youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Először is megjegyezzük, hogy elegendő csak a baloldali disztributivitást bizonyítani tekintve, hogy a szorzás a 12.4. Tétel miatt kommutatív.

Teljes indukciót alkalmazunk cc-re vonatkozóan. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamilyen c=nc=n természetes számra. Az tehát az indukciós feltétel, hogy

a⋅(b+n)=(a⋅b)+(a⋅n)a \cdot (b+n)=(a \cdot b) + (a \cdot n)

Azt kell bizonyítanunk, hogy ebben az esetben az állítás c=s(n)c=s(n)-re is igaz lesz, azaz:

a⋅(b+s(n)⏟=c)=(a⋅b)+(a⋅s(n)⏟=c)a \cdot (b+ \underbrace{s(n)}_{=c})=(a \cdot b) + (a \cdot \underbrace{s(n)}_{=c})

A 11.4. Definíció 2. pontja miatt:

a⋅(b+s(n))=a⋅s(b+n)=…a \cdot (b+ s(n))=a \cdot s(b+n) = \ldots

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

…=(a⋅(b+n))+a=…\ldots =(a \cdot (b+n)) + a = \ldots

Az indukciós feltétel miatt:

…=((a⋅b)+(a⋅n))+a=…\ldots =((a \cdot b)+(a \cdot n)) + a = \ldots

Tekintve, hogy a 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért:

…=(a⋅b)+((a⋅n)+a)=…\ldots =(a \cdot b)+((a \cdot n) + a) = \ldots

Végül ismét a 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

…=(a⋅b)+(a⋅s(n))\ldots =(a \cdot b)+(a \cdot s(n))

Vagyis azt kaptuk, hogy valóban a⋅(b+s(n)⏟=c)=(a⋅b)+(a⋅s(n)⏟=c)a \cdot (b+ \underbrace{s(n)}_{=c})=(a \cdot b) + (a \cdot \underbrace{s(n)}_{=c}).

Felállítottuk tehát a dominósort, és beláttuk, hogy bármely dominó felborítása esetén a soron következő dominó is fel fog borulni. Most felborítjuk az első dominót, tehát igazoljuk, hogy az állítás igaz c=0c=0 esetén, azaz:

a⋅(b+0⏟=c)=(a⋅b)+(a⋅0⏟=c)a \cdot (b+ \underbrace{0}_{=c})=(a \cdot b) + (a \cdot \underbrace{0}_{=c})

A 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

a⋅(b+0)=a⋅b=…a \cdot (b+ 0)=a \cdot b = \ldots

Ismételten a 11.4. Definíció 1. pontja miatt:

…=(a⋅b)+0=…\ldots = (a\cdot b) + 0 =\ldots

Végül a 12.1. Definíció 1. pontja miatt:

…=(a⋅b)+(a⋅0)\ldots = (a\cdot b) + (a\cdot 0)

Borul tehát az első dominó, és vele együtt a teljes dominósor, azaz minden aa, bb és cc számra igaz, hogy a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)a\cdot (b+c)=(a\cdot b) + (a\cdot c).

∎