youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Teljes indukciót alkalmazunk cc-re vonatkozóan. Indukciós feltételként feltételezzük, hogy valamilyen c=nc=n-re a tétel már teljesül, azaz:

(a⋅b)⋅n=a⋅(b⋅n)(a\cdot b)\cdot n = a\cdot (b\cdot n)

Feladatunk megmutatni, hogy ekkor c=s(n)c=s(n)-re is teljesül, azaz:

(a⋅b)⋅s(n)=a⋅(b⋅s(n))(a\cdot b)\cdot s(n) = a\cdot (b\cdot s(n))

A 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

(a⋅b)⋅s(n)=((a⋅b)⋅n)+(a⋅b)=…(a\cdot b)\cdot s(n) = ((a\cdot b) \cdot n) + (a\cdot b)=\ldots

Az indukciós feltétel miatt:

…=(a⋅(b⋅n))+(a⋅b)=…\ldots =(a\cdot (b \cdot n)) + (a\cdot b)=\ldots

Tekintve, hogy a 12.6. Tétel miatt a szorzás disztributív az összeadásra nézve, ezért:

…=a⋅((b⋅n)+b)=…\ldots =a\cdot ((b \cdot n) + b)=\ldots

Végül ismételten a 12.1. Definíció 2. pontja miatt:

…=a⋅(b⋅s(n))\ldots =a\cdot (b \cdot s(n))

A dominósor tehát felállítva, most elborítjuk az első dominót, azaz belátjuk, hogy c=0c=0-ra a tétel igaz. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül a 12.1. Definíció 1. pontjának háromszori alkalmazásával:

(a⋅b)⋅0⏟=c=0=a⋅0=a⋅(b⋅0⏟=c)(a\cdot b) \cdot \underbrace{0}_{=c} = 0 = a\cdot 0 = a \cdot (b \cdot \underbrace{0}_{=c})

∎