youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az aa-ra vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk, azaz feltesszük, hogy valamilyen a=na=n természetes számra az állítás igaz. Az indukciós feltétel tehát: s(b)⋅n=(b⋅n)+ns(b)\cdot n=(b\cdot n) + n. Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor a=s(n)a=s(n)-re is igaz lesz, azaz:

s(b)⋅s(n)=(b⋅s(n))+s(n)s(b)\cdot s(n) = (b\cdot s(n)) + s(n)

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

s(b)⋅s(n)=(s(b)⋅n)+s(b)=…s(b)\cdot s(n) = (s(b)\cdot n) + s(b) = \ldots

Az indukciós feltétel miatt a zárójel átírható:

…=((b⋅n)+n⏟=s(b)⋅n)+s(b)=…\ldots = (\underbrace{(b\cdot n) + n}_{=s(b)\cdot n}) + s(b) = \ldots

A 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért ezt a kifejezést átzárójelezhetjük:

…=(b⋅n)+(n+s(b))=…\ldots = (b\cdot n) + (n + s(b)) = \ldots

A 11.4. Definíció 2. pontja miatt a zárójel átírható:

…=(b⋅n)+s(n+b)⏟=(n+s(b))=…\ldots = (b\cdot n) + \underbrace{s(n+b)}_{=(n + s(b))} = \ldots

A 11.8. Tétel miatt az összeadás kommutatív, ezért a jobboldali tagban szereplő ss függvény paramétere átírható:

…=(b⋅n)+s(b+n⏟=n+b)=…\ldots = (b\cdot n) + s(\underbrace{b+n}_{=n+b}) = \ldots

Ismételten a 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

…=(b⋅n)+(b+s(n))⏟=s(b+n)=…\ldots = (b\cdot n) + \underbrace{(b+s(n))}_{=s(b+n)} = \ldots

A 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért ez a kifejezés ismételten átzárójelezhető:

…=((b⋅n)+b)+s(n)=…\ldots = ((b\cdot n) + b)+s(n) = \ldots

Végül ismét a 12.1. Definíció 2. pontja miatt miatt a zárójelben lévő kifejezés átírható:

…=(b⋅s(n)⏟=(b⋅n)+b)+s(n)\ldots = (\underbrace{b\cdot s(n)}_{=(b\cdot n)+b})+s(n)

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban s(b)⋅s(n)⏟=a=(b⋅s(n)⏟=a)+s(n)⏟=as(b)\cdot \underbrace{s(n)}_{=a} = (b\cdot \underbrace{s(n)}_{=a}) + \underbrace{s(n)}_{=a}.

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni.

Ezért most felborítjuk az első dominót, azaz igazoljuk, hogy az állítás igaz a=0a=0-ra, azaz:

s(b)⋅0⏟=a=(b⋅0⏟=a)+0⏟=as(b)\cdot \underbrace{0}_{=a} = (b\cdot \underbrace{0}_{=a}) + \underbrace{0}_{=a}

Ez viszont nyilvánvalóan teljesül, hiszen a 12.1. Definíció 1. pontja miatt:

s(b)⋅0=0=…s(b)\cdot 0 = 0 = \ldots

Szintén ugyanezen ok miatt:

…=b⋅0=…\ldots = b\cdot 0 = \ldots

Végül a 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

…=(b⋅0)+0\ldots = (b\cdot 0) + 0

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden bb és aa természetes számra igaz, hogy s(b)⋅a=(b⋅a)+as(b)\cdot a = (b\cdot a) + a.

∎