youproof.orgDeep Math. Human Access.

13.9. Definíció

Homomorfizmus, izomorfizmus, beágyazás

Legyen A és B két, valamilyen műveletekkel és/vagy relációkkal ellátott halmaz, amely műveletek és relációk összepárosíthatók egymással olymódon, hogy minden A-n értelmezett művelet (illetve reláció) pontosan egy B-n értelmezett művelettel (illetve relációval) áll párban, és minden B-n értelmezett művelet (illetve reláció) pontosan egy A-n értelmezett művelet (illetve reláció) párja. Tegyük fel továbbá, hogy egy ilyen párosítás mellett létezik egy valamilyen közöttük lévő f:A\to B függvény (vagy leképezés), amelyre teljesülnek az alábbiak:

1.
Minden A-n értelmezett * művelet és a – fenti párosítás szerinti – neki megfelelő B-n értelmezett \circledast művelet esetén tetszőleges A-beli a és b elemekre teljesül, hogy f(a*b)=f(a)\circledast f(b).
2.
Minden A-n értelmezett \sim reláció és a – fenti párosítás szerinti – neki megfelelő B-n értelmezett \simeq reláció, valamint tetszőleges A-beli a és b elemek esetén a\sim b akkor és csak akkor teljesül, ha f(a)\simeq f(b) is teljesül.

Ekkor a két halmaz közötti f függvényt (vagy leképezést) homomorfizmusnak nevezzük.

Amennyiben B minden eleme legalább egy A-beli elemhez hozzá van rendelve f által, akkor f-et szürjektív homomorfizmusnak (vagy ráképezésnek) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.9. ábrán.

Szürjektív homomorfizmus (ráképzés)
13.9. ábra: Szürjektív homomorfizmus (ráképzés)

Amennyiben B minden eleme legfeljebb egy A-beli elemhez van hozzárendelve f által, akkor f-et injektív homomorfizmusnak (vagy beágyazásnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.10. ábrán.

Injektív homomorfizmus (beágyazás)
13.10. ábra: Injektív homomorfizmus (beágyazás)

Amennyiben B minden eleme pontosan egy A-beli elemhez van hozzárendelve f által, akkor f-et bijektív homomorfizmusnak (vagy izomorfizmusnak) nevezzük. Ez a szituáció látható a 13.11. ábrán.

Bijektív homomorfizmus (izomorfizmus)
13.11. ábra: Bijektív homomorfizmus (izomorfizmus)

♣