Bizonyítás

Az $a\geq b$ feltétel a 12.15. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan $n$ természetes szám, amelyre teljesül, hogy $a=b+n$. A 11.4. Definíció 1. pontja miatt ez egyenértékű ezzel: $a+0=b+n$. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy $(a;b)\sim (n;0)$.

Ezzel bizonyítottuk a tételben szereplő $n$ létezését. Tegyük most fel indirekt, hogy ez nem egyértelmű, azaz létezik egy másik $n'$ természetes szám is, amelyre $(a;b)\sim (n';0)$, de $n\neq n'$. A 13.2. Tétel miatt ez azt jelenti, hogy $a+0=b+n'$. Összevetve ezt az $a=b+n$ egyenlettel azt kapnánk, hogy $b+n=b+n'$. Ezt az egyenletet viszont a 12.18. Lemma alapján $b$-vel egyszerűsíthetjük, így $n=n'$ adódik, ami ellentmondás. A tételben szereplő $n$ tehát mégis egyértelmű.

Az $m$-re vonatkozó állítás pontosan ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor az $a$ és $b$ számok szerepét fel kell cserélni.

Végül ha $a=b$, akkor $(a;\underbrace{a}_{=b})\sim (0;0)$ valóban teljesül, hiszen nyilván $a+0=\underbrace{a}_{=b}+0$. Másrészt, ha $(a;b)\sim (0;0)$, akkor a 13.2. Tétel miatt $a+0=b+0$, azaz a 11.4. Definíció 1. pontja miatt $a=b$.

∎