezek után nincs más dolgunk, mint egy laza mozdulattal felborítani az első dominót, és élvezni a – végtelen hosszú – műsort.
♣