Episode I

Alice és Bob

15. fejezet

Alice és Bob az absztrakció útján

Az előző fejezetben intuitív módon kiterjesztettük a szorzás műveletét is az egész számok $Z$ halmazára. Ezzel többnyire teljessé vált a Peano-axiómarendszer által definiált természetes számok $N$ halmazának beágyazása ebbe a bővebb, már a negatív számokat is tartalmazó számkörbe. Ezután megmutattuk, hogy a műveleteink ugyanúgy viselkednek az eredeti $N$ halmazon, mint annak a beágyazófüggvény szerinti képén. Ez a képhalmaz a $Z$ -nek azon részhalmaza, amely a pozitív egész számokat és a nulla egész számot tartalmazza. Ebben tehát ugyanúgy érvényes a Peano-axiómarendszer, így mostantól ezt fogjuk a természetes számok halmazának tekinteni. Ezután megvizsgáltuk, hogy mit értünk azalatt, hogy teljesülnek a "szokásos számolási szabályok". Ennek keretében megismerkedtünk a "neutrális elem", az "inverz elem", a "gyűrű" és a "test" fogalmával. Végül megmutattuk, hogy az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletével egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot.

De vajon mit jelent a "nullosztómentesség" és az "integritástartomány" fogalma? Hogyan terjesszük ki a "kisebb-nagyobb" fogalmát az egész számok körére is? Milyen absztrakt algebrai megfontolások állnak ennek hátterében, és mit jelent ez általános gyűrűk esetén? Ebben a fejezetben erről lesz szó...

Figyelem! Ez a fejezet erőteljesen épít a 14. fejezetben bevezetett alábbi definíciókra és a hozzájuk kapcsolódó tételekre:

E definíciók kontextusba helyezése, valamint a hozzájuk kapcsolódó tételek és egyéb fogalmak megismerése miatt erőteljesen ajánlott elolvasni a 14. fejezetet, mivel gyakran hivatkozni fogunk rájuk.

A bevezetőben azt írtuk, hogy a természetes számok beágyazása $Z$ -be "többnyire" teljessé vált. Ami még hátra van, és ami a továbbiakban szintén fontos lesz számunkra, az a 12.15. Definíció szerinti $\leq$ rendezési reláció kiterjesztése erre a számhalmazra. Szeretnénk azonban ezt a problémakört minél általánosabban – lehetőleg az előző fejezetben megismert gyűrűk szintjén – tárgyalni. Ehhez először a gyűrűk néhány alapvető tulajdonságával fogunk megismerkedni.

15.1Gyűrűk alapvető tulajdonságai

A gyűrűaxiómákat a 14.12. Definícióból már ismerjük. Ezek mindössze annyit követelnek meg, hogy legyen egy halmazunk két művelettel, amelyeket most önkényesen "összeadásnak" és "szorzásnak" nevezünk. Az "összeadás" legyen kommutatív és asszociatív, létezzen rá nézve neutrális elem – amelyet nullelemnek nevezünk és $0$ -val jelölünk –, valamint minden $a$ elemnek létezzen inverze erre a műveletre nézve – amelyet $a$ ellentettjének nevezünk és $- a$ -val jelölünk. Ezen kívül a "szorzásnak" is asszociatívnak kell lennie, valamint teljesülnie kell a disztributivitási szabályoknak. Mivel az ellentett létezése követelmény, ezért minden gyűrűben korlátlanul el lehet végezni a "kivonást".

Egy általános gyűrű mindössze "ennyit tud". Azaz esetében még a "szorzás" sem feltétlenül kommutatív. Ezért kellett rögzíteni két disztributivitási szabályt is. Továbbá egységelem sem feltétlenül létezik rá nézve. Attól függően, hogy ezen extra tulajdonságok közül melyik teljesül pluszban, beszélhetünk rendre kommutatív gyűrűről, egységelemes gyűrűről vagy kommutatív és egységelemes gyűrűről. Végül az olyan kommutatív és egységelemes gyűrűket testnek neveztük, amelyekben "osztani" is lehet minden nem $0$ elemmel, azaz amelyben minden nem $0$ elemnek létezik inverze a szorzásra nézve is.

Azt ugye a 14.13. Tétel alapján már tudjuk, hogy az egész számok egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkotnak a szokásos műveletekkel. Ez a gyűrű azonban nem test, hiszen csak az egységelemnek és ellentettjének – azaz az $1$ és a $- 1$ egész számoknak – létezik multiplikatív inverze, méghozzá önmaga. Azt javasoljuk az Olvasónak, hogy ezt saját maga is gondolja végig a 14.3. Definíció és a 13.11. Definíció alapján.

Most néhány, az általános iskolából már jól ismert összefüggést fogunk bizonyítani, ám ezúttal általános gyűrűkre. Ne feledjük azonban, hogy ezen az absztrakciós szinten a gyűrűaxiómákon kívül nem feltételezhetünk semmi egyebet ezekkel az algebrai struktúrákkal kapcsolatban. Még azt sem, hogy egyáltalán számokról van-e szó. Az alábbi – sokak számára jól ismert – összefüggések tehát csak és kizárólag a gyűrűaxiómák logikai következményei.

15.1. Tétel (Gyűrűk alapvető tulajdonságai):

Legyen $(R, +, \cdot)$ tetszőleges gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor tetszőleges $a$ és $b$ elemekre teljesülnek az alábbiak:

0 a = a 0 = 0

- (- a) = a

a (- b) = (- a) b = - (ab)

(- a) (- b) = ab

- (a + b) = (- a) + (- b)

♣

Bizonyítás:

Az állításokat egyenként fogjuk bizonyítani.

1. állítás:

0 a = a 0 = 0

Mivel $0$ a gyűrű nulleleme, ezért a 2. gyűrűaxióma miatt $0 + 0 = 0$ , és így a disztributivitási szabály miatt:

0 a = (= 0 0 + 0) a = 0 a + 0 a

Mindkét oldalhoz hozzáadva $0 a$ ellentettjét – amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

0 = 0 a

A másik, $0 = a 0$ azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

2. állítás:

- (- a) = a

A baloldalon $- (- a)$ szerepel, amely nem más, mint $- a$ ellentettje. Ezért a 3. gyűrűaxióma miatt kettejük összege épp a nullelem kell legyen:

- (- a) + (- a) = 0

Mindkét oldalhoz hozzáadva $a$ -t, és kihasználva, hogy az 1. gyűrűaxióma miatt az összeadás asszociatív, a következőt kapjuk:

- (- a) + = (- a) + a 0 = 0 + a

A keletkező $0$ -kat mindkét oldalról elhagyhatjuk a 2. gyűrűaxióma miatt, megkapva így a bizonyítandó azonosságot:

- (- a) = a

3. állítás:

a (- b) = (- a) b = - (ab)

Az 1. állítás miatt $0 = 0 b$ , de mivel $0$ a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt $- a + a = 0$ , és így a disztributivitási szabály miatt:

0 = 0 b = (= 0 - a + a) b = (- a) b + ab

Eszerint tehát $ab$ -hez $(- a) b$ -t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért $(- a) b$ valójában $ab$ ellentettje. Ez viszont a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

(- a) b = - (ab)

Az $a (- b) = - (ab)$ azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

4. állítás:

(- a) (- b) = ab

Ez könnyen adódik az előző 3 állításból. Ugyanis az 1. állítás miatt $0 = 0 (- b)$ , de mivel $0$ a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt $- a + a = 0$ , és így a disztributivitási szabály miatt:

0 = 0 (- b) = (= 0 - a + a) (- b) = (- a) (- b) + a (- b)

A 3. állítás miatt az egyenlet jobboldalán lévő második tag $- (ab)$ -vel egyenlő, azaz:

0 = (- a) (- b) + = a (- b) (- (ab))

Mivel $(- a) (- b)$ -hez $- (ab)$ -t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért $(- a) (- b)$ valójában $- (ab)$ ellentettje. Ez viszont a a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így tehát:

(- a) (- b) = - (- (ab))

Az egyenlet jobboldalát viszont a 2. állítás miatt átírhatjuk a következőképpen, megkapva a bizonyítandó azonosságot:

(- a) (- b) = ab = - (- (ab))

5. állítás:

- (a + b) = (- a) + (- b)

Ehhez azt kéne belátnunk, hogy az $(a + b)$ ellentettje – azaz a $- (a + b)$ elem – valóban megegyezik a $(- a) + (- b)$ elemmel. A 14.10. Tétel miatt az ellentettképzés egyértelmű, így ez pontosan akkor teljesülne, ha az alábbi igaz lenne:

(a + b) + ((- a) + (- b)) = 0

Ez viszont igaz, hiszen az 1. gyűrűaxióma, valamint a 11.11. Következmény alapján ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető és átsorrendezhető, így felírható így is:

= 0 (a + (- a)) + = 0 (b + (- b)) = 0 + 0 = 0

Így tehát $(a + b)$ ellentettje – azaz a $- (a + b)$ elem – tényleg megegyezik a $(- a) + (- b)$ elemmel.

∎

Az alábbi egyszerű tétel a nullelem és az egységelem egymáshoz való viszonyáról szól.

15.2. Tétel:

Legyen $(R, +, \cdot)$ tetszőleges egységelemes gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor $0 \neq = 1$ , azaz az egységelem különbözik a nullelemtől.

♣

Bizonyítás:

Indirekt tegyük fel, hogy létezik olyan egységelemes gyűrű, amelyben $0 = 1$ . Mivel $1$ neutrális elem a szorzásra nézve, ezért tetszőleges $a$ elemre igaz az alábbi:

a = a \cdot 1 = a \cdot = 1 0

Ez viszont a 15.1. Tétel 1. pontja miatt $0$ -val egyenlő. Ez azt jelentené, hogy egy ilyen egységelemes gyűrűnek valójában egyetlen eleme lenne, méghozzá a nullelem. A 14.12. Definícióban ezt nullgyűrűnek neveztük, amelyet nem tekintünk egységelemes gyűrűnek.

∎

A 14.1. szakaszban azt vizsgáltuk, hogy vajon a természetes számok $N$ halmazán érvényesek-e a "szokásos" egyenletrendezési szabályok. Ennek kapcsán merült fel az a kérdés, hogy vajon egy egyenlet mindkét oldalát el lehet-e "osztani" egy adott nem nulla természetes számmal annak ellenére, hogy az "osztás", mint művelet nem értelmezhető ezen a számhalmazon. Ezt a 14.2. Lemma tette lehetővé számunkra.

Most általános gyűrűkre is megvizsgáljuk ezt a kérdést. Az nyilvánvaló, hogy egy tetszőleges gyűrűn értelmezett egyenlet mindkét oldalából "ki lehet vonni" ugyanazt az elemet. A gyűrűkben ugyanis korlátlanul elvégezhető a "kivonás", amennyiben azt az ellentettel való összeadásként definiáljuk, hasonlóan ahhoz, ahogyan az egész számok közötti kivonást értelmeztük a 14.11. Definícióban. Az "osztás" azonban csak testekben értelmezhető korlátlanul, általános gyűrűkben nem. Ennek ellenére vannak olyan gyűrűk, amelyek nem testek ugyan, ám a természetes számokhoz hasonlóan egy rajtuk értelmezett egyenlet mindkét oldalát "egyszerűsíteni" lehet ugyanazzal a nem $0$ elemmel. Ezeknek a gyűrűknek speciális nevük van.

15.3. Definíció (Nullosztómentes gyűrű):

Legyen $(R, +, \cdot)$ tetszőleges gyűrű a szokásos jelölésekkel, valamint legyen $a \neq = 0$ a gyűrű tetszőleges nemnulla eleme. Az $a$ elemet baloldali nullosztónak nevezzük, ha létezik olyan $x \neq = 0$ elem, amelyre teljesül, hogy

a \cdot x = 0

Az $a$ elemet jobboldali nullosztó nevezzük, ha létezik olyan $y \neq = 0$ elem, amelyre teljesül, hogy

y \cdot a = 0

Az $a$ elemet kétoldali nullosztónak, vagy egyszerűen csak nullosztónak nevezzük, ha egyidejűleg bal- és jobboldali nullosztó. Az $R$ gyűrűt nullosztómentes gyűrűnek nevezzük, ha nincs benne sem jobb-, sem pedig baloldali nullosztó.

A szakirodalomban sok helyen találkozhatunk még a zérusosztó, illetve a zérusosztómentes gyűrű kifejezésekkel is. Kontextustól függően mi is felváltva fogjuk használni ezeket a fogalmakat, ettől függetlenül ezek mind ugyanazt jelentik.

♣

Megjegyzés:

Természetesen kommutatív gyűrű esetén nincs értelme külön baloldali vagy jobboldali nullosztóról beszélni, hiszen ott minden jobboldali nullosztó egyben baloldali is, és fordítva.

Megjegyezzük továbbá, hogy a nullosztómentességet definiálhattuk volna úgy is, hogy egy $R$ gyűrű akkor nullosztómentes, ha nemnulla elemek szorzata nemnulla. A két definíció teljesen ekvivalens egymással.

Legyenek ugyanis $a \neq = 0$ és $b \neq = 0$ tetszőleges nemnulla elemek. Ha $ab = 0$ lenne, akkor $a$ baloldali, $b$ pedig jobboldali nullosztó lenne, ami ellentmondás, ha feltételezzük, hogy $R$ nullosztómentes.

Visszafelé: Tegyük fel indirekt, hogy nemnulla elemek szorzata nemnulla, de ennek ellenére mégis létezik egy olyan $a \neq = 0$ elem, ami baloldali nullosztó. Ez az eredeti definíció szerint azt jelenti, hogy létezik olyan $x \neq = 0$ elem, hogy $a x = 0$ , ami ellentmond az indirekt feltevésünknek. Ha tehát nemnulla elemek szorzata nemnulla, akkor nem létezhet baloldali nullosztó. Ugyanilyen gondolatmenettel adódik, hogy jobboldali nullosztó sem létezhet.

♣

Ez a definíció elsőre furcsának tűnhet. Az általános iskolából ugyanis megszokhattuk, hogy egy szorzat csak úgy lehet $0$ , ha legalább az egyik tényezője $0$ . Gyűrűk esetén – mint hamarosan látni fogjuk – ez általánosságban nem igaz. Ezért mindig körültekintően kell eljárnunk, amikor egyenleteket oldunk meg valamilyen gyűrűben. A nullosztómentes gyűrűkben azonban az alábbi tétel alapján nyugodtan alkalmazhatjuk a szokásos egyenletrendezési szabályokat.

15.4. Tétel:

Legyen $(R, +, \cdot)$ tetszőleges nullosztómentes gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor bármely $a$ , $b$ és $c \neq = 0$ elemek esetén teljesülnek az alábbiak:

a c = b c

, akkor

a = b

c a = c b

, akkor

a = b

Igaz a tétel megfordítása is: Amennyiben tetszőleges $a$ , $b$ és $c \neq = 0$ elemek esetén teljesül a fenti két tulajdonság, akkor az $(R, +, \cdot)$ gyűrű nullosztómentes.

♣

Bizonyítás:

Először a tétel első felét bizonyítjuk, tehát most adott, hogy $R$ nullosztómentes. Az 1. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy

a c = b c

Az egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá $b c$ ellentettjét, amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik:

a c + (- (b c)) = 0

A baloldal második tagja a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható:

a c + = - (b c) (- b) c = 0

Az egyenlet baloldala a disztributivitási szabály miatt átírható erre:

(a + (- b)) c = 0

Mivel $R$ nullosztómentes, ezért nem létezik benne jobboldali nullosztó, így $c$ sem lehet az. Ez a 15.3. Definíció miatt azt jelenti, hogy a fenti egyenlet csak akkor teljesülhet, ha

a + (- b) = 0

Mindkét oldalhoz $b$ -t adva megkapjuk a tételben szereplő 1. tulajdonságot, azaz valóban: $a = b$ . A 2. tulajdonság ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor a másik disztributivitási szabályt és a baloldali nullosztó fogalmát kell felhasználni.

Most bizonyítjuk a tétel megfordítását. Tegyük fel indirekt, hogy teljesül mindkét tulajdonság az $R$ gyűrűre, ám $R$ mégsem nullosztómentes.

Az, hogy teljesül az 1. tulajdonság ugye azt jelenti, hogy tetszőleges $a$ , $b$ és $c \neq = 0$ elemek esetén az $a c = b c$ állításból következik az $a = b$ állítás. A $b = 0$ speciális esetben ez azt jelenti, hogy az $a c = 0 c$ állításból – és így a 15.1. Tétel 1. pontja miatt az $a c = 0$ állításból – következik az $a = 0$ állítás. Ez a 15.3. Definíció miatt ez épp azt jelenti, hogy $R$ -ben nem létezik jobboldali nullosztó, hiszen $a \neq = 0$ esetben $c$ épp ilyen tulajdonságú elem lenne.

A 2. tulajdonság teljesülése ugyanilyen gondolatmenetet követve azt jelenti, hogy $R$ -ben nem létezik baloldali nullosztó sem. Ez viszont a 15.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy $R$ mégis nullosztómentes.

∎

A 14.12. Definícióban megismerkedtünk a kommutatív, valamint az egységelemes gyűrűkkel, amelyek a szorzásra vonatkozóan biztosítanak egy-egy újabb "jó" tulajdonságot a gyűrűnek. Nevezetesen: a kommutativitást és az egységelem létezését. Az imént bizonyított 15.4. Tételben megmutattuk, hogy a nullosztómentesség teljesülése esetén pedig érvényben maradnak a "szokásos" egyenletrendezési szabályok. Speciális nevük van olyan gyűrűknek, amelyekben mindhárom előnyös tulajdonság egyszerre teljesül.

15.5. Definíció (Integritástartomány):

A kommutatív, egységelemes és nullosztómentes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

♣

Egy integritástartományban tehát minden "ugyanúgy működik", ahogy az általános iskolában megszokhattuk, leszámítva persze a szorzás invertálhatóságát, amit csak a testek "tudnak". A most megismert fogalom az egész számok szokásos műveletekkel alkotott algebrai struktúrájának közvetlen általánosítása, mint ahogyan azt az alábbi tétel is kimondja.

15.6. Tétel:

Az egész számok $Z$ halmaza egy integritástartományt alkot a 13.13. Definíció szerinti összeadás és a 14.3. Definíció szerinti szorzás műveletekkel.

♣

Bizonyítás:

A korábban már bizonyított 14.13. Tétel szerint $Z$ egy kommutatív, egységelemes gyűrű, ezért csak a nullosztómentességet kell bizonyítani.

Egy pillanatra térjünk vissza a 13.8. Definícióban bevezetett jelölésekre, amikoris az egész számokat még természetes számokból álló párok ekvivalencia-osztályaiként jelöltük $[(a; b)]$ alakban. A 13.11. Definícióban három részre osztottuk az egész számokat: a pozitív egész számokat $[(n; 0)]$ , a negatív egész számokat $[(0; n)]$ , végül a nulla egész számot $[(0; 0)]$ alakban írtuk fel. Ezt a 13.10. Tétel alapján tehettük meg, amely szerint minden egész szám felírható e három közül valamelyik alakban.

Az egész számok szorzásának 14.3. Definíciója alapján ekkor bármely két nemnulla egész szám szorzata az alábbi két alak valamelyikére hozható, ahol $n \neq = 0$ és $k \neq = 0$ valamilyen természetes számok:

[(nk; 0)] [(0; nk)]

A 14.1. Lemma alapján nemnulla természetes számok szorzata nem lehet $0$ , azaz ebben az esetben $nk \neq = 0$ . Ebből viszont a 13.10. Tétel alapján az következik, hogy sem $[(nk; 0)]$ , sem pedig $[(0; nk)]$ nem lehet a nulla egész szám.

Azt kaptuk tehát, hogy nemnulla egész számok szorzata nem lehet a nulla egész szám. Ez a 15.3. Definíció utáni megjegyzés alapján épp azt jelenti, hogy a $Z$ valóban nullosztómentes.

∎

Az egyenletekkel kapcsolatos játékszabályokat tehát az általános gyűrűk szintjén tisztáztuk. Most nézzük meg, hogy mi a helyzet az egyenlőtlenségek esetén ugyanezen az absztrakciós szinten.

15.2Relációk és műveletek kapcsolata gyűrűkben

A 12.6. szakaszban tisztáztuk az úgynevezett rendezési relációk és a rendezett halmazok fogalmát. Ezeknek a fogalmaknak a segítségével absztrakt szinten tudunk beszélni "kisebb-nagyobb"-jellegű viszonyokról tetszőleges halmaz elemei között. Most ezt a kérdéskört szeretnénk kiterjeszteni általános gyűrűkre – és természetesen speciálisan az egész számok gyűrűjére – is. Azt javaslom az Olvasónak, hogy a folytatás előtt ismételje át a 12.6. szakaszban ismertetett fogalmakat.

A 12.14. Definíció alapján tehát rendezett halmaz alatt egy olyan, kétváltozós relációval ellátott halmazt értünk, amelynek elemei között e reláció segítségével valamilyen sorrend állítható fel. Mivel egy gyűrű is tulajdonképpen egy halmaz, így ez a fogalom nyilván ezekre is értelmezhető. Csakhogy a gyűrűk rendelkeznek két művelettel is. Ezért az ő esetükben egy rendezési relációtól azt is elvárjuk, hogy bizonyos értelemben "jól viselkedjenek" ezekkel a műveletekkel.

Hogy ez alatt pontosan mit értünk, azt egy példán keresztül világítjuk meg. Vizsgáljuk meg például, hogy a természetes számok $N$ halmazán értelmezett a 12.15. Definíció szerinti rendezési reláció milyen kapcsolatban van az összeadás és a szorzás műveletével. Erről szól az alábbi tétel.

15.7. Tétel:

A természetes számok $N$ halmazán tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ számokra igazak az alábbiak:

Ha $a \leq b$ akkor $a + c \leq b + c$ .
Ha $a \leq b$ akkor $a c \leq b c$ .

Ha tehát egy egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a természetes számot, vagy mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az egyenlőtlenség továbbra is érvényben marad.

♣

Bizonyítás:

Az $a \leq b$ reláció a 12.15. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ természetes szám, amelyre teljesül az alábbi:

a + k = b

Az egyenlet mindkét oldalához $c$ -t hozzáadva, illetve mindkét oldalt $c$ -vel megszorozva ezeket kapjuk:

(a + k) + c (a + k) c = b + c = b c

Tekintve, hogy a 11.8. és a 11.10. Tétel alapján az összeadás kommutatív és asszociatív, továbbá a 12.6. Tétel alapján a szorzás disztributív az összeadásra nézve, emiatt a két egyenlet baloldali átalakíthatók:

(a + c) + k a c + k c = b + c = b c

Egyrészt létezik tehát olyan természetes szám – nevezetesen $k$ –, amelyet $a + c$ -hez adva $b + c$ -t kapunk. Másrészt pedig létezik olyan természetes szám is – nevezetesen $k c$ –, amelyet $a c$ -hez adva $b c$ -t kapunk. Ez a 12.15. Definíció alapján éppen azt jelenti, hogy:

a + c a c \leq b + c \leq b c

∎

Egy ehhez hasonló tulajdonság általánosságban is hasznos lehet egy műveletekkel ellátott algebrai struktúra alaphalmazán értelmezett reláció esetén. Erről szól az alábbi definíció.

15.8. Definíció (Reláció kompatibilitása művelettel):

Legyen $S$ egy tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egyrészt egy kétváltozós művelet – amelyet jelöljünk most a $*$ szimbólummal –, másrészt pedig egy kétváltozós reláció – amelyet jelöljünk most a $≃$ szimbólummal. Amennyiben $S$ tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ elemeire az $a ≃ b$ reláció teljesülése esetén

a * c c * a ≃ b * c ≃ c * b

is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a $≃$ reláció kompatibilis a $*$ művelettel.

♣

Megjegyzés:

Természetesen kommutatív művelet esetén $a * c ≃ b * c$ és $c * a ≃ c * b$ egymással ekvivalens, így ebben az esetben elegendő csak az egyik feltételt kikötni.

♣

Ezzel a szóhasználattal élve tehát a 15.7. Tétel úgy is megfogalmazható, hogy a természetes számok rendezési relációja kompatibilis az összeadás és a szorzás műveletével.

Most nézzük, mit tudunk elmondani egy gyűrű alaphalmazán értelmezett rendezési reláció és a gyűrű két műveletének viszonyáról. Kérdés, hogy egyáltalán létezhet-e olyan részbenrendezés, amely a gyűrű mindkét műveletével kompatibilis? Ennek megválaszolásához az alábbi segédtételre lesz szükségünk.

15.9. Lemma:

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy tetszőleges gyűrű, amelynek $R$ alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a $\leq$ szimbólummal, és tegyük fel, hogy a $\leq$ reláció kompatibilis a gyűrű $+$ műveletével. Ekkor tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ elemekre igazak az alábbiak:

0 \leq a

, akkor

0 \geq (- a)

a c \leq b c

, akkor

a (- c) \geq b (- c)

c a \leq c b

, akkor

(- c) a \geq (- c) b

Itt $0$ jelöli a gyűrű nullelemét, $- x$ pedig az $x$ elem ellentettjét. Megjegyezzük még, hogy kommutatív gyűrűk esetén természetesen a 2. és a 3. tulajdonság egymással ekvivalens.

♣

Bizonyítás:

Az 1. állítás bizonyításához tegyük fel tehát, hogy $0 \leq a$ . Mivel a $\leq$ reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz $a$ ellentettjét adva – amely a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk:

0 + (- a) \leq a + (- a)

Mivel $0$ a gyűrű nulleleme, ezért a baloldali összegből őt a 2. gyűrűaxióma miatt elhagyhatjuk, a jobboldali összeg pedig a 3. gyűrűaxióma miatt épp a nullelemmel lesz egyenlő. Így tulajdonképpen megkapjuk az 1. állítást:

(- a) \leq 0

A 2. állítás bizonyításához tegyük fel tehát, hogy $a c \leq b c$ . Mivel a $\leq$ reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz jobbról $- (a c)$ -t, balról pedig $- (b c)$ -t adva továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk:

(- (b c)) + = 0 a c + (- (a c)) \leq = 0 (- (b c)) + b c + (- (a c))

Mindkét oldalon a két egymásnak ellentett tag a 3. gyűrűaxióma miatt kiejti egymást, így ezt kapjuk:

- (b c) \leq - (a c)

Ez viszont a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható, megkapva ezzel a 2. állítást:

b (- c) \leq a (- c)

Végül a 3. állítás ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a kiindulási feltétel mindkét oldalához $- (c a)$ -t és $- (c b)$ -t kell adni.

∎

Ez alapján úgy néz ki, hogy nem mindegy, hogy egy egyenlőtlenség mindkét oldalát egy adott elemmel, vagy annak ellentettjével szorozzuk-e meg, hiszen mindkét esetben megfordul a rendezés iránya a másikhoz képest. Ezt a sajnálatos tényt fogalmazza meg az alábbi tétel.

15.10. Tétel:

Legyen $(R, +, \cdot)$ egy kommutatív gyűrű, amelynek $R$ alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a reláció a $\leq$ szimbólummal, és tegyük fel, hogy a $\leq$ reláció kompatibilis a gyűrű $+$ műveletével. Tételezzük fel továbbá, hogy a gyűrű valamilyen $a$ és $b$ elemei között fennáll az $a \leq b$ reláció. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

Ha minden

0 \leq c

esetén

a c \leq b c

, akkor minden

d \leq 0

esetén

a d \geq b d

Ha minden

0 \leq c

esetén

a c \geq b c

, akkor minden

d \leq 0

esetén

a d \leq b d

♣

Megjegyzés:

A tétel kimondásakor azért korlátozódtunk kommutatív gyűrűkre, hogy ne kelljen a fordított sorrendű szorzásokra is megfogalmazni és bizonyítani ugyanezt a két tulajdonságot. Az Olvasóra bízzuk annak átgondolását, hogy hogyan lehet ezt a tételt és bizonyítását kiterjeszteni a nemkommutatív esetekre is.

♣

Bizonyítás:

Kezdjük az 1. tulajdonsággal: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az $a \leq b$ egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" $0$ elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" $0$ elemmel való szorzás viszont megfordítja a relációt. A tételben ezt a "legfeljebb" $0$ elemet $d$ -vel jelöltük, azaz $d \leq 0$ . Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt következik, hogy $0 \leq (- d)$ , azaz $d$ ellentettje "legalább" $0$ . A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" $0$ elemmel szorozva az $a \leq b$ relációt, annak iránya nem változik. Ez tehát igaz lesz $(- d)$ -re is, és így:

a (- d) \leq b (- d)

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk az 1. tulajdonságot:

a d \geq b d

A 2. tulajdonság bizonyítása ehhez nagyon hasonló: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az $a \leq b$ egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" $0$ elemmel megszorozva a reláció iránya megfordul. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" $0$ elemmel való szorzás viszont helybenhagyja a reláció irányát. A tételben ezt a "legfeljebb" $0$ elemet $d$ -vel jelöltük, azaz $d \leq 0$ . Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt ismét következik, hogy $0 \leq (- d)$ , azaz $d$ ellentettje "legalább" $0$ . A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" $0$ elemmel szorozva az $a \leq b$ relációt, annak iránya megfordul. Ez tehát igaz lesz $(- d)$ -re is, és így:

a (- d) \geq b (- d)

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk a 2. tulajdonságot:

a d \leq b d

∎

Hogy ez miért sajnálatos?

Azért, mert ez azt jelenti, hogy egy gyűrűben egy rendezési reláció egyszerre nem lehet kompatibilis mindkét művelettel – legalábbis semmilyen gyakorlatilag hasznos esetben. Most megmutatjuk, miért.

Tekintsünk továbbra is egy tetszőleges kommutatív gyűrűt. Jelölje a rendezési relációnkat továbbra is a $\leq$ szimbólum, és tegyük fel, hogy $a \leq b$ teljesül valamilyen $a$ és $b$ elemekre. Ha mármost $\leq$ kompatibilis lenne mindkét művelettel, akkor ez egyrészt a szorzással való kompatibilitás miatt azt jelentené, hogy tetszőleges $c$ esetén mindkét alábbi egyenlőtlenség teljesülne:

a c a (- c) \leq b c \leq b (- c)

Másrészt az összeadással való kompatibilitás miatt a 15.9. Lemma továbbra is igaz lenne, ezért annak 2. állítása miatt az $a (- c) \leq b (- c)$ egyenlőtlenségből következne az $a c \geq b c$ egyenlőtlenség, tehát végsősoron ezt kapnánk:

a c a c \leq b c \geq b c

Mivel azonban a $\leq$ reláció egy rendezési reláció, ezért a 12.14. Definíció miatt antiszimmetrikus. Ez viszont a 12.11. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy a fenti két egyenlőtlenség csak abban az esetben teljesülhet egyszerre, ha $a c = b c$ .

Összefoglalva tehát azt kapnánk, hogy tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ elemekre $a \leq b$ teljesülése esetén $a c = b c$ is teljesülne. Ez például egy nullosztómentes gyűrűben a 15.4. Tétel miatt azt jelentené, hogy $a = b$ , amennyiben $a \leq b$ . Így nem lenne túl sok értelme rendezésről beszélni.

Kénytelenek leszünk tehát a mindkét művelettel való kompatibilitásnál némileg megengedőbbek lenni az olyan rendezési relációkkal szemben, amelyekre azt szeretnénk mondani, hogy bizonyos értelemben "jól viselkednek" egy gyűrűn.

15.3Gyűrűk rendezési axiómái

A 15.2. szakasz tanulságai alapján most a 14.12. Definícióban szereplő gyűrűaxiómák után megfogalmazunk két újabb axiómát. Ezeket rendezési axiómáknak fogjuk nevezni, amiket majd egy gyűrűn értelmezett rendezési relációnak kell teljesítenie ahhoz, hogy őt "jól viselkedőnek" tekintsük.

Az már fix, hogy az első rendezési axióma az összeadással való kompatibilitás lesz. A szorzásra sajnos a 15.10. Tétel miatt ilyet nem tudunk előírni. Eszerint ugyanis ha a $0 \leq c$ elemekkel való szorzásra követeljük meg azt, hogy a rendezés iránya megmaradjon, akkor a $c \leq 0$ elemekkel való szorzás rendezésfordító lesz. Ha viszont a $c \leq 0$ elemekkel való szorzásra szeretnénk megtartani a rendezés irányát, akkor viszont a $0 \leq c$ esetekben lesz rendezésfordító a szorzás. Választanunk kell tehát, hogy melyiket tekintsük axiómának e kettő közül.

Alapvetően ugye az a célunk, hogy a természetes számok rendezését kiterjesszük az egész számok gyűrűjére. Márpedig ebben a gyűrűben épp a pozitív egész számok és a $0$ felelnek meg a természetes számoknak. Célszerű tehát, ha az ezzel analóg $0 \leq c$ esetekben követelnénk meg a rendezés tartását az általános gyűrűk rendezési axiómáinak rögzítésekor is. Mivel nem akarunk kizárólag a kommutatív gyűrűkre szorítkozni, ezért mindkét irányú szorzásra elő kell írnunk ezt a feltételt. Így tehát a rendezési axiómákat a következőképpen célszerű megadni.

15.11. Definíció (Rendezett gyűrűk):

Legyen $(R, +, \cdot)$ egy tetszőleges gyűrű, valamint a gyűrű $R$ alaphalmazán legyen értelmezve egy részbenrendezési reláció, amelyet jelöljünk most a $\leq$ szimbólummal. Tegyük fel továbbá, hogy tetszőleges $a$ , $b$ és $c$ elemek esetén teljesülnek az alábbi követelmények, amelyeket rendezési axiómáknak nevezünk:

a \leq b

, akkor

a + c \leq b + c

a \leq b

és

0 \leq c

, akkor

a c \leq b c

és

c a \leq c b

Ekkor azt mondjuk, hogy $(R, +, \cdot)$ egy részbenrendezett gyűrű a $\leq$ relációra nézve. Amennyiben a $\leq$ reláció egy teljes rendezés – azaz bármely két elem "összehasonlítható" egymással –, akkor azt mondjuk, hogy $(R, +, \cdot)$ egy teljesen rendezett (vagy egyszerűen csak rendezett) gyűrű a $\leq$ relációra nézve.

Egy $(R, +, \cdot)$ gyűrűre akkor mondjuk, hogy részbenrendezhető, ha létezik olyan részbenrendezési reláció a gyűrű $R$ alaphalmazán, amely teljesíti a fenti két axiómát. Az $(R, +, \cdot)$ gyűrűre akkor mondjuk, hogy teljesen rendezhető (vagy egyszerűen csak rendezhető), ha létezik a fenti axiómákat kielégítő teljes rendezés az $R$ alaphalmazon.

♣

Az egész számok gyűrűjét a 13.11. Definíció alapján három részre osztottuk: megkülönböztettünk negatív és pozitív egész számokat, valamint a nulla egész számot, amelyet nem tekintettünk sem pozitívnak, sem pedig negatívnak. Habár ezeket a fogalmakat bármiféle rendezési relációtól függetlenül vezettük be a 13.5. szakaszban, ám hamarosan látni fogjuk, hogy szoros összefüggésben van a most következő fogalmakkal.

15.12. Definíció (Pozitivitástartomány):

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy részbenrendezett gyűrű a $\leq$ részbenrendezési relációval, amely tehát teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Ekkor azoknak az $a \neq = 0$ elemeknek a halmazát, amelyekre teljesül a $0 \leq a$ reláció, a gyűrű pozitivitástartományának nevezzük a $\leq$ rendezésre nézve, és $P_{\leq}$ -vel jelöljük. A $P_{\leq}$ halmazban lévő elemekre ilyenkor azt mondjuk, hogy pozitívak a $\leq$ rendezésre nézve.

Ehhez hasonlóan azoknak az $a \neq = 0$ elemeknek a halmazát, amelyekre teljesül az $a \leq 0$ reláció, a gyűrű negativitástartományának nevezzük a $\leq$ rendezésre nézve, és $- P_{\leq}$ -vel jelöljük. A $- P_{\leq}$ halmazban lévő elemekre ilyenkor azt mondjuk, hogy negatívak a $\leq$ rendezésre nézve.

♣

Megjegyzés:

A 15.9. Lemma 1. pontjából azonnal következik, hogy ha egy elem pozitív egy rendezésre nézve, akkor az ellentettje negatív, illetve visszafelé: ha egy elem negatív egy rendezésre nézve, akkor az ellentettje pozitív.

Igaz továbbá az is, hogy nem létezik egyszerre pozitív és negatív elem semmilyen rendezésre nézve. Ha ugyanis valamilyen $a$ elem egyszerre lenne pozitív és negatív, akkor $0 \leq a$ és $a \leq 0$ egyszerre teljesülne. Az antiszimmetria miatt azonban ekkor $a = 0$ lenne, azonban ez ellentmondana annak, hogy a nullelem a 15.12. Definíció szerint se nem pozitív, se nem negatív.

♣

**15.3. ábra:** Részbenrendezések pozitivitás- és negativitástartományai

Megjegyzendő, hogy létezhet olyan elem a gyűrűben akár a nullelemen kívül is, amely se nem pozitív, se nem negatív egy adott részbenrendezésre nézve. Ne felejtsük el ugyanis, hogy a részbenrendezés 12.14. Definíciója nem követeli meg a trichotómiát, vagyis azt, hogy bármely két elem összehasonlítható legyen.

A példaként felhozott szituációkban például az $e$ elem és a $0$ nem összehasonlítható a $P_{1}$ és a $P_{3}$ pozitivitástartományokhoz tartozó rendezési relációk szerint. A "nem összehasonlítható" itt azt jelenti, hogy közöttük egyik irányban sem teljesül a reláció. Ezzel szemben egy teljes rendezés megköveteli a trichotómiát. Következésképp egy teljes rendezés esetén bármely elem és a nullelem között legalább az egyik irányban teljesülni fog a reláció.

**15.4. ábra:** Teljes rendezések pozitivitás- és negativitástartományai

Az eddigiek alapján semmi nem zárja ki, hogy egy gyűrűn több olyan rendezés is létezzen, amelyek eleget tesznek a rendezési axiómáknak. Ha például $\leq$ és $≲$ két ilyen, egymástól különböző rendezési reláció egy gyűrű alaphalmazán, akkor – mint azt a következő tételben látni fogjuk – a hozzájuk tartozó $P_{\leq}$ és a $P_{≲}$ pozitivitástartományok is különbözni fognak. Következésképp mások lesznek a negatív és pozitív elemek a $\leq$ rendezésre nézve, mint a $≲$ rendezésre nézve. Nézzük tehát az erről szóló tételt.

15.13. Tétel:

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy részbenrendezhető gyűrű, valamint legyen $\leq$ és $≲$ két tetszőleges részbenrendezési reláció, amelyek kielégítik a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómákat.

Amennyiben tetszőleges $a$ és $b$ elemek esetén $a \leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a ≲ b$ is teljesül, úgy a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik – azaz $P_{\leq} = P_{≲}$ .

Megfordítva: amennyiben a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik – azaz $P_{\leq} = P_{≲}$ –, úgy tetszőleges $a$ és $b$ elemek esetén $a \leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a ≲ b$ is teljesül.

♣

Megjegyzés:

Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a pozitivitástartomány egyértelműen meghatározza a hozzá tartozó rendezési relációt.

♣

Bizonyítás:

Ha tetszőleges $a$ és $b$ elemekre $a \leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a ≲ b$ is, akkor ez nyilván igaz lesz az $a = 0$ speciális esetre is. Azaz ebben a speciális esetben igaz lesz, hogy tetszőleges $b$ elemre pontosan akkor teljesül a $0 \leq b$ reláció, amikor a $0 ≲ b$ reláció is. Ez viszont azt jelenti, hogy tetszőleges elem pontosan akkor van benne a $\leq$ rendezés pozitivitástartományában, amikor a $≲$ reláció pozitivitástartományában is benne van. A két pozitivitástartománynak tehát pontosan ugyanazok az elemeik, ami épp azt jelenti, hogy megegyeznek.

Megfordítva: az, hogy a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik, úgy is megfogalmazható, hogy bármely elem pontosan akkor van benne a $P_{\leq}$ halmazban, ha benne van a $P_{≲}$ halmazban is. Ez nyilván igaz lesz minden olyan elemre is, amelyet két tetszőleges $a$ és $b$ elemből képzünk a $b + (- a)$ képlettel. Kivéve persze az $a = b$ esetet, amikoris $b + (- a) = 0$ , amely a 15.12. Definíció alapján nincs benne egyik pozitivitástartományban sem. Ám ekkor a reflexivitás miatt amúgyis mindkét reláció teljesül, ezért ettől az esettől a továbbiakban eltekinthetünk. Így tehát pontosan akkor fog teljesülni a $0 \leq b + (- a)$ reláció, amikor teljesül a $0 ≲ b + (- a)$ reláció is. Mivel mindkét reláció teljesíti a rendezési axiómákat, ezért mindkettő kompatibilis az összeadás művelettel. Így e két egyenlőtlenség mindkét oldalához $a$ -t adva megkapjuk a tétel állítását: $a \leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a ≲ b$ is, azaz a két reláció valójában – jelöléstől eltekintve – egy és ugyanaz.

∎

Látható tehát, hogy egy gyűrűben önmagában nincs értelme pozitív vagy negatív elemekről beszélni. Azt ugyanis, hogy mely elemek pozitívak és melyek negatívak, az adott rendezési reláció, illetve az előző tétel alapján az adott pozitivitástartomány határozza meg.

Jogos a kérdés, hogy akkor a 13.11. Definíció alapján mégis milyen jogon mondtuk azt bizonyos egész számokra, hogy pozitívak, másokra pedig azt, hogy negatívak anélkül, hogy megneveztünk volna egy konkrét rendezési relációt. Ezt a kérdést hamarosan megválaszoljuk, ehhez azonban szükségünk lesz két fontos tételre. Egyrészt szeretnénk egy könnyen ellenőrizhető kritériumot találni, amely alapján egy gyűrű alaphalmazának egy adott részhalmazáról eldönthetjük, hogy pozitivitástartománya-e egy rendezési relációnak vagy nem. Másrészt, miután ezt eldöntöttük egy részhalmazról, szeretnénk azt is könnyen eldönteni, hogy ez a rendezési reláció vajon egy teljes rendezés-e.

Az alábbi tétel az első kérdésre ad egy könnyen ellenőrizhető kritériumot nullosztómentes gyűrűk esetén.

15.14. Tétel:

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy nullosztómentes gyűrű, valamint $P$ a gyűrű alaphalmazának egy részhalmaza. A $P$ halmaz akkor és csak akkor pozitivitástartománya egy valamilyen $R$ -en értelmezett, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is kielégítő részbenrendezésnek, ha tetszőleges $P$ -beli $a$ és $b$ elemek esetén teljesülnek az alábbiak:

P

zárt az összeadásra, azaz tartalmazza az

a + b

összeget is.

P

zárt a szorzásra, azaz tartalmazza az

ab

és

ba

szorzatokat is.

P

nem tartalmazza a gyűrű nullelemét.

♣

Bizonyítás:

Mivel ez egy "akkor és csak akkor"-típusú állítás, ezért mindkét irányban bizonyítani kell az implikációt.

Nézzük először a könnyebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha a $P$ részhalmaz egy valamilyen, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is kielégítő $\leq$ részbenrendezés pozitivitástartománya, akkor $P$ zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a nullelemet.

Ez utóbbi nyilván igaz, hiszen $P$ egy részbenrendezés pozitivitástartománya, amely a 15.12. Definíció alapján nem tartalmazza a nullelemet, így elegendő csak az összeadásra és szorzásra való zártságot igazolni.

Vegyünk két tetszőleges $P$ -beli elemet, és jelöljük őket $a$ -val és $b$ -vel. Az, hogy ők $P$ -ben vannak, a 15.12. Definíció miatt ezt jelenti:

a b 00 \neq = 0 \neq = 0 \leq a \leq b

Az 1. rendezési axióma miatt a $0 \leq a$ egyenlőtlenség mindkét oldalához $b$ -t adva az egyenlőtlenség továbbra is érvényes, azaz $b \leq a + b$ . De mivel részbenrendezésről van szó, és $0 \leq b$ ugye teljesül, ezért a tranzitivitás miatt

0 \leq a + b

is teljesül.

Igaz ugyanakkor az is, hogy $a + b \neq = 0$ , hiszen máskülönben $a = - b$ lenne a helyzet, azaz a pozitivitástartomány 15.12. Definíciója utáni megjegyzés alapján egyiküknek a $- P$ negativitástartományban kéne lennie. Ez ugye ellentmondana annak, hogy mindkettő $P$ -ben van, így valóban $a + b$ is benne van $P$ -ben, azaz $P$ valóban zárt az összeadásra.

Most nézzük, mi a helyzet az $ab$ és a $ba$ szorzatokkal? A 2. rendezési axióma miatt a $0 \leq a$ egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk a $b$ elemmel jobbról is és balról is, a reláció iránya $0 \leq b$ miatt nem fog változni:

0 b b 0 \leq ab \leq ba

Mindkét egyenlőtlenség baloldala a 15.1. Tétel 1. pontja alapján $0$ -val egyenlő, ezért:

00 \leq ab \leq ba

Tekintve, hogy a tétel szövege alapján nullosztómentes gyűrűről van szó, ezért e két szorzat közül a 15.3. Definíció utáni megjegyzés miatt egyik sem $0$ , és így mindkettő szintén benne van $P$ -ben, azaz $P$ valóban zárt a szorzásra is.

Most nézzük a nehezebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha egy valamilyen $P$ részhalmaz zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a gyűrű nullelemét, akkor tudunk konstruálni egy olyan részbenrendezést a gyűrűn, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat, és amelynek épp $P$ a pozitivitástartománya.

Definiáljunk hát egy $≲$ szimbólummal jelölt relációt a gyűrű alaphalmazán a következőképpen: $a ≲ b$ akkor és csak akkor, ha $a = b$ vagy pedig a $b + (- a)$ elem benne van a $P$ halmazban.

A feladatunk tehát megmutatni, hogy a $P$ -re vonatkozó feltételek teljesülése esetén $≲$ valóban egy részbenrendezés (azaz reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus), és ezen felül még a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is teljesíti.

A reflexivitás azonnal látszik, hiszen a $≲$ reláció a definíciónk szerint automatikusan teljesül, ha $a = b$ , így nyilván minden $a$ esetén $a ≲ a$ . A $≲$ relációval szemben támasztott további követelmények teljesülését egyenként igazoljuk.

Tranzitivitás

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ , $b$ és $c$ elemekre teljesülnek az $a ≲ b$ és a $b ≲ c$ relációk. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor az $a ≲ c$ reláció is teljesül. Feltehetjük, hogy ez a három elem páronként különbözik, máskülönben bármelyik kettő egyezése esetén nyilvánvalóan fennáll $a ≲ c$ . Ha viszont páronként különböznek, akkor $a ≲ b$ és $b ≲ c$ épp azt jelenti, hogy a $b + (- a)$ és a $c + (- b)$ elemek benne vannak a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a $(b + (- a)) + (c + (- b))$ elem is benne van a $P$ halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés $c + (- a)$ -val egyenlő, amely épp azt jelenti, hogy $a ≲ c$ . A $≲$ reláció tehát valóban tranzitív.

Antiszimmetria

Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül az antiszimmetria, azaz léteznek olyan galád $a$ és $b$ elemek, amelyekre $a ≲ b$ és $b ≲ a$ is teljesül, ugyanakkor $a \neq = b$ . Ebben az esetben $a ≲ b$ és $b ≲ a$ épp azt jelenti, hogy a $b + (- a)$ és az $a + (- b)$ elemek benne vannak a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a $(b + (- a)) + (a + (- b))$ elem is benne van a $P$ halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés épp a gyűrű nullelemével egyenlő, ami ellentmond annak, hogy $P$ nem tartalmazza a nullelemet. A $≲$ reláció tehát mégiscsak antiszimmetrikus kell legyen.

Az 1. rendezési axióma

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ és $b$ elemekre fennáll az $a ≲ b$ reláció, és legyen $c$ egy tetszőleges elem. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennáll az $a + c ≲ b + c$ reláció is. Feltehetjük, hogy $a \neq = b$ , hiszen máskülönben

a + c ≲ = b a + c

nyilván teljesülne a $≲$ reláció már bizonyított reflexivitása miatt.

Ha viszont $a \neq = b$ , akkor $a ≲ b$ épp azt jelenti, hogy $b + (- a)$ benne van a $P$ halmazban. Ehhez a kifejezéshez hozzáadva a $c$ elemet és annak ellentettjét, a kifejezés eredménye a gyűrűaxiómák miatt nem változik:

(b + (- a)) + = 0 (c + (- c))

Szintén a gyűrűaxiómák miatt ez a kifejezés átzárójelezhető és átsorrendezhető:

(b + c) + ((- a) + (- c))

Vegyük azonban észre, hogy a jobboldali $(- a) + (- c)$ tag a 15.1. Tétel 5. pontja miatt $- (a + c)$ -vel egyenlő. Így tehát azt kapjuk, hogy az alábbi elem szintén benne van a $P$ halmazban:

(b + c) + = (- a) + (- c) (- (a + c))

Ez viszont a $≲$ reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy $a + c ≲ b + c$ . Valóban teljesül tehát az 1. rendezési axióma.

A 2. rendezési axióma

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ és $b$ elemekre fennáll az $a ≲ b$ reláció, és legyen $c$ egy tetszőleges elem, amelyre $0 ≲ c$ . Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennállnak az $a c ≲ b c$ , valamint a $c a ≲ c b$ relációk is. Feltehetjük egyrészt, hogy $c \neq = 0$ , hiszen máskülönben

= a 0 = 0 a 0 ≲ = b 0 = 0 b 0

nyilván teljesülne a $≲$ reláció már bizonyított reflexivitása miatt.

Másrészt azt is feltehetjük, hogy $a \neq = b$ , hiszen máskülönben ugyanezen okok miatt

a c c a ≲ = b a c ≲ c = b a

szintén nyilvánvalóan teljesül.

Ha viszont $a \neq = b$ és $c \neq = 0$ , akkor egyrészt $a ≲ b$ épp azt jelenti, hogy $b + (- a)$ benne van a $P$ halmazban, másrészt pedig $0 ≲ c$ épp azt jelenti, hogy $c + (- 0) = c$ szintén benne van a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt a szorzásra, ezért a $(b + (- a)) c$ valamint a $c (b + (- a))$ szorzatok szintén benne vannak a $P$ halmazban.

E két szorzat viszont a disztributivitási szabályok és a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így írható fel:

(b + (- a)) c c (b + (- a)) = b c + (- a) c = b c + (- (a c)) = c b + c (- a) = c b + (- (c a))

Az, hogy ezek a $P$ halmazban vannak, a $≲$ reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy $a c ≲ b c$ és $c a ≲ c b$ . Valóban teljesül tehát a 2. rendezési axióma is.

∎

Most tehát már van egy szükséges és elégséges feltételünk arra, hogy egy nullosztómentes gyűrű alaphalmazának bármilyen részhalmazáról eldöntsük, vajon ő egy rendezési reláció pozitivitástartománya-e vagy sem. Ráadásul a bizonyításból az is könnyen látszik, hogy igenlő válasz esetén hogyan kaphatjuk meg magát a keresett rendezési relációt – ami nem mellesleg a 15.13. Tétel miatt ugye egyértelmű.

A most következő tétel annak eldöntésére ad egy könnyen ellenőrizhető kritériumot, hogy ez a bizonyos rendezés vajon egy teljes rendezés-e vagy sem.

15.15. Tétel:

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy tetszőleges gyűrű, valamint $P$ egy valamilyen, ezen a gyűrűn definiált, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat kielégítő részbenrendezési reláció pozitivitástartománya. A $P$ -hez tartozó részbenrendezési reláció akkor és csak akkor teljes rendezés, ha minden nemnulla elemre igaz, hogy vagy ő maga, vagy pedig az ellentettje benne van $P$ -ben.

♣

Bizonyítás:

Jelöljük a $P$ pozitivitástartomány által meghatározott relációt a $\leq$ szimbólummal. Mivel ez ismét egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért ezúttal is mindkét irányú implikációt bizonyítani kell.

Nézzük meg először, hogy mi következik $P$ -re vonatkozóan abból, ha $\leq$ egy teljes rendezés. Az ugye világos, hogy tetszőleges $a \neq = 0$ elemre vagy teljesül a $0 \leq a$ reláció, vagy pedig nem. Ha teljesül, akkor a 15.12. Definíció miatt maga $a$ benne van a $P$ halmazban. Ha nem teljesül, akkor viszont a teljes rendezés trichotómiája miatt szükségképpen teljesül az $a \leq 0$ reláció. Ebben az esetben viszont a 15.9. Lemma 1. pontja miatt teljesül a $0 \leq (- a)$ reláció is. Mivel $a \neq = 0$ , ezért $(- a) \neq = 0$ , és így a 15.12. Definíció miatt ekkor $- a$ benne van a $P$ halmazban. Teljes rendezés esetén tehát minden nemnulla elemre igaz, hogy vagy ő maga, vagy pedig az ellentettje benne van a teljes rendezés pozitivitástartományában.

Most visszafele nézzük meg, hogy mi következik a $\leq$ részbenrendezésre vonatkozóan abból, ha minden nemnulla elem vagy az ellentettje benne van a részbenrendezés $P$ pozitivitástartományában. Ez nyilván igaz lesz azokra az elemekre is, amelyeket valamilyen tetszőleges $a$ és $b$ elemekből képzünk a $b + (- a)$ képlettel. Kivéve persze, ha $a = b$ , de ezekben az esetekben a részbenrendezés reflexivitása miatt amúgyis teljesül mind az $a \leq b$ , mind pedig a $b \leq a$ reláció is. Ha tehát $a \neq = b$ , akkor vagy $b + (- a)$ , vagy pedig az ő ellentettje, azaz $- (b + (- a))$ benne van $P$ -ben.

Ha $b + (- a)$ van benne $P$ -ben, akkor a 15.12. Definíció miatt $0 \leq b + (- a)$ . A 15.11. Definíció szerinti 1. rendezési axióma miatt mindkét oldalhoz $a$ -t adva továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk, azaz $a \leq b$ .

Ha viszont $- (b + (- a))$ van benne $P$ -ben, akkor a 15.12. Definíció, valamint a 15.9. Lemma 1. pontja miatt a $b + (- a) \leq 0$ fog teljesülni, amiből viszont $b \leq a$ következik.

Azt kaptuk tehát, hogy amennyiben tetszőleges nemnulla elem, vagy az ellentettje benne van egy részbenrendezési reláció pozitivitástartományában, akkor a reláció legalább az egyik irányban bármely két elem között fennáll – azaz ő valóban egy teljes rendezés.

∎

15.4Teljes rendezés az egész számok gyűrűjében

Ebben a szakaszban végre rátérhetünk arra a kérdésre, hogy a 13.11. Definícióban milyen jogon mondtuk azt bizonyos egész számokról, hogy pozitívak, másokról pedig, hogy negatív. Ez pofátlanságnak tűnik a 15.3. szakasz fényében, hiszen nem mondtuk meg, hogy melyik rendezési reláció szerint értjük őket pozitívnak illetve negatívnak. Most ezt a hiányosságunkat fogjuk pótolni.

Azt rögtön kijelenthetjük, hogy minket most csak a teljes rendezések érdekelnek. Szeretnénk ugyanis, ha bármely két egész számról eldönthető lenne, hogy melyik nagyobb a másiknál. Kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan teljes rendezés az egész számok gyűrűjében, amely teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat? A következő tétel nullosztómentes gyűrűkre fogalmaz meg egy számunkra fontos észrevételt ezzel kapcsolatban.

15.16. Tétel:

Tegyük fel, hogy $(R, +, \cdot)$ egy olyan nullosztómentes gyűrű, amely teljesen rendezhető – azaz létezik legalább egy, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezés a gyűrű $R$ alaphalmazán. Ekkor minden nemnulla elem önmagával vett szorzata, valamint az összes ilyen szorzatból képzett akárhánytagú összeg pozitív a gyűrű bármely teljes rendezésére nézve.

♣

Bizonyítás:

A 15.15. Tétel alapján minden $a \neq = 0$ elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik. Legyen $P$ egy ilyen tetszőleges pozitivitástartomány.

Tegyük fel, hogy az első eset áll fenn, azaz maga $a$ van benne $P$ -ben. Ekkor $a \cdot a$ is nyilván benne van $P$ -ben, hiszen – nullosztómentes gyűrűről lévén szó – a 15.14. Tétel 2. pontja miatt $P$ zárt a szorzásra nézve.

Most tegyük fel, hogy a második eset áll fenn, azaz most az $a$ elem helyett a $(- a)$ elem van benne $P$ -ben. De ekkor – szintén a 15.14. Tétel 2. pontja miatt – a $(- a) \cdot (- a)$ szorzat is. Vegyük észre azonban, hogy ez a szorzat a 15.1. Tétel 4. pontja alapján épp $a \cdot a$ -val egyenlő.

Azt kaptuk tehát, hogy minden $a \neq = 0$ elem önmagával vett szorzata mindenképpen pozitív bármely teljes rendezésre nézve – még akkor is, ha ő maga negatív. De ekkor e szorzatok tetszőleges kombinációban felírt összegei is pozitívak, hiszen a 15.14. Tétel 1. pontja szerint egy nullosztómentes gyűrűben a pozitivitástartományok zártak az összeadásra nézve.

∎

Most térjünk vissza az egész számok $(Z, +, \cdot)$ gyűrűjéhez. Mivel a 15.6. Tétel értelmében ő egy integritástartomány – azaz kommutatív és nullosztómentes, továbbá létezik egységelem –, így érvényes rá az imént bizonyított 15.16. Tétel. Azt ugyan még nem tudjuk, hogy létezik-e rajta akárcsak egyetlen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezés is. Ám ha létezik ilyen, akkor annak pozitivitástartománya biztosan tartalmazni fogja az összes nemnulla elem önmagával vett szorzatát, és az ilyen szorzatok összegeit is. Ha több ilyen teljes rendezés is létezik, akkor minden ezekhez tartozó pozitivitástartomány tartalmazni fogja ugyanezeket az elemeket.

Pozitivitástartományok elhelyezkedése Z-n — **15.5. ábra:** Pozitivitástartományok elhelyezkedése $Z$ -n

A 15.16. Tétel alapján tehát a három pozitivitástartomány $Q$ -val jelölt közös része tartalmazza az összes nemnulla elem önmagával vett szorzatát, és az ilyen szorzatok összes lehetséges összegeit is. Kérdés, hogy vajon e pozitivitástartományok tartalmaznak-e a $Q$ -beli elemeken kívül más elemeket is, vagy valójában az összes pozitivitástartomány egy és ugyanaz?

Úgy gondolom, a fentiek fényében már nem lesz meglepő az erre választ adó alábbi tétel.

15.17. Tétel:

Az egész számok gyűrűjének alaphalmazán pontosan egy olyan teljes rendezés létezik, amelyre teljesülnek a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómák. Ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp a 13.11. Definíció szerinti pozitív, negativitástartománya pedig az ugyanezen definíció szerinti negatív egész számokból áll.

♣

Bizonyítás:

A 13.11. Definícióban az egész számok halmazát három részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok, valamint a nulla egész szám. A 13.10. Tétel alapján az is világos, hogy e három részhalmaz közül semelyik kettőnek nincs közös eleme. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban $P$ -vel, a negatív egész számok halmazát pedig $- P$ -vel. A $P$ halmaz nem tartalmazza tehát a gyűrű nullelemét, azaz a nulla egész számot.

Továbbá az is igaz, hogy a 13.14. és a 14.5. Tétel miatt $P$ zárt a $(Z, +, \cdot)$ gyűrű összeadására és szorzására. Az ezekben a tételekben definiált $f$ beágyazófüggvény ugyanis a nemnulla természetes számokat pontosan a $P$ halmazba képzi, így ha $P$ nem lenne zárt az összeadásra és a szorzásra, akkor az e tételekben már bizonyított művelettartás nem teljesülhetne.

Mivel a 15.6. Tétel miatt a $(Z, +, \cdot)$ gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.14. Tétel alapján annyi már bizonyos, hogy a $P$ halmaz valóban egy részbenrendezés pozitivitástartománya.

Most azt fogjuk belátni, hogy ez a bizonyos rendezés valójában egy teljes rendezés. A 14.13. Tétel bizonyítása alapján a $P$ -ben lévő egész számok ellentettjei épp a $- P$ -ben lévő egész számok. Így a 15.12. Definíció utáni megjegyzés miatt a $P$ -hez tartozó rendezés negativitástartománya épp a $- P$ halmaz, aminek tehát nincs közös eleme $P$ -vel. Mivel a $P$ és a $- P$ halmazok ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kívüli összes egész számot, így a 15.15. Tétel alapján a $P$ halmazhoz tartozó rendezés valójában egy teljes rendezés.

Már csak azt kell belátni, hogy ez az egyetlen olyan teljes rendezés, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Tegyük fel ezért indirekt, hogy egy másik ilyen teljes rendezés is létezik az egész számok gyűrűjén. Jelöljük az ehhez tartozó pozitivitástartományt $Q$ -val, a negativitástartományt pedig $- Q$ -val. Mivel rendezésről van szó, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján a $Q$ és a $- Q$ halmazoknak szintén nincs közös elemük. Továbbá – mivel ez a hipotetikus rendezés teljes – ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kivüli összes egész számot.

Az indirekt feltevésünk a 15.13. Tétel alapján azt jelenti, hogy a $P$ és $Q$ pozitivitástartományok különbözőek. Nézzük meg, hogy ez vajon tényleg lehetséges-e? Vegyük észre, hogy a 15.16. Tétel alapján mindazon egész számok, amelyek felírhatók egy akármilyen egész szám önmagával vett szorzataként, vagy ilyen szorzatok akárhánytagú összegeként, benne vannak mind a $P$ , mind pedig a $Q$ halmazban. Ez viszont igaz minden $P$ -beli egész számra. Az első néhány példa alapján az Olvasó is könnyen megértheti, miért:

123 = 1 \cdot 1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \dots

Teljes rendezések pozitivitás- és negativitástartományai Z-n — **15.6. ábra:** Teljes rendezések pozitivitás- és negativitástartományai $Z$ -n

Az indirekt feltételezésünk ugye az volt, hogy a $P$ és a $Q$ halmazok különböznek, azaz létezik olyan $x$ nemnulla egész szám, amely benne van $Q$ -ban, de nincs benne $P$ -ben. Egyrészt, mivel $Q$ -nak és $- Q$ -nak nincs közös eleme, ezért ha $x$ benne van $Q$ -ban, akkor nincs benne $- Q$ -ban.

Másrészt, mivel $P$ és $- P$ ketten együtt tartalmazzák az összes nemnulla egész számot, ezért ha $x$ nincs benne $P$ -ben, akkor benne van $- P$ -ben. Mivel azonban $- P$ része $- Q$ -nak, ezért ebből az következik, hogy benne van $- Q$ -ban is.

Az indirekt feltételezésünkből tehát az következne, hogy létezik olyan egész szám, amely benne is van $- Q$ -ban, és nincs is benne. Ez teljes képtelenség, lehetetlen, hogy $P$ és $Q$ különböznek, azaz valójában megegyeznek. Ekkor viszont a 15.13. Tétel miatt a hozzájuk tartozó teljes rendezések is megegyeznek. Az egész számok gyűrűjén tehát valóban csak egyféleképpen lehet teljes rendezést definiálni.

∎

Most tehát már tudjuk, hogy az egész számok gyűrűjében pontosan egy olyan teljes rendezés létezik, amely teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Ráadásul ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp azokat az egész számokat tartalmazza, amelyeket a 13.11. Definícióban pozitívnak neveztünk. Jogos volt tehát az elnevezés annak ellenére, hogy akkor nem definiáltuk magát a rendezést, amely alapján ezt értettük.

Ezen a ponton fontos megjegyezni, hogy ez az egyértelműség az egész számok gyűrűjében pusztán egy szerencsés egybeesés eredménye. Léteznek például olyan gyűrűk is, amelyekben egyáltalán nem létezik a rendezési axiómákat is kielégítő teljes rendezés. Léteznek továbbá olyanok is, amelyekben végtelen sok ilyen teljes rendezés definiálható.

Most azonban maradjunk továbbra is a $(Z, +, \cdot)$ gyűrűben. Nincs más hátra, mint megadni ezt az egyetlen teljes rendezést ezen a gyűrűn, amelyet a $\leq$ szimbólummal fogunk jelölni.

15.18. Tétel (Az egész számok rendezése):

Definiáljunk egy $\leq$ szimbólummal jelölt relációt az egész számok $Z$ halmazán a következőképpen:

Amennyiben tetszőleges $a$ és $b$ egész számokhoz létezik olyan $k$ természetes szám – vagy más szavakkal nemnegatív egész szám –, amelyre teljesül, hogy $a + k = b$ , akkor azt mondjuk, hogy $a \leq b$ . Kiolvasva: " $a$ legfeljebb $b$ " vagy " $b$ legalább $a$ ". A $\leq$ relációt az egész számok rendezésének nevezzük.

Ha ezen kívül $k \neq = 0$ is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy $a < b$ . Kiolvasva: " $a$ kisebb, mint $b$ " vagy " $b$ nagyobb, mint $a$ ".

Fordított irányú relációk esetén értelemszerűen használhatjuk a $\geq$ vagy a $>$ szimbólumokat is.

Állítás: Az így definiált $\leq$ reláció egy – és a 15.17. Tétel alapján az egyetlen – olyan teljes rendezés a $Z$ halmazon, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat.

♣

Megjegyzés:

Egyszerűen adódik, hogy az $a < b$ reláció fenti definíciója ekvivalens azzal, hogy $a \leq b$ és $a \neq = b$ egyszerre teljesül. Ha ugyanis $a < b$ , akkor a definíció értelmében létezik olyan $k$ nemnegatív egész szám, amely esetén $a + k = b$ és $k \neq = 0$ . Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére $a = b$ , azaz valójában:

a + k = = b a

Ám ekkor az egyenlet mindkét oldalához $a$ ellentettjét hozzáadva a 2. és a 3. gyűrűaxióma miatt $k = 0$ adódik, ami ellentmondás.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy $a \leq b$ és $a \neq = b$ . Az $a \leq b$ a definíció értelmében azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ nemnegatív egész szám, amely esetén $a + k = b$ . Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére $k = 0$ , azaz valójában:

a + = k 0 = b

Ám ekkor a 2. gyűrűaxióma miatt $a = b$ adódik, ami ellentmondás.

♣

Bizonyítás:

A 15.17. Tétel szerint létezik pontosan egy olyan teljes rendezés a $Z$ halmazon, amely teljesíti a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómákat, és ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp a 13.11. Definíció szerinti pozitív egész számok. Jelöljük ezt a pozitivitástartományt $P$ -vel.

A 15.13. Tétel alapján $P$ egyértelműen meghatározza a hozzá tartozó rendezést. A 15.14. Tétel bizonyításából már tudjuk, hogy $P$ -ből hogyan kaphatjuk meg a kérdéses rendezést: eszerint $a \leq b$ -t úgy kell definiálnunk, hogy akkor és csak akkor teljesüljön, ha a $b + (- a)$ összeg benne van $P$ -ben, azaz pozitív, vagy pedig $0$ . Jelöljük ezt az összeget most $k$ -val, azaz:

b + (- a) = k

Itt tehát $k$ nemnegatív. Az egyenlet mindkét oldalához $a$ -t adva valóban épp a tételben szereplő $\leq$ relációt kapjuk:

b = k + a

∎

Ezek után már egyszerűen adódik, hogy a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer által definiált – korábban természetes számoknak nevezett és $N_{1}$ -gyel jelölt – halmaz 13.5. szakaszban tárgyalt beágyazása az egész számok gyűrűjébe az összeadáson és a szorzáson kívül tartja a 12.15. Definíció szerinti rendezést is. Az alábbi tétel épp azt fogalmazza meg, ennek a rendezésnek a megfelelője a $Z$ halmazon épp az imént definiált rendezés lesz.

15.19. Tétel:

E tétel megfogalmazásához az alábbi jelöléseket használjuk:

$N_{1}$ -gyel a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer által definiált halmazt jelöljük.
Az egész számokra a 13.8. Definíció szerinti jelölést alkalmazzuk.
A $Z$ halmazon értelmezett, 15.18. Tétel szerinti teljes rendezést a $≲$ , míg az $N_{1}$ halmazon értelmezett, 12.15. Definíció szerinti teljes rendezést pedig a $\leq$ szimbólummal jelöljük.

Tegyük fel, hogy adva van egy $f : N_{1} \to Z$ függvény az alábbiak szerint:

f (n) = [(n; 0)]

Ekkor az $N_{1}$ halmaz tetszőleges $a$ és $b$ elemei esetén $a \leq b$ akkor és csak akkor teljesül, ha $f (a) ≲ f (b)$ is teljesül. Más szavakkal $f$ egy injektív homomorfizmus az $(N_{1}, \leq)$ és a $(Z, ≲)$ teljesen rendezett halmazok, mint algebrai struktúrák között.

♣

Bizonyítás:

Ha $a \leq b$ , akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan $k$ elem az $N_{1}$ halmazban, amelyre $a + k = b$ . Mivel a 13.14. Tétel miatt az $f$ függvény tartja a összeadást, ezért $f (a + k) = f (a) \oplus f (k) = f (b)$ is teljesül. Tekintve, hogy az $N_{1}$ halmaz minden elemének $f$ szerinti képe a 13.11. Definíció értelmében pozitív vagy $0$ a $Z$ halmazon belül, így nyilván $f (k)$ is az. Azaz a 15.18. Tételben szereplő reláció definíciója alapján $f (a) ≲ f (b)$ .

Megfordítva: ha $f (a) ≲ f (b)$ , akkor a 15.18. Tétel miatt létezik olyan $c$ egész szám a $Z$ halmazon belül, amely pozitív vagy $0$ , és amelyre $f (a) \oplus c = f (b)$ . Mivel $c$ pozitív vagy $0$ , ezért létezik az $N_{1}$ halmazban olyan $n$ elem, amelynek épp ő az $f$ szerinti képe, azaz amelyre $f (n) = c$ , és így $f (a) \oplus f (n) = f (b)$ . De mivel az $f$ függvény tartja a összeadást, ezért $f (a + n) = f (b)$ is teljesül. Tekintve, hogy az $f$ függvény minden $Z$ -beli elemet legfeljebb egy $N_{1}$ -beli elemhez rendel hozzá, ezért ebből $a + n = b$ következik. Ez viszont a 12.15. Definíció értelmében épp azt jelenti, hogy $a \leq b$ .

Azt, hogy $f$ injektív, már a 13.14. Tétel bizonyításában beláttuk.

∎

Ebben a fejezetben tehát definiáltuk a "kisebb-nagyobb" fogalmát az egész számok gyűrűjében is. Ezután megmutattuk, hogy az valóban annak a természetes számok körében értelmezett hasonló relációnak a kiterjesztése, amelyet a 12.7. szakaszban definiáltunk. Megvizsgáltuk ezt a kérdéskört egy magasabb absztrakciós szinten általános gyűrűkre is. E vizsgálódásaink során sikerült megmutatni, hogy e reláció kiterjesztésének ez az egyetlen módja. Feltéve persze, ha bizonyos, az általános iskolából is jól ismert számolási szabályokat az egész számok halmazán is érvényben szeretnénk tartani.

A továbbiakban ennek a relációnak a felhasználásával meg fogunk ismerkedni az úgynevezett oszthatóság és a maradékos osztás fogalmával. Ezek végre elvezetnek majd minket a prímszámokkal kapcsolatos összefüggésekhez. Ezeket a kérdéseket továbbra is az általános gyűrűk szintjén fogjuk vizsgálni, már amennyire lehetséges. Ezáltal ugyanis átfogóbb képet kaphatunk a modern kriptográfiai eljárások mögött meghúzódó számelméleti gondolatokról.