Fölérendelt lap:15.18. TételAz egész számok rendezése

Bizonyítás

A 15.17. Tétel szerint létezik pontosan egy olyan teljes rendezés a $\Z$ halmazon, amely teljesíti a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómákat, és ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp a 13.11. Definíció szerinti pozitív egész számok. Jelöljük ezt a pozitivitástartományt $P$ -vel.

A 15.13. Tétel alapján $P$ egyértelműen meghatározza a hozzá tartozó rendezést. A 15.14. Tétel bizonyításából már tudjuk, hogy $P$ -ből hogyan kaphatjuk meg a kérdéses rendezést: eszerint $a\leq b$ -t úgy kell definiálnunk, hogy akkor és csak akkor teljesüljön, ha a $b+(-a)$ összeg benne van $P$ -ben, azaz pozitív, vagy pedig $0$ . Jelöljük ezt az összeget most $k$ -val, azaz:

b+(-a)=k

Itt tehát $k$ nemnegatív. Az egyenlet mindkét oldalához $a$ -t adva valóban épp a tételben szereplő $\leq$ relációt kapjuk:

b=k+a

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre