Bizonyítás

Ha $a\leq b$, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan természetes szám, amelyet $a$-hoz adva $b$-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot $k_1$-gyel, így tehát azt kapjuk, hogy $a+k_1=b$.

Ugyanezen okok miatt ha $b\leq c$, akkor létezik olyan természetes szám is, amelyet $b$-hez adva $c$-t kapunk. Jelöljük ezt a természetes számot $k_2$-vel, így tehát azt kapjuk, hogy $b+k_2=c$.

Az első egyenlet baloldalát a második egyenletbe $b$ helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy $\underbrace{(a+k_1)}_{=b} + k_2=c$. Tekintve, hogy a 11.10. Tétel miatt az összeadás asszociatív, ezért ez a kifejezés átzárójelezhető: $a+(k_1+k_2)=c$.

Létezik tehát olyan természetes szám is, amelyet $a$-hoz adva $c$-t kapunk – nevezetesen $k_1+k_2$. A 12.15. Definíció miatt ez épp azt jelenti, hogy $a\leq c$.

∎