Episode I
Alice és Bob
12. fejezet
Alice és Bob rendet tesz
Az előző fejezetben kitöröltünk mindent a fejünkből, amit az általános iskolában a számokról tanultunk, és elkezdtük felépíteni a modern kriptográfiai eljárások alapját jelentő számelméletet a semmiből. Mindössze négy egyszerű állításból indultunk ki, amelyet Peano-axiómarendszernek nevezünk, és amelyek rögzítik a pozitív egész számok és a 0 alapvető tulajdonságait. Ezek halmazát természetes számoknak neveztük, és \N-nel jelöltük. Szigorúan az axiómákat használva bevezettünk az \N halmazon egy összeadásnak nevezett műveletet, amelyről megmutattuk, hogy – az axiómák logikai következményeként – valóban teljesíti az általános iskolában jól megszokott tulajdonságokat. De vajon mi minden következik még ebből a négy axiómából? Milyen alaptulajdonságai vannak a szorzás műveletének és mi az oka, hogy ezek valóban teljesülnek? Mik azok a relációk és hogy jön ide a "kő-papír-olló" nevű játék? Mit nevezünk rendezett halmaznak és hogyan vezethetjük be a "kisebb-nagyobb" fogalmát a természetes számok között? Ebben a fejezetben erről lesz szó...
Figyelem! Ez a fejezet erőteljesen épít a 11. fejezetben bevezetett alábbi definíciókra és tételekre, amelyekkel elkezdtük a számelmélet felépítését:
E definíciók és tételek kontextusba helyezése miatt erőteljesen ajánlott tehát elolvasni a 11. fejezetet.
A matematika igazi természete kezdett el kibontakozni az előző fejezetben. Nevezetesen: kiindulunk néhány egyszerű állításból, amelyeket igaznak fogadunk el – ez jelen példánkban a Peano-axiómarendszer négy állítása. Nem azért fogadjuk el őket igaznak, mert valamiféle abszolút igazságokat állítanak – olyan talán nem is létezik, ha belegondolunk –, hanem azért, mert ezek rögzítik a felépítendő elmélet "játékszabályait", akárcsak a sakkban. A fogalmainkat közvetlenül vagy közvetett módon az axiómákból építjük fel, és csak olyan további állításokat fogadunk el igaznak, amelyeket szigorú logikai érveléssel az axiómákra, az azok segítségével felépített fogalmakra, vagy korábban már bizonyított állításokra tudunk visszavezetni.
Ennek a tudománynak épp ez adja az erősségét is. Minden más természettudomány alapja ugyanis a kísérletezés. Akárhány kísérletet is végzünk, soha nem lehetünk teljesen biztosak egy tudományos elmélet igazságában, arra csupán megerősítést kapunk. Ha azonban akárcsak egyetlen kísérlet is megcáfolja az elméletünket, azt azonnal dobhatjuk ki a kukába. Ezzel szemben egy matematikai állítás igazsága örök érvényű. Egy bizonyított állítás igaz marad, ameddig világ a világ, arra nyugodtan lehet tovább építkezni, és nincs szükség arra, hogy azt kísérletekkel megerősítsük. A 11.5. szakaszban például a Peano-axiómarendszer segítségével bevezettük az összeadás fogalmát, a 11.6. és a 11.7. szakaszban pedig bizonyítottuk annak kommutativitását és asszociativitását. A továbbiakban tehát nyugodtan építkezhetünk ezekre a tulajdonságokra.
Építkezzünk hát tovább, és kényelmi okok miatt vezessünk be egy újabb műveletet az \N halmazon.
12.1A természetes számok szorzása
Képzeljük el azt a szituációt, amikor egy természetes számot önmagával sokszor kell összeadni. Jó volna valamilyen módon rövidíteni az olyan jellegű kifejezéseket, mint például ez: a+a+a+a+a. Itt az a természetes számot ötször adtuk össze önmagával, ami – valljuk be – eléggé kényelmetlen. Ezt elkerülendő, most bevezetünk egy "szorzásnak" nevezett műveletet, amelyet a \cdot szimbólummal fogunk jelölni. A fenti kifejezést például így rövidíthetjük: a \cdot 5.
A szorzás műveletével kapcsolatban azonnal rögzíthetünk két megállapodást. Először is állapodjunk meg abban, hogy mi legyen az eredmény akkor, ha valamit 0-val szorzunk meg. Ezt ugye a fenti értelmezés alapján egy 0 tagú összegként foghatjuk fel. Természetes tehát, ha rögzítjük, hogy tetszőleges a esetén a \cdot 0 eredménye 0 legyen. A másik megállapodásunk pedig legyen az, hogy ha egy a természetes számot egy b természetes szám rákövetkezőjével szorozzuk meg, akkor az ennek megfelelő összegben éppen eggyel többször szerepeljen a, mintha csak b-vel szoroztunk volna.
Ennek megfelelően a most következő definícióval vezetjük be a szorzás műveletét.
Ez alapján kiszámítható bármely két természetes szám szorzata. Amennyiben például \N elemeit a szokásos módon, tízes számrendszerben jelöljük, akkor a 2 \cdot 3 szorzat az alábbi lépésekben fejthető ki szigorúan a fenti definíció szerint:
Értelmeztünk tehát egy újabb műveletet az \N halmazon, amelyet önkényesen "szorzásnak" neveztünk, és a \cdot műveleti jellel jelöltünk. Az összeadáshoz hasonlóan vizsgáljuk hát meg, hogy ez is teljesíti-e azokat a jól megszokott tulajdonságokat, amelyeket általános iskolai tanulmányaink alapján elvárnánk tőle.
12.2A szorzás kommutativitása
Általános iskolában megtanultuk, hogy az összeadáshoz hasonlóan a szorzás esetén is felcserélhető a két tényező sorrendje. Első jogos kérdés tehát, hogy vajon a 12.1. Definícióban ismertetett szorzás művelete teljesíti-e ezt a kritériumot?
Ennek megmutatásához két segédtételre lesz szükségünk. Az első segédtétel azt mondja ki, hogy a definíció 1. pontjában szereplő esetben a tényezők felcserélhetők – azaz, hogy az a \cdot 0-hoz hasonlóan a 0 \cdot a eredménye is 0 lesz.
Ez ugyan magától értetődőnek tűnik, de ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy mindenben kételkednünk kell, amit nem vezettünk vissza az axiómákra, az azokból alkotott definíciókra vagy korábban már bizonyított állításokra. Márpedig a \cdot-tal jelölt szorzás jelenleg nem több pusztán egy általunk kreált definíciónál. A bizonyításhoz az előző fejezetben már jól bejáratott teljes indukciót alkalmazzuk, amelynek használatát a 4. Peano-axióma teszi lehetővé.
A kommutativitáshoz szükséges második segédtétel lényegében azt mondja ki, hogy mi történik a 12.1. Definíció 2. pontjában szereplő képlettel, ha felcseréljük a tényezőket:
Ezután az imént bizonyított 12.2. és 12.3. Lemma segítségével bizonyítjuk a szorzás kommutativitását:
Látható tehát, hogy a 12.1. Definíció szerinti szorzás művelete valóban kommutatív, ahogy azt az általános iskolában már megszokhattuk tőle.
Most nézzünk meg egy rendkívül fontos kapcsolatot a 11.4. Definíció szerinti összeadás és a 12.1. Definíció szerinti szorzás műveletek között. Ez a tulajdonság szintén jól ismert az általános iskolából, most viszont vizsgáljuk meg, hogy tulajdonképpen miért is van ez így.
12.3Az összeadás és a szorzás kapcsolata
Biztosan sokan emlékeznek még általános iskolából az úgynevezett "zárójelfelbontási szabályra". Tegyük fel, hogy van két darab kétváltozós műveletünk egy valamilyen S halmazon. Jelöljük az egyik műveletet \circ-rel, a másikat pedig \bullet-tal. Szándékosan választottam két semleges szimbólumot annak érdekében, hogy nehogy véletlenül bárki bármilyen konkrét műveletekre asszociáljon. Tegyük fel, hogy a következő két kifejezést kell kiértékelnünk az S halmaz a, b és c elemeire:
A 12.1. ábra az első kifejezés kiértékelését mutatja. Itt először a \circ műveletet kell elvégezni b-re és c-re, majd ennek az eredményét kell össze-\bullet-ozni a-val balról.
A második kifejezés kiértékelését mutatja a 12.2. ábra. Ebben az esetben először össze-\bullet-ozzuk b-t és c-t a-val balról, majd az így kapott két eredményt \circ-özzük össze.
Látható, hogy a két kiértékelés teljesen máshogyan történik, így igen meglepő lenne, ha ugyanazt az eredményt adnák. Az alábbi definíció arról a különleges esetről szól, amikor két művelet esetén e kiértékelések tetszőleges a, b és c elemek esetén megegyeznek.
Most nézzük meg, hogy disztributivitási szempontból mit tudunk elmondani a 11.4. Definíció szerinti összeadás és a 12.1. Definíció szerinti szorzás műveletekről.
Mostantól tehát nyugodtan alkalmazhatjuk az általános iskolából már jól ismert zárójelfelbontási szabályt, mivel a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer segítségével bevezetett mindkét műveletünk teljesíti ezt a követelményt is.
12.4A szorzás asszociativitása
Most vizsgáljuk meg, hogy az összeadáshoz hasonlóan vajon a szorzás is asszociatív-e.
Ezzel megmutattuk, hogy a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer segítségével bevezetett mindkét műveletünk az elvárt módon viselkedik. A fejezet további részében az \N halmazban fogunk egy kicsit rendetrakni. Ez szükséges lesz ugyanis ahhoz az absztrakcióhoz, amelyet a cikksorozat következő fejezetében fogunk majd meglépni, és amelynek a segítségével nemcsak összeadni és szorozni, hanem kivonni is fogunk tudni.
12.5Kő-papír-olló
A 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszerrel definiált \N halmaz jelenleg nem több csupán egy "zsáknál", amelyben ott csücsül a végtelen sok természetes szám. E számkör kibővítéséhez azonban szükségünk lesz egy olyan fogalomra, amelynek a segítségével ezeket az objektumokat valamilyen módon sorba tudjuk állítani. Szeretnénk olyan kijelentéseket tenni, miszerint egy a természetes szám "előrébb van" ebben a képzeletbeli sorban, mint egy b természetes szám.
A kétváltozós műveletekhez hasonlóan szükségünk lesz tehát egy olyan képzeletbeli dobozra, amelybe ha felül bedobunk két tetszőleges természetes számot az \N halmazból, akkor alul kipottyan egy igen vagy egy nem válasz egy adott eldöntendő kérdésre. Például arra a kérdésre, hogy a "előrébb van-e" a természetes számok halmazában, mint b? Ez nagyon hasonló azokhoz a Turing-gépekhez, amelyeket a 6.6. szakaszban formális nyelvek felismeréséhez használtunk. Jelen esetben azonban a bemenet nem egy szimbólumsorozat, hanem két természetes szám, a kimenet pedig egy igen vagy egy nem válasz lesz. Ezt szemlélteti a 12.3. ábra.
Az ábrán látható doboz választ ad egy valamilyen eldöntendő kérdésre a két felül bedobott természetes szám közötti kapcsolatról. Az ilyen dobozokat kétváltozós relációknak nevezzük. A példában szereplő relációt önkényesen R-rel jelöltünk, de választhattunk volna bármilyen más szimbólumot is. Most nézzük meg, hogyan tudjuk precízen megfogalmazni, hogy pontosan mit is nevezünk kétváltozós relációnak.
Ennek megértéséhez fontos először tisztázni az úgynevezett rendezett pár – vagy általánosan az úgynevezett rendezett n-es – fogalmát. Emlékezzünk vissza, hogy egy kétváltozós műveletet egy olyan függvényként definiáltunk, amely az adott művelet alaphalmazából származó elemekből alkotott összes létező ún. rendezett párhoz hozzárendel egy-egy elemet szintén ebből az alaphalmazból. Vegyük például a már jól ismert \N halmazt, és válasszunk ki belőle két tetszőleges elemet, mondjuk 1-et és 2-t. Ebből a két elemből kétféleképpen tudunk egy rendezett párt alkotni, mivel nem mindegy, hogy melyik hol foglal helyet ebben a párban – ezért hívjuk rendezett párnak. Az egyik ilyen párt (1; 2)-vel, a másikat pedig (2; 1)-gyel jelöljük. Az (1; 2) és a (2; 1) rendezett párok tehát különbözőek, mivel nem azonos a bennük szereplő elemek sorrendje. Általánosabban rendezett n-eseknek nevezzük azokat az ehhez hasonló sorozatokat, amelyekben nem 2, hanem n darab elem szerepel. Most fogalmazzuk meg ugyanezt a halmazok nyelvén.
Ennek a definíciónak a birtokában mostmár precízen megfogalmazhatjuk, hogy mit is értünk kétváltozós reláció alatt.
Annak érdekében, hogy az Olvasó ne vesszen el az imént bevezetett absztrakciókban, most egy egyszerű példát fogunk mutatni: lemodellezzük a mindenki által jól ismert kő-papír-olló játékot. A játék abból áll, hogy két játékos egyszerre mutat egy kézmozdulatot, amely vagy a kő, vagy a papír, vagy az olló szavakat jelképezi. A játék szabályai szerint a kő "üti" az ollót (kicsorbítja azt), az olló "üti" a papírt (elvágja azt), a papír pedig "üti" a követ (betakarja azt). Ha mindkét játékos ugyanazt a kézmozdulatot mutatja, akkor döntetlen lesz a játék végeredménye, minden más esetben az a játékos nyer, akinek a kézmozdulata a fenti értelemben "üti" a másik játékos kézmozdulatát. Ez a játék kiválóan modellezhető egy kétváltozós reláció segítségével.
Ez a reláció egy olyan halmazon van értelmezve, amely a \text{kő}, a \text{papír} és az \text{olló} szavakat tartalmazza. Jelöljük ezt a halmazt S-sel. Ekkor a S\times S halmaz az alábbi kilenc rendezett párt fogja tartalmazni: (\text{kő}; \text{kő}), (\text{kő}; \text{papír}), (\text{kő}; \text{olló}), (\text{papír}; \text{kő}), (\text{papír}; \text{papír}), (\text{papír}; \text{olló}), (\text{olló}; \text{kő}), (\text{olló}; \text{papír}), és (\text{olló}; \text{olló}).
Most szigorúan a 12.9. Definíció alapján adjunk meg egy relációt az S halmazon. Ez ugye az S\times S direkt szorzat valamely részhalmaza lesz, amelyet most jelöljünk például a \succ szimbólummal. Válasszuk azt a részhalmazt, amely csak a (\text{kő}; \text{olló}), (\text{olló}; \text{papír}) és (\text{papír}; \text{kő}) rendezett párokat tartalmazza az összes lehetséges rendezett pár közül. A 12.9. Definícióban szereplő jelöléssel ez épp az alábbi relációk fennállását jelenti az S halmaz elemei között:
Vegyük észre, hogy amennyiben a \succ szimbólumot az "üti" jelentéssel ruházzuk fel, úgy az imént épp a matematikai leírását adtuk meg a kő-papír-olló játék ütési szabályainak.
12.6Rendezési relációk
Amikor egy végtelen halmazon értelmezünk valamilyen relációt, akkor természetesen nem tudjuk megtenni, hogy a 12.5. szakaszban bemutatott módon felsoroljuk az összes olyan párt, amelyek relációban állnak egymással. Ilyen esetekben praktikusabb inkább valamilyen szabályt megadni arra vonatkozóan, hogy mikor tekintünk két elemet egymással relációban állónak, és mikor nem.
Ebben a szakaszban bevezetünk egy olyan relációt az \N halmazon, amelynek a segítségével sorba fogjuk tudni rendezni \N elemeit – azaz a természetes számokat. Előbb azonban vizsgáljuk meg, hogy pontosan mit értünk rendezési reláció alatt. Ehhez az adott relációnak meg kell felelnie néhány speciális kritériumnak, amelyeket a most következő definíciókban egyenként ismertetünk. Az első ilyen kritérium például azt követeli meg, hogy bármely elem relációban álljon önmagával.
Például a 12.5. szakaszban a kő-papír-olló játékkal kapcsolatban definiált \succ reláció nyilvánvalóan nem reflexív, hiszen ha a két játékos ugyanazt mutatja – legyen az akár \text{kő}, akár \text{papír}, akár \text{olló} –, az eredmény döntetlen lesz, tehát egyik sem "üti" a másikat.
A második definíció azt követeli meg egy relációtól, hogy két különböző elem esetén a közöttük lévő reláció iránya egyértelmű legyen – amennyiben persze egyáltalán relációban állnak egymással.
A már említett \succ reláció antiszimmetrikus, hiszen ha a két játékos különbözőt mutat, akkor biztosan nem fognak mindketten nyerni.
A harmadik definíció azt követeli meg egy relációtól, hogy az elempárok azon tulajdonsága, miszerint egymással relációban állnak, "láncszerűen" öröklődjön. Például: ha én "magasabb vagyok" az apámnál, apám pedig "magasabb" az anyámnál, akkor én "magasabb vagyok" az anyámnál.
A \succ reláció nem tranzitív, hiszen például \text{papír} \succ \text{kő} és \text{kő} \succ \text{olló} teljesül, de \text{papír} \succ \text{olló} nem.
Végül a negyedik definíció azt követeli meg egy relációtól, hogy két tetszőleges elemet kiválasztva azok mindenképpen legyenek egymással "összehasonlíthatók" az adott reláció segítségével.
A trichotómia sem teljesül a \succ relációra ugyanazon okok miatt, mint a reflexivitás.
Most bevezetünk egy olyan fogalmat, amely a \succ relációval ellentétben ezeket a tulajdonságokat egyesíti, majd megmutatjuk az elnevezés jogosságát.
Minket jelenleg csak a teljes rendezések, és ennek megfelelően a rendezett halmazok érdekelnek, részbenrendezett halmazokkal a 19.3. szakaszban fogunk bővebben foglalkozni. Vizsgáljuk meg tehát, hogy miért nevezhetünk jogosan "rendezésnek" egy olyan relációt, amely teljesíti a 12.14. Definícióban szereplő mind a négy kritériumot.
Tegyük fel, hogy van egy valamilyen S halmazon értelmezett rendezési reláció, amelyet a \leq szimbólummal jelölünk. Ne társítsunk most semmilyen számokkal kapcsolatos jelentést ehhez a szimbólumhoz, az a\leq b kifejezést egyszerűen csak interpretáljuk úgy, hogy "a legfeljebb annyiadik elem a sorban, mint b".
Ezek után a 12.14. Definícióban szereplő négy kritériumot így is olvashatjuk:
- Reflexivitás: Tetszőleges elem "legfeljebb annyiadik a sorban", mint önmaga.
- Antiszimmetria: Ha az a elem "legfeljebb annyiadik a sorban", mint a b elem, és a b elem is "legfeljebb annyiadik a sorban", mint az a elem, akkor a két elem megegyezik.
- Tranzitivitás: Ha az a elem "legfeljebb annyiadik a sorban", mint a b elem, amely pedig "legfeljebb annyiadik a sorban", mint a c elem, akkor az a elem "legfeljebb annyiadik a sorban", mint a c elem.
- Trichotómia: Bármely két elemről el lehet dönteni, hogy melyikük van "legfeljebb annyiadik helyen a sorban", mint a másik.
Ha végiggondoljuk, akkor pontosan ez az, amit elvárunk egy olyan relációtól, amelynek a segítségével egy egyértelmű sorrendet szeretnénk felállítani egy halmaz elemei között.
12.7A természetes számok rendezési relációja
Most nézzük meg, hogyan tudunk egy olyan relációt megadni a természetes számok \N halmazán, amely megfelel a 12.14. Definícióban szereplő követelményeknek.
Látható, hogy ennek az új fogalomnak a bevezetéséhez közvetett módon kizárólag a 11.1. Definícióban ismertetett Peano-axiómarendszert, közvetlenül pedig az ez alapján értelmezett összeadás nevű műveletet használtuk. Ezt szem előtt tartva tehát egyelőre semmit nem mondhatunk még erről a most bevezetett relációról, kiváltképpen azt nem, hogy ez valóban egy rendezési reláció lenne. Ezt ugyanis először bizonyítani kell.
Ehhez a 12.14. Definíció alapján be kell látnunk, hogy a \leq reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, továbbá a trichotómia is teljesül. Nézzük is az elsőt.
A tranzitivitás hasonlóan egyszerűen adódik.
Az antiszimmetria igazolásához először két segédtételre lesz szükségünk. Ezek közül az első egy olyan állítás, amely a későbbiekben is hasznos lesz.
Ne feledjük, hogy csak a már rendelkezésünkre álló fogalmakra és tételekre, valamint az axiómákra hivatkozhatunk. Tekintve, hogy "kivonás" egyelőre nem létezik, más úton kell bizonyítanunk a fenti állítást.
Az antiszimmetria igazolásához szükséges második segédtétel azt mondja ki, hogy mi az az egyetlen eset, amikor egy összeg eredménye 0 lehet a természetes számok között.
A 12.18. és a 12.19. Lemma felhasználásával mostmár igazolhatjuk, hogy a \leq reláció antiszimmetrikus.
Már csak a trichotómia igazolása van hátra. Ez az alábbi segédállításból fog következni.
Ebből már következik a \leq reláció trichotómiája, ezért most ezt mondjuk ki.
Bizonyítás:
Indirekt bizonyítást fogunk alkalmazni, azaz nem közvetlenül a tételt bizonyítjuk, hanem megmutatjuk, miért nem lehet hamis. Tegyük fel ezért, hogy nem igaz a tétel, vagyis hogy az \N halmazban léteznek olyan galád a és b természetes számok, amelyek között egyik irányban sem áll fenn a \leq reláció, azaz a\nleq b és b\nleq a.
Ebből az következik, hogy egyikük sem lehet 0, hiszen ha például a=0 lenne, akkor a 12.15. Definíció miatt \underbrace{0}_{=a}\leq b teljesülne, ugyanis létezne olyan természetes szám, amelyet a=0-hoz adva b-t kapnánk, nevezetesen b, hiszen 0+b=b. Ha meg b=0 lenne, akkor pedig ugyanezen okok miatt \underbrace{0}_{=b}\leq a teljesülne, ugyanis 0+a=a.
Ha viszont egyikük sem 0, akkor a 11.1. Definíció 3. pontja miatt mindkettőhöz létezik egy-egy olyan természetes szám, amelyeknek épp ők a rákövetkezői. Jelöljük ezt a két természetes számot a_1-gyel és b_1-gyel, amelyekre tehát teljesül, hogy s(a_1)=a és s(b_1)=b.
Mármost ha a és b között nem teljesül a \leq reláció egyik irányban sem, akkor a 12.21. Lemma miatt utóbbiak között sem fog – azaz a_1\nleq b_1 és b_1\nleq a_1.
De ekkor ugyanezen gondolatmenet alapján léteznie kell egy a_2 és egy b_2 természetes számnak is, amelyek rákövetkezői épp az a_1 és b_1 természetes számok, és amelyek közül szintén egyik sem 0. És így tovább, ezt a gondolatmenetet a végtelenségig folytathatjuk, mindig találunk újabb és újabb nem 0 természetes számokat, amelyek rákövetkezői épp az előző lépésben megtalált természetes számok.
Kapunk tehát két végtelen sorozatot, amely sorozatokban sehol nem szerepel a 0, és a 12.4. ábrán látható rákövetkezőségi viszonyok állnak fenn közöttük:
Ez viszont lehetetlen, hiszen a 11.1. Definíció 4. pontja kimondja, hogy a 0-ból kiindulva a rákövetkezési függvény mentén az összes természetes számhoz el kell jutnunk előbb-utóbb. Márpedig egy ilyen útvonalon az ábrán lévő két sorozat tagjai biztosan nem lennének benne.
Ebből viszont az következik, hogy az a\leq b és a b\leq a relációk közül legalább az egyiknek teljesülnie kell tetszőleges a és b esetén, máskülönben ellentmondásba kerülnénk a 4. Peano-axiómával.
A \leq reláció tehát teljesíti mindazon követelményeket, amelyeket a 12.14. Definíció megkövetel tőle. Ezért mostmár nyugodtan kijelenthetjük, hogy a 12.15. Definícióban jogosan neveztük ezt a relációt rendezésnek, és jogosan nevezhetjük az \N halmazt rendezett halmaznak.
12.8Hol tartunk most?
Ezen a ponton álljunk meg egy pillanatra, és szedjük össze, hogy jelenleg hol tartunk a számelmélet felépítésében, amit ugye a semmiből kezdtünk el az előző fejezetben.
A 11.1. Definícióban megfogalmaztuk a Peano-axiómarendszer négy állítását, amelyek bevezetik a természetes számok \N-nel jelölt halmazát. Ezen a halmazon a 11.4. Definícióban értelmeztünk egy "összeadás", a 12.1. Definícióban pedig egy "szorzás" nevű műveletet. Végül a 11.8., a 11.10., a 12.4., a 12.7. és a 12.6. Tételekben bizonyítottuk, hogy e két művelet engedelmeskedik az általános iskolából már jól ismert számolási szabályoknak.
A négy alapművelet közül tehát a két legfontosabb, az összeadás és a szorzás már többé-kevésbé rendelkezésünkre áll. A "kivonás" azonban sajnos a 11.3. Definíció alapján a természetes számok \N halmazán nem művelet, mivel bizonyos esetekben kivezet belőle. Például nincs olyan természetes szám, amely a 2-5 különbségképzés eredménye lenne, a -3 ugyanis nem természetes szám, holott a 2 és az 5 is az.
Kinőttük tehát az \N halmazt, ezért a következő fejezetekben át fogunk térni egy \N-nél bővebb számkörbe, amelyben már gond nélkül fogunk tudni kivonást is végezni. Sajnos azonban osztásról általánosságban még itt sem fogunk tudni beszélni, legalábbis nem a megszokott értelemben. Cserébe viszont elkezdhetünk majd végre ismerkedni azokkal a különleges számokkal – az úgynevezett prímszámokkal –, amelyek alapvető szerepet játszanak a kriptográfiai eljárásokban, és úgy általában az egész számelméletben.
A számkör bővítésének előkészítése érdekében a 12.15. Definícióban bevezettünk egy relációt az \N halmazon, amelyről az indirekt bizonyítás módszerét bemutatva igazoltuk, hogy az egy teljes rendezést valósít meg a természetes számok között.
A következő fejezetben kilépünk a természetes számok köréből egy sokkal előnyösebb algebrai tulajdonságokkal bíró számkörbe. Ennek keretében bemutatjuk azt az absztrakciós utat, amelyet az emberiség hajnalán őseinknek is meg kellett tenniük, és ezzel párhuzamosan megismerkedünk néhány további absztrakt algebrai fogalommal. Ezek segítségével általánosabb módon tudjuk majd tárgyalni azokat a számelméleti összefüggéseket, amelyek végül a prímszámok elméletén keresztül elvezetnek minket napjaink biztonságos kommunikációjának alapjaihoz.