Bizonyítás
A 15.17. Tétel szerint létezik pontosan egy olyan teljes rendezés a \Z halmazon, amely teljesíti a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómákat, és ennek a teljes rendezésnek a pozitivitástartománya épp a 13.11. Definíció szerinti pozitív egész számok. Jelöljük ezt a pozitivitástartományt P-vel.
A 15.13. Tétel alapján P egyértelműen meghatározza a hozzá tartozó rendezést. A 15.14. Tétel bizonyításából már tudjuk, hogy P-ből hogyan kaphatjuk meg a kérdéses rendezést: eszerint a\leq b-t úgy kell definiálnunk, hogy akkor és csak akkor teljesüljön, ha a b+(-a) összeg benne van P-ben, azaz pozitív, vagy pedig 0. Jelöljük ezt az összeget most k-val, azaz:
Itt tehát k nemnegatív. Az egyenlet mindkét oldalához a-t adva valóban épp a tételben szereplő \leq relációt kapjuk:
∎