Episode I
Alice és Bob
15. fejezet
Alice és Bob az absztrakció útján
Az előző fejezetben intuitív módon kiterjesztettük a szorzás műveletét is az egész számok halmazára. Ezzel többnyire teljessé vált a Peano-axiómarendszer által definiált természetes számok halmazának beágyazása ebbe a bővebb, már a negatív számokat is tartalmazó számkörbe. Ezután megmutattuk, hogy a műveleteink ugyanúgy viselkednek az eredeti halmazon, mint annak a beágyazófüggvény szerinti képén. Ez a képhalmaz a -nek azon részhalmaza, amely a pozitív egész számokat és a nulla egész számot tartalmazza. Ebben tehát ugyanúgy érvényes a Peano-axiómarendszer, így mostantól ezt fogjuk a természetes számok halmazának tekinteni. Ezután megvizsgáltuk, hogy mit értünk azalatt, hogy teljesülnek a "szokásos számolási szabályok". Ennek keretében megismerkedtünk a "neutrális elem", az "inverz elem", a "gyűrű" és a "test" fogalmával. Végül megmutattuk, hogy az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletével egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkot.
De vajon mit jelent a "nullosztómentesség" és az "integritástartomány" fogalma? Hogyan terjesszük ki a "kisebb-nagyobb" fogalmát az egész számok körére is? Milyen absztrakt algebrai megfontolások állnak ennek hátterében, és mit jelent ez általános gyűrűk esetén? Ebben a fejezetben erről lesz szó...
Figyelem! Ez a fejezet erőteljesen épít a 14. fejezetben bevezetett alábbi definíciókra és a hozzájuk kapcsolódó tételekre:
E definíciók kontextusba helyezése, valamint a hozzájuk kapcsolódó tételek és egyéb fogalmak megismerése miatt erőteljesen ajánlott elolvasni a 14. fejezetet, mivel gyakran hivatkozni fogunk rájuk.
A bevezetőben azt írtuk, hogy a természetes számok beágyazása -be "többnyire" teljessé vált. Ami még hátra van, és ami a továbbiakban szintén fontos lesz számunkra, az a 12.15. Definíció szerinti rendezési reláció kiterjesztése erre a számhalmazra. Szeretnénk azonban ezt a problémakört minél általánosabban – lehetőleg az előző fejezetben megismert gyűrűk szintjén – tárgyalni. Ehhez először a gyűrűk néhány alapvető tulajdonságával fogunk megismerkedni.
15.1Gyűrűk alapvető tulajdonságai
A gyűrűaxiómákat a 14.12. Definícióból már ismerjük. Ezek mindössze annyit követelnek meg, hogy legyen egy halmazunk két művelettel, amelyeket most önkényesen "összeadásnak" és "szorzásnak" nevezünk. Az "összeadás" legyen kommutatív és asszociatív, létezzen rá nézve neutrális elem – amelyet nullelemnek nevezünk és -val jelölünk –, valamint minden elemnek létezzen inverze erre a műveletre nézve – amelyet ellentettjének nevezünk és -val jelölünk. Ezen kívül a "szorzásnak" is asszociatívnak kell lennie, valamint teljesülnie kell a disztributivitási szabályoknak. Mivel az ellentett létezése követelmény, ezért minden gyűrűben korlátlanul el lehet végezni a "kivonást".
Egy általános gyűrű mindössze "ennyit tud". Azaz esetében még a "szorzás" sem feltétlenül kommutatív. Ezért kellett rögzíteni két disztributivitási szabályt is. Továbbá egységelem sem feltétlenül létezik rá nézve. Attól függően, hogy ezen extra tulajdonságok közül melyik teljesül pluszban, beszélhetünk rendre kommutatív gyűrűről, egységelemes gyűrűről vagy kommutatív és egységelemes gyűrűről. Végül az olyan kommutatív és egységelemes gyűrűket testnek neveztük, amelyekben "osztani" is lehet minden nem elemmel, azaz amelyben minden nem elemnek létezik inverze a szorzásra nézve is.
Azt ugye a 14.13. Tétel alapján már tudjuk, hogy az egész számok egy kommutatív és egységelemes gyűrűt alkotnak a szokásos műveletekkel. Ez a gyűrű azonban nem test, hiszen csak az egységelemnek és ellentettjének – azaz az és a egész számoknak – létezik multiplikatív inverze, méghozzá önmaga. Azt javasoljuk az Olvasónak, hogy ezt saját maga is gondolja végig a 14.3. Definíció és a 13.11. Definíció alapján.
Most néhány, az általános iskolából már jól ismert összefüggést fogunk bizonyítani, ám ezúttal általános gyűrűkre. Ne feledjük azonban, hogy ezen az absztrakciós szinten a gyűrűaxiómákon kívül nem feltételezhetünk semmi egyebet ezekkel az algebrai struktúrákkal kapcsolatban. Még azt sem, hogy egyáltalán számokról van-e szó. Az alábbi – sokak számára jól ismert – összefüggések tehát csak és kizárólag a gyűrűaxiómák logikai következményei.
Az alábbi egyszerű tétel a nullelem és az egységelem egymáshoz való viszonyáról szól.
A 14.1. szakaszban azt vizsgáltuk, hogy vajon a természetes számok halmazán érvényesek-e a "szokásos" egyenletrendezési szabályok. Ennek kapcsán merült fel az a kérdés, hogy vajon egy egyenlet mindkét oldalát el lehet-e "osztani" egy adott nem nulla természetes számmal annak ellenére, hogy az "osztás", mint művelet nem értelmezhető ezen a számhalmazon. Ezt a 14.2. Lemma tette lehetővé számunkra.
Most általános gyűrűkre is megvizsgáljuk ezt a kérdést. Az nyilvánvaló, hogy egy tetszőleges gyűrűn értelmezett egyenlet mindkét oldalából "ki lehet vonni" ugyanazt az elemet. A gyűrűkben ugyanis korlátlanul elvégezhető a "kivonás", amennyiben azt az ellentettel való összeadásként definiáljuk, hasonlóan ahhoz, ahogyan az egész számok közötti kivonást értelmeztük a 14.11. Definícióban. Az "osztás" azonban csak testekben értelmezhető korlátlanul, általános gyűrűkben nem. Ennek ellenére vannak olyan gyűrűk, amelyek nem testek ugyan, ám a természetes számokhoz hasonlóan egy rajtuk értelmezett egyenlet mindkét oldalát "egyszerűsíteni" lehet ugyanazzal a nem elemmel. Ezeknek a gyűrűknek speciális nevük van.
Ez a definíció elsőre furcsának tűnhet. Az általános iskolából ugyanis megszokhattuk, hogy egy szorzat csak úgy lehet , ha legalább az egyik tényezője . Gyűrűk esetén – mint hamarosan látni fogjuk – ez általánosságban nem igaz. Ezért mindig körültekintően kell eljárnunk, amikor egyenleteket oldunk meg valamilyen gyűrűben. A nullosztómentes gyűrűkben azonban az alábbi tétel alapján nyugodtan alkalmazhatjuk a szokásos egyenletrendezési szabályokat.
A 14.12. Definícióban megismerkedtünk a kommutatív, valamint az egységelemes gyűrűkkel, amelyek a szorzásra vonatkozóan biztosítanak egy-egy újabb "jó" tulajdonságot a gyűrűnek. Nevezetesen: a kommutativitást és az egységelem létezését. Az imént bizonyított 15.4. Tételben megmutattuk, hogy a nullosztómentesség teljesülése esetén pedig érvényben maradnak a "szokásos" egyenletrendezési szabályok. Speciális nevük van olyan gyűrűknek, amelyekben mindhárom előnyös tulajdonság egyszerre teljesül.
A 15.1. ábrán az eddig megismert absztrakt algebrai struktúrák különböző típusainak egymáshoz való viszonyai láthatóak.
Egy integritástartományban tehát minden "ugyanúgy működik", ahogy az általános iskolában megszokhattuk, leszámítva persze a szorzás invertálhatóságát, amit csak a testek "tudnak". A most megismert fogalom az egész számok szokásos műveletekkel alkotott algebrai struktúrájának közvetlen általánosítása, mint ahogyan azt az alábbi tétel is kimondja.
Az egyenletekkel kapcsolatos játékszabályokat tehát az általános gyűrűk szintjén tisztáztuk. Most nézzük meg, hogy mi a helyzet az egyenlőtlenségek esetén ugyanezen az absztrakciós szinten.
15.2Relációk és műveletek kapcsolata gyűrűkben
A 12.6. szakaszban tisztáztuk az úgynevezett rendezési relációk és a rendezett halmazok fogalmát. Ezeknek a fogalmaknak a segítségével absztrakt szinten tudunk beszélni "kisebb-nagyobb"-jellegű viszonyokról tetszőleges halmaz elemei között. Most ezt a kérdéskört szeretnénk kiterjeszteni általános gyűrűkre – és természetesen speciálisan az egész számok gyűrűjére – is. Azt javaslom az Olvasónak, hogy a folytatás előtt ismételje át a 12.6. szakaszban ismertetett fogalmakat.
A 12.14. Definíció alapján tehát rendezett halmaz alatt egy olyan, kétváltozós relációval ellátott halmazt értünk, amelynek elemei között e reláció segítségével valamilyen sorrend állítható fel. Mivel egy gyűrű is tulajdonképpen egy halmaz, így ez a fogalom nyilván ezekre is értelmezhető. Csakhogy a gyűrűk rendelkeznek két művelettel is. Ezért az ő esetükben egy rendezési relációtól azt is elvárjuk, hogy bizonyos értelemben "jól viselkedjenek" ezekkel a műveletekkel.
Hogy ez alatt pontosan mit értünk, azt egy példán keresztül világítjuk meg. Vizsgáljuk meg például, hogy a természetes számok halmazán értelmezett a 12.15. Definíció szerinti rendezési reláció milyen kapcsolatban van az összeadás és a szorzás műveletével. Erről szól az alábbi tétel.
Egy ehhez hasonló tulajdonság általánosságban is hasznos lehet egy műveletekkel ellátott algebrai struktúra alaphalmazán értelmezett reláció esetén. Erről szól az alábbi definíció.
Ezzel a szóhasználattal élve tehát a 15.7. Tétel úgy is megfogalmazható, hogy a természetes számok rendezési relációja kompatibilis az összeadás és a szorzás műveletével.
Most nézzük, mit tudunk elmondani egy gyűrű alaphalmazán értelmezett rendezési reláció és a gyűrű két műveletének viszonyáról. Kérdés, hogy egyáltalán létezhet-e olyan részbenrendezés, amely a gyűrű mindkét műveletével kompatibilis? Ennek megválaszolásához az alábbi segédtételre lesz szükségünk.
Ez alapján úgy néz ki, hogy nem mindegy, hogy egy egyenlőtlenség mindkét oldalát egy adott elemmel, vagy annak ellentettjével szorozzuk-e meg, hiszen mindkét esetben megfordul a rendezés iránya a másikhoz képest. Ezt a sajnálatos tényt fogalmazza meg az alábbi tétel.
Hogy ez miért sajnálatos?
Azért, mert ez azt jelenti, hogy egy gyűrűben egy rendezési reláció egyszerre nem lehet kompatibilis mindkét művelettel – legalábbis semmilyen gyakorlatilag hasznos esetben. Most megmutatjuk, miért.
Tekintsünk továbbra is egy tetszőleges kommutatív gyűrűt. Jelölje a rendezési relációnkat továbbra is a szimbólum, és tegyük fel, hogy teljesül valamilyen és elemekre. Ha mármost kompatibilis lenne mindkét művelettel, akkor ez egyrészt a szorzással való kompatibilitás miatt azt jelentené, hogy tetszőleges esetén mindkét alábbi egyenlőtlenség teljesülne:
Másrészt az összeadással való kompatibilitás miatt a 15.9. Lemma továbbra is igaz lenne, ezért annak 2. állítása miatt az egyenlőtlenségből következne az egyenlőtlenség, tehát végsősoron ezt kapnánk:
Mivel azonban a reláció egy rendezési reláció, ezért a 12.14. Definíció miatt antiszimmetrikus. Ez viszont a 12.11. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy a fenti két egyenlőtlenség csak abban az esetben teljesülhet egyszerre, ha .
Összefoglalva tehát azt kapnánk, hogy tetszőleges , és elemekre teljesülése esetén is teljesülne. Ez például egy nullosztómentes gyűrűben a 15.4. Tétel miatt azt jelentené, hogy , amennyiben . Így nem lenne túl sok értelme rendezésről beszélni.
Kénytelenek leszünk tehát a mindkét művelettel való kompatibilitásnál némileg megengedőbbek lenni az olyan rendezési relációkkal szemben, amelyekre azt szeretnénk mondani, hogy bizonyos értelemben "jól viselkednek" egy gyűrűn.
15.3Gyűrűk rendezési axiómái
A 15.2. szakasz tanulságai alapján most a 14.12. Definícióban szereplő gyűrűaxiómák után megfogalmazunk két újabb axiómát. Ezeket rendezési axiómáknak fogjuk nevezni, amiket majd egy gyűrűn értelmezett rendezési relációnak kell teljesítenie ahhoz, hogy őt "jól viselkedőnek" tekintsük.
Az már fix, hogy az első rendezési axióma az összeadással való kompatibilitás lesz. A szorzásra sajnos a 15.10. Tétel miatt ilyet nem tudunk előírni. Eszerint ugyanis ha a elemekkel való szorzásra követeljük meg azt, hogy a rendezés iránya megmaradjon, akkor a elemekkel való szorzás rendezésfordító lesz. Ha viszont a elemekkel való szorzásra szeretnénk megtartani a rendezés irányát, akkor viszont a esetekben lesz rendezésfordító a szorzás. Választanunk kell tehát, hogy melyiket tekintsük axiómának e kettő közül.
Alapvetően ugye az a célunk, hogy a természetes számok rendezését kiterjesszük az egész számok gyűrűjére. Márpedig ebben a gyűrűben épp a pozitív egész számok és a felelnek meg a természetes számoknak. Célszerű tehát, ha az ezzel analóg esetekben követelnénk meg a rendezés tartását az általános gyűrűk rendezési axiómáinak rögzítésekor is. Mivel nem akarunk kizárólag a kommutatív gyűrűkre szorítkozni, ezért mindkét irányú szorzásra elő kell írnunk ezt a feltételt. Így tehát a rendezési axiómákat a következőképpen célszerű megadni.
Az egész számok gyűrűjét a 13.11. Definíció alapján három részre osztottuk: megkülönböztettünk negatív és pozitív egész számokat, valamint a nulla egész számot, amelyet nem tekintettünk sem pozitívnak, sem pedig negatívnak. Habár ezeket a fogalmakat bármiféle rendezési relációtól függetlenül vezettük be a 13.5. szakaszban, ám hamarosan látni fogjuk, hogy szoros összefüggésben van a most következő fogalmakkal.
Vegyünk példaképp egy elemű gyűrűt, és rajzoljuk fel az alaphalmazát a benne található elemekkel. Középen a nullelem, körülötte pedig a többi elem helyezkedjen el. Ezen kívül minden elem és az ő ellentettje legyen egymással szemben. Ez az elrendezés látható a 15.2. ábrán.
Tegyük fel, hogy létezik ezen a gyűrűn három olyan rendezési reláció is, amelyek teljesítik a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. A 15.3. ábrán egy példa látható arra, hogy az ezekhez tartozó , és pozitivitástartományok, valamint a , és negativitástartományok hogyan helyezkedhetnek el a gyűrű alaphalmazán belül.
Megjegyzendő, hogy létezhet olyan elem a gyűrűben akár a nullelemen kívül is, amely se nem pozitív, se nem negatív egy adott részbenrendezésre nézve. Ne felejtsük el ugyanis, hogy a részbenrendezés 12.14. Definíciója nem követeli meg a trichotómiát, vagyis azt, hogy bármely két elem összehasonlítható legyen.
A példaként felhozott szituációkban például az elem és a nem összehasonlítható a és a pozitivitástartományokhoz tartozó rendezési relációk szerint. A "nem összehasonlítható" itt azt jelenti, hogy közöttük egyik irányban sem teljesül a reláció. Ezzel szemben egy teljes rendezés megköveteli a trichotómiát. Következésképp egy teljes rendezés esetén bármely elem és a nullelem között legalább az egyik irányban teljesülni fog a reláció.
Tegyük most fel, hogy a példaként felhozott gyűrűn létezik két olyan rendezési reláció is, amelyek szintén teljesítik a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat, de ezen felül még teljes rendezések is. A 15.4. ábrán egy példa látható arra, hogy az ezekhez tartozó és pozitivitástartományok, valamint a és negativitástartományok hogyan helyezkedhetnek el a gyűrű alaphalmazán belül.
Az eddigiek alapján semmi nem zárja ki, hogy egy gyűrűn több olyan rendezés is létezzen, amelyek eleget tesznek a rendezési axiómáknak. Ha például és két ilyen, egymástól különböző rendezési reláció egy gyűrű alaphalmazán, akkor – mint azt a következő tételben látni fogjuk – a hozzájuk tartozó és a pozitivitástartományok is különbözni fognak. Következésképp mások lesznek a negatív és pozitív elemek a rendezésre nézve, mint a rendezésre nézve. Nézzük tehát az erről szóló tételt.
Látható tehát, hogy egy gyűrűben önmagában nincs értelme pozitív vagy negatív elemekről beszélni. Azt ugyanis, hogy mely elemek pozitívak és melyek negatívak, az adott rendezési reláció, illetve az előző tétel alapján az adott pozitivitástartomány határozza meg.
Jogos a kérdés, hogy akkor a 13.11. Definíció alapján mégis milyen jogon mondtuk azt bizonyos egész számokra, hogy pozitívak, másokra pedig azt, hogy negatívak anélkül, hogy megneveztünk volna egy konkrét rendezési relációt. Ezt a kérdést hamarosan megválaszoljuk, ehhez azonban szükségünk lesz két fontos tételre. Egyrészt szeretnénk egy könnyen ellenőrizhető kritériumot találni, amely alapján egy gyűrű alaphalmazának egy adott részhalmazáról eldönthetjük, hogy pozitivitástartománya-e egy rendezési relációnak vagy nem. Másrészt, miután ezt eldöntöttük egy részhalmazról, szeretnénk azt is könnyen eldönteni, hogy ez a rendezési reláció vajon egy teljes rendezés-e.
Az alábbi tétel az első kérdésre ad egy könnyen ellenőrizhető kritériumot nullosztómentes gyűrűk esetén.
Most tehát már van egy szükséges és elégséges feltételünk arra, hogy egy nullosztómentes gyűrű alaphalmazának bármilyen részhalmazáról eldöntsük, vajon ő egy rendezési reláció pozitivitástartománya-e vagy sem. Ráadásul a bizonyításból az is könnyen látszik, hogy igenlő válasz esetén hogyan kaphatjuk meg magát a keresett rendezési relációt – ami nem mellesleg a 15.13. Tétel miatt ugye egyértelmű.
A most következő tétel annak eldöntésére ad egy könnyen ellenőrizhető kritériumot, hogy ez a bizonyos rendezés vajon egy teljes rendezés-e vagy sem.
15.4Teljes rendezés az egész számok gyűrűjében
Ebben a szakaszban végre rátérhetünk arra a kérdésre, hogy a 13.11. Definícióban milyen jogon mondtuk azt bizonyos egész számokról, hogy pozitívak, másokról pedig, hogy negatív. Ez pofátlanságnak tűnik a 15.3. szakasz fényében, hiszen nem mondtuk meg, hogy melyik rendezési reláció szerint értjük őket pozitívnak illetve negatívnak. Most ezt a hiányosságunkat fogjuk pótolni.
Azt rögtön kijelenthetjük, hogy minket most csak a teljes rendezések érdekelnek. Szeretnénk ugyanis, ha bármely két egész számról eldönthető lenne, hogy melyik nagyobb a másiknál. Kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan teljes rendezés az egész számok gyűrűjében, amely teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat? A következő tétel nullosztómentes gyűrűkre fogalmaz meg egy számunkra fontos észrevételt ezzel kapcsolatban.
Most térjünk vissza az egész számok gyűrűjéhez. Mivel a 15.6. Tétel értelmében ő egy integritástartomány – azaz kommutatív és nullosztómentes, továbbá létezik egységelem –, így érvényes rá az imént bizonyított 15.16. Tétel. Azt ugyan még nem tudjuk, hogy létezik-e rajta akárcsak egyetlen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezés is. Ám ha létezik ilyen, akkor annak pozitivitástartománya biztosan tartalmazni fogja az összes nemnulla elem önmagával vett szorzatát, és az ilyen szorzatok összegeit is. Ha több ilyen teljes rendezés is létezik, akkor minden ezekhez tartozó pozitivitástartomány tartalmazni fogja ugyanezeket az elemeket.
Tegyük fel például, hogy a gyűrűn három teljes rendezés is létezik. A 15.5. ábrán az ehhez a három hipotetikus teljes rendezéshez tartozó , és pozitivitástartományok láthatók.
A 15.16. Tétel alapján tehát a három pozitivitástartomány -val jelölt közös része tartalmazza az összes nemnulla elem önmagával vett szorzatát, és az ilyen szorzatok összes lehetséges összegeit is. Kérdés, hogy vajon e pozitivitástartományok tartalmaznak-e a -beli elemeken kívül más elemeket is, vagy valójában az összes pozitivitástartomány egy és ugyanaz?
Úgy gondolom, a fentiek fényében már nem lesz meglepő az erre választ adó alábbi tétel.
Bizonyítás:
A 13.11. Definícióban az egész számok halmazát három részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok, valamint a nulla egész szám. A 13.10. Tétel alapján az is világos, hogy e három részhalmaz közül semelyik kettőnek nincs közös eleme. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban -vel, a negatív egész számok halmazát pedig -vel. A halmaz nem tartalmazza tehát a gyűrű nullelemét, azaz a nulla egész számot.
Továbbá az is igaz, hogy a 13.14. és a 14.5. Tétel miatt zárt a gyűrű összeadására és szorzására. Az ezekben a tételekben definiált beágyazófüggvény ugyanis a nemnulla természetes számokat pontosan a halmazba képzi, így ha nem lenne zárt az összeadásra és a szorzásra, akkor az e tételekben már bizonyított művelettartás nem teljesülhetne.
Mivel a 15.6. Tétel miatt a gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.14. Tétel alapján annyi már bizonyos, hogy a halmaz valóban egy részbenrendezés pozitivitástartománya.
Most azt fogjuk belátni, hogy ez a bizonyos rendezés valójában egy teljes rendezés. A 14.13. Tétel bizonyítása alapján a -ben lévő egész számok ellentettjei épp a -ben lévő egész számok. Így a 15.12. Definíció utáni megjegyzés miatt a -hez tartozó rendezés negativitástartománya épp a halmaz, aminek tehát nincs közös eleme -vel. Mivel a és a halmazok ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kívüli összes egész számot, így a 15.15. Tétel alapján a halmazhoz tartozó rendezés valójában egy teljes rendezés.
Már csak azt kell belátni, hogy ez az egyetlen olyan teljes rendezés, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Tegyük fel ezért indirekt, hogy egy másik ilyen teljes rendezés is létezik az egész számok gyűrűjén. Jelöljük az ehhez tartozó pozitivitástartományt -val, a negativitástartományt pedig -val. Mivel rendezésről van szó, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján a és a halmazoknak szintén nincs közös elemük. Továbbá – mivel ez a hipotetikus rendezés teljes – ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kivüli összes egész számot.
Az indirekt feltevésünk a 15.13. Tétel alapján azt jelenti, hogy a és pozitivitástartományok különbözőek. Nézzük meg, hogy ez vajon tényleg lehetséges-e? Vegyük észre, hogy a 15.16. Tétel alapján mindazon egész számok, amelyek felírhatók egy akármilyen egész szám önmagával vett szorzataként, vagy ilyen szorzatok akárhánytagú összegeként, benne vannak mind a , mind pedig a halmazban. Ez viszont igaz minden -beli egész számra. Az első néhány példa alapján az Olvasó is könnyen megértheti, miért:
Az tehát már bizonyos, hogy része -nak. Ebből viszont következik, hogy is része -nak. Hiszen ha egy tetszőleges nemnulla egész szám benne van -ben, akkor az ellentettje benne van -ben, mivel azonban része -nak, így ez az ellentett benne van -ban is. Ekkor viszont maga benne van -ban. Ez a szituáció látható a 15.6. ábrán.
Az indirekt feltételezésünk ugye az volt, hogy a és a halmazok különböznek, azaz létezik olyan nemnulla egész szám, amely benne van -ban, de nincs benne -ben. Egyrészt, mivel -nak és -nak nincs közös eleme, ezért ha benne van -ban, akkor nincs benne -ban.
Másrészt, mivel és ketten együtt tartalmazzák az összes nemnulla egész számot, ezért ha nincs benne -ben, akkor benne van -ben. Mivel azonban része -nak, ezért ebből az következik, hogy benne van -ban is.
Az indirekt feltételezésünkből tehát az következne, hogy létezik olyan egész szám, amely benne is van -ban, és nincs is benne. Ez teljes képtelenség, lehetetlen, hogy és különböznek, azaz valójában megegyeznek. Ekkor viszont a 15.13. Tétel miatt a hozzájuk tartozó teljes rendezések is megegyeznek. Az egész számok gyűrűjén tehát valóban csak egyféleképpen lehet teljes rendezést definiálni.
Most tehát már tudjuk, hogy az egész számok gyűrűjében pontosan egy olyan teljes rendezés létezik, amely teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Ráadásul ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp azokat az egész számokat tartalmazza, amelyeket a 13.11. Definícióban pozitívnak neveztünk. Jogos volt tehát az elnevezés annak ellenére, hogy akkor nem definiáltuk magát a rendezést, amely alapján ezt értettük.
Ezen a ponton fontos megjegyezni, hogy ez az egyértelműség az egész számok gyűrűjében pusztán egy szerencsés egybeesés eredménye. Léteznek például olyan gyűrűk is, amelyekben egyáltalán nem létezik a rendezési axiómákat is kielégítő teljes rendezés. Léteznek továbbá olyanok is, amelyekben végtelen sok ilyen teljes rendezés definiálható.
Most azonban maradjunk továbbra is a gyűrűben. Nincs más hátra, mint megadni ezt az egyetlen teljes rendezést ezen a gyűrűn, amelyet a szimbólummal fogunk jelölni.
Ezek után már egyszerűen adódik, hogy a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer által definiált – korábban természetes számoknak nevezett és -gyel jelölt – halmaz 13.5. szakaszban tárgyalt beágyazása az egész számok gyűrűjébe az összeadáson és a szorzáson kívül tartja a 12.15. Definíció szerinti rendezést is. Az alábbi tétel épp azt fogalmazza meg, ennek a rendezésnek a megfelelője a halmazon épp az imént definiált rendezés lesz.
Ebben a fejezetben tehát definiáltuk a "kisebb-nagyobb" fogalmát az egész számok gyűrűjében is. Ezután megmutattuk, hogy az valóban annak a természetes számok körében értelmezett hasonló relációnak a kiterjesztése, amelyet a 12.7. szakaszban definiáltunk. Megvizsgáltuk ezt a kérdéskört egy magasabb absztrakciós szinten általános gyűrűkre is. E vizsgálódásaink során sikerült megmutatni, hogy e reláció kiterjesztésének ez az egyetlen módja. Feltéve persze, ha bizonyos, az általános iskolából is jól ismert számolási szabályokat az egész számok halmazán is érvényben szeretnénk tartani.
A továbbiakban ennek a relációnak a felhasználásával meg fogunk ismerkedni az úgynevezett oszthatóság és a maradékos osztás fogalmával. Ezek végre elvezetnek majd minket a prímszámokkal kapcsolatos összefüggésekhez. Ezeket a kérdéseket továbbra is az általános gyűrűk szintjén fogjuk vizsgálni, már amennyire lehetséges. Ezáltal ugyanis átfogóbb képet kaphatunk a modern kriptográfiai eljárások mögött meghúzódó számelméleti gondolatokról.