Rendezések és pozitivitástartományok kapcsolata

Tegyük fel, hogy $(R,+,\cdot )$ egy részbenrendezhető gyűrű, valamint legyen $\leq$ és $\lesssim$ két tetszőleges részbenrendezési reláció, amelyek kielégítik a 15.11. Definícióban megfogalmazott rendezési axiómákat.

Amennyiben tetszőleges $a$ és $b$ elemek esetén $a\leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a\lesssim b$ is teljesül, úgy a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik – azaz $P_{\leq}=P_{\lesssim}$.

Megfordítva: amennyiben a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik – azaz $P_{\leq}=P_{\lesssim}$ –, úgy tetszőleges $a$ és $b$ elemek esetén $a\leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a\lesssim b$ is teljesül.

♣

• ↓Alárendelt lap:Bizonyítás
• ↓Alárendelt lap:Megjegyzés