Bizonyítás

Mivel ez egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért mindkét irányú következtetést igazolni kell.

Ha $a\leq b$, akkor ez a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik $n$, amelyre $a+n=b$. Ám ekkor nyilvánvalóan az egyenlet két oldalának rákövetkezője is azonos, azaz $s(a+n)=s(b)$. Ekkor viszont a 11.4. Definíció 2. pontja miatt $s(a)+n=s(b)$ is igaz. Ez viszont szintén a 12.15. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy $s(a)\leq s(b)$.

Megfordítva: Ha $s(a)\leq s(b)$, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik $n$, amelyre $s(a)+n=s(b)$. Ám ekkor a 11.4. Definíció 2. pontja miatt $s(a+n)=s(b)$ is igaz, amiből a 11.1. Definíció 2. pontja miatt $a+n=b$ következik. Ez pedig a 12.15. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy $a\leq b$.

∎