Bizonyítás

Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz $a+b=0$, de $a$ és $b$ közül legalább az egyik nem $0$. Tekintve, hogy a 11.8. Tétel alapján az összeadás kommutatív, ezért mindegy, hogy melyiket választjuk, a másikkal ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Legyen például most $b\neq 0$. Vizsgáljuk meg, hogy egy ilyen galád feltételezésnek milyen képtelen logikai következményei lennének.

Ha $b\neq 0$, akkor a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan természetes szám, amelynek épp $b$ a rákövetkezője, hiszen egyedül a $0$ nem rákövetkezője semminek. Jelöljük ezt a természetes számot $n$-nel, amelyre tehát igaz, hogy $s(n)=b$.

Vagyis azt kaptuk, hogy az $a+n$ rákövetkezője 0. Ez azonban lehetetlen, hiszen a 11.1. Definíció 3. pontja szerint a $0$ nem rákövetkezője semminek.

Ha tehát a lemma állításának hamisságát továbbra is tartani szeretnénk, akkor hamisnak kellene tekintenünk 3. Peano-axiómát is. Megfordítva: ha 3. Peano-axiómát igaznak fogadjuk el – márpedig annak fogadjuk el –, akkor a lemma állítása is szükségképpen igaz kell legyen.

∎

• ↓Alárendelt lap:Megjegyzés