Bizonyítás

A már jól ismert teljes indukciót alkalmazzuk. Először is megmutatjuk, hogy ha az állítás teljesül valamilyen $c=n$-re, akkor teljesülni fog $c=s(n)$-re is. Meg kell tehát mutatnunk, hogy ha $a+n = b+n$-ből $a=b$ következik, akkor $a+s(n) = b+s(n)$-ből is $a=b$ következik.

Az $a+s(n)=b+s(n)$ egyenlet mindkét oldalát a 11.4. Definíció 2. pontja miatt átírhatjuk így: $s(a+n)=s(b+n)$. Mármost a 11.1. Definíció 2. pontja kimondja, hogy ha két természetes szám rákövetkezője megegyezik, akkor maga a két természetes szám is megegyezik. Ebből tehát az következik, hogy $a+n=b+n$. Az indukciós feltétel szerint viszont az állítás teljesül $n$-re, ezért ebből $a=b$ következik.

A dominósort felállítottuk, nincs más hátra, mint felborítani az első dominót, azaz megmutatni, hogy $a+0=b+0$-ból $a=b$ következik. Ez viszont nyilvánvalóan teljesül, hiszen az egyenlet mindkét oldalát egyszerűsíthetjük $0$-val a 11.4. Definíció 1. pontja miatt.

∎