youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A bb-re vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk, azaz feltesszük, hogy valamilyen b=nb=n természetes számra az állítás igaz. Az indukciós feltétel tehát: a⋅n=n⋅aa \cdot n=n \cdot a. Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor b=s(n)b=s(n)-re is igaz lesz, azaz:

a⋅s(n)⏟=b=s(n)⏟=b⋅aa \cdot \underbrace{s(n)}_{=b} = \underbrace{s(n)}_{=b} \cdot a

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

a⋅s(n)=(a⋅n)+a=…a\cdot s(n) = (a\cdot n) + a = \ldots

Az indukciós feltétel miatt:

…=(n⋅a)+a=…\ldots =(n\cdot a) + a= \ldots

Végül a 12.3. Lemma miatt:

…=s(n)⋅a\ldots = s(n) \cdot a

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban a⋅s(n)⏟=b=s(n)⏟=b⋅aa \cdot \underbrace{s(n)}_{=b} = \underbrace{s(n)}_{=b} \cdot a.

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni. Az első dominót pedig már fel is borítottuk, ugyanis a 12.2. Lemma alapján az állítás igaz b=0b=0-ra.

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden aa és bb számra igaz, hogy a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a.

∎