youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az aa-ra vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk, azaz feltesszük, hogy valamilyen a=na=n természetes számra az állítás igaz. Az indukciós feltétel tehát: 0⋅n=00\cdot n=0. Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor a=s(n)a=s(n)-re is igaz lesz, azaz:

0⋅s(n)⏟=a=00\cdot \underbrace{s(n)}_{=a}=0

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

0⋅s(n)=(0⋅n)+0=…0\cdot s(n)=(0\cdot n) + 0 = \ldots

A 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

…=0⋅n=…\ldots =0\cdot n = \ldots

Végül pedig az indukciós feltétel miatt:

…=0\ldots =0

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni. Ezért most felborítjuk az első dominót, azaz igazoljuk, hogy az állítás igaz a=0a=0-ra.

Ez viszont nyilvánvalóan teljesül a 12.1. Definíció 1. pontja miatt:

0⋅0⏟=a=00\cdot \underbrace{0}_{=a}=0

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden aa természetes számra igaz, hogy 0⋅a=00\cdot a=0.

∎