Bizonyítás
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz a+b=0, de a és b közül legalább az egyik nem 0. Tekintve, hogy a 11.8. Tétel alapján az összeadás kommutatív, ezért mindegy, hogy melyiket választjuk, a másikkal ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Legyen például most b\neq 0. Vizsgáljuk meg, hogy egy ilyen galád feltételezésnek milyen képtelen logikai következményei lennének.
Ha b\neq 0, akkor a 11.1. Definíció 3. pontja miatt létezik olyan természetes szám, amelynek épp b a rákövetkezője, hiszen egyedül a 0 nem rákövetkezője semminek. Jelöljük ezt a természetes számot n-nel, amelyre tehát igaz, hogy s(n)=b.
Az a+b=0 kifejezést tehát így is írhatjuk:
Ez a 11.4. Definíció 2. pontja miatt így írható fel:
Vagyis azt kaptuk, hogy az a+n rákövetkezője 0. Ez azonban lehetetlen, hiszen a 11.1. Definíció 3. pontja szerint a 0 nem rákövetkezője semminek.
Ha tehát a lemma állításának hamisságát továbbra is tartani szeretnénk, akkor hamisnak kellene tekintenünk 3. Peano-axiómát is. Megfordítva: ha 3. Peano-axiómát igaznak fogadjuk el – márpedig annak fogadjuk el –, akkor a lemma állítása is szükségképpen igaz kell legyen.
∎