Bizonyítás

Ha $a\leq b$, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan természetes szám, amelyet $a$-hoz adva $b$-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot $k_1$-gyel, így tehát azt kapjuk, hogy $a+k_1=b$.

Ugyanezen okok miatt ha $b\leq a$, akkor létezik olyan természetes szám is, amelyet $b$-hez adva $a$-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot $k_2$-vel, így tehát azt kapjuk, hogy $b+k_2=a$.

Az első egyenlet baloldalát a második egyenletbe $b$ helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy $\underbrace{(a+k_1)}_{=b} + k_2=a$. Tekintve, hogy a 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért ez a kifejezés átzárójelezhető: $a+(k_1+k_2)=c$.

A 11.4. Definíció 1. pontja miatt az egyenlet jobboldalához hozzáadhatunk $0$-t: $a+(k_1+k_2)=a+0$. Az egyenlet mindkét oldala egyszerűsíthető $a$-val a 12.18. Lemma miatt, azaz $k_1+k_2=0$. Ebből viszont a 12.19. Lemma miatt az következik, hogy $k_1=0$ és $k_2=0$.

Helyettesítsük vissza mondjuk $k_1$-et az egyik kiindulási egyenletünkbe: $a+\underbrace{0}_{=k_1}=b$. Ennek az egyenletnek a baloldala a 11.4. Definíció 1. pontja miatt $0$-val egyszerűsíthető, azaz $a=b$.

∎