Bizonyítás
Induljunk ki a tétel első felében szereplő ekvivalenciarelációból. Olyan nyilván nem fordulhat elő, hogy egy elem nem kerül bele egyik csoportba sem. A reflexivitás miatt ugyanis legalább önmagával relációban áll, így ő legrosszabb esetben is benne van egy egyelemű (csak -t tartalmazó) csoportban. Indirekt tegyük most fel, hogy két olyan csoportban is benne van, amelyek tartalmaznak további elemeket és különböznek egymástól. Ez a szituáció látható a 13.3. ábrán.
Mivel és egy csoportba kerültek, ezért teljesül. Hasonló okok miatt teljesül is. De ha teljesül, akkor a szimmetria miatt is teljesül. De mivel és egyszerre teljesül, ezért a tranzitivitás miatt is teljesül. Ez viszont azt jelenti, hogy -nek és -nek mégiscsak ugyanabba a csoportba kellett volna kerülnie, ami ellentmond annak a feltételezésünknek, hogy kialakulhat az ábrán lévő szituáció. Az ekvivalenciareláció által a tételben szereplő módon meghatározott csoportosítás tehát valóban egy partíció az halmazon.
Megfordítva: Tekintsük most egy tetszőleges partícióját, amelyben tehát minden elem pontosan egy csoportban van. Képezzük ebből az relációt a tétel szerint. Az reláció reflexív, mivel tetszőleges elem nyilvánvalóan ugyanabban a csoportban van, mint önmaga, legyen szó bármilyen partícióról. Hasonlóan az reláció szimmetrikus, mivel ha egy tetszőleges elem ugyanabban a csoportban van, mint egy tetszőleges elem, akkor nyilván elem is ugyanabban a csoportban van, mint elem, legyen szó bármilyen partícióról.
Végezetül indirekt tegyük fel, hogy nem tranzitív, azaz léteznek olyan galád , és elemek, amelyekre és teljesül, ugyanakkor . Ez csak akkor fordulhat elő, ha és két különböző csoportban van, viszont mindkét csoportnak eleme. Ez látható a 13.4. ábrán.
Ez viszont ellentmond annak, hogy a csoportosítás, amiből a tétel szerinti relációt képeztük egy partíció volt. Az reláció tehát mégiscsak tranzitív. Mivel beláttuk, hogy teljesül mindhárom követelmény, ezért valóban egy ekvivalenciareláció.
∎