Bizonyítás

Ha a\leq b, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan természetes szám, amelyet a-hoz adva b-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot k_1-gyel, így tehát azt kapjuk, hogy a+k_1=b.

Ugyanezen okok miatt ha b\leq a, akkor létezik olyan természetes szám is, amelyet b-hez adva a-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot k_2-vel, így tehát azt kapjuk, hogy b+k_2=a.

Az első egyenlet baloldalát a második egyenletbe b helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy \underbrace{(a+k_1)}_{=b} + k_2=a. Tekintve, hogy a 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért ez a kifejezés átzárójelezhető: a+(k_1+k_2)=c.

A 11.4. Definíció 1. pontja miatt az egyenlet jobboldalához hozzáadhatunk 0-t: a+(k_1+k_2)=a+0. Az egyenlet mindkét oldala egyszerűsíthető a-val a 12.18. Lemma miatt, azaz k_1+k_2=0. Ebből viszont a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy k_1=0 és k_2=0.

Helyettesítsük vissza mondjuk k_1-et az egyik kiindulási egyenletünkbe: a+\underbrace{0}_{=k_1}=b. Ennek az egyenletnek a baloldala a 11.4. Definíció 1. pontja miatt 0-val egyszerűsíthető, azaz a=b.

∎