Fölérendelt lap:12.7. TételTermészetes számok szorzásának asszociativitása

Bizonyítás

Teljes indukciót alkalmazunk $c$ -re vonatkozóan. Indukciós feltételként feltételezzük, hogy valamilyen $c = n$ -re a tétel már teljesül, azaz:

(a \cdot b) \cdot n = a \cdot (b \cdot n)

Feladatunk megmutatni, hogy ekkor $c = s (n)$ -re is teljesül, azaz:

(a \cdot b) \cdot s (n) = a \cdot (b \cdot s (n))

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

(a \cdot b) \cdot s (n) = ((a \cdot b) \cdot n) + (a \cdot b) = \dots

Az indukciós feltétel miatt:

\dots = (a \cdot (b \cdot n)) + (a \cdot b) = \dots

Tekintve, hogy a 12.6. Tétel miatt a szorzás disztributív az összeadásra nézve, ezért:

\dots = a \cdot ((b \cdot n) + b) = \dots

Végül ismételten a 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

\dots = a \cdot (b \cdot s (n))

A dominósor tehát felállítva, most elborítjuk az első dominót, azaz belátjuk, hogy $c = 0$ -ra a tétel igaz. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül a 12.1. Definíció 1. pontjának háromszori alkalmazásával:

(a \cdot b) \cdot = c 0 = 0 = a \cdot 0 = a \cdot (b \cdot = c 0)

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre