Bizonyítás
Induljunk ki a tétel első felében szereplő R ekvivalenciarelációból. Olyan nyilván nem fordulhat elő, hogy egy a elem nem kerül bele egyik csoportba sem. A reflexivitás miatt ugyanis a legalább önmagával relációban áll, így ő legrosszabb esetben is benne van egy egyelemű (csak a-t tartalmazó) csoportban. Indirekt tegyük most fel, hogy a két olyan csoportban is benne van, amelyek tartalmaznak további elemeket és különböznek egymástól. Ez a szituáció látható a 13.3. ábrán.
Mivel a és b egy csoportba kerültek, ezért aRb teljesül. Hasonló okok miatt teljesül aRc is. De ha aRc teljesül, akkor a szimmetria miatt cRa is teljesül. De mivel cRa és aRb egyszerre teljesül, ezért a tranzitivitás miatt cRb is teljesül. Ez viszont azt jelenti, hogy c-nek és b-nek mégiscsak ugyanabba a csoportba kellett volna kerülnie, ami ellentmond annak a feltételezésünknek, hogy kialakulhat az ábrán lévő szituáció. Az R ekvivalenciareláció által a tételben szereplő módon meghatározott csoportosítás tehát valóban egy partíció az S halmazon.
Megfordítva: Tekintsük most S egy tetszőleges partícióját, amelyben tehát minden elem pontosan egy csoportban van. Képezzük ebből az R relációt a tétel szerint. Az R reláció reflexív, mivel tetszőleges a elem nyilvánvalóan ugyanabban a csoportban van, mint önmaga, legyen szó bármilyen partícióról. Hasonlóan az R reláció szimmetrikus, mivel ha egy tetszőleges a elem ugyanabban a csoportban van, mint egy tetszőleges b elem, akkor nyilván b elem is ugyanabban a csoportban van, mint a elem, legyen szó bármilyen partícióról.
Végezetül indirekt tegyük fel, hogy R nem tranzitív, azaz léteznek olyan galád a, b és c elemek, amelyekre aRb és bRc teljesül, ugyanakkor a\cancel{R} c. Ez csak akkor fordulhat elő, ha a és c két különböző csoportban van, b viszont mindkét csoportnak eleme. Ez látható a 13.4. ábrán.
Ez viszont ellentmond annak, hogy a csoportosítás, amiből a tétel szerinti R relációt képeztük egy partíció volt. Az R reláció tehát mégiscsak tranzitív. Mivel beláttuk, hogy teljesül mindhárom követelmény, ezért R valóban egy ekvivalenciareláció.
∎