Bizonyítás

Ha tetszőleges $a$ és $b$ elemekre $a\leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a\lesssim b$ is, akkor ez nyilván igaz lesz az $a=0$ speciális esetre is. Azaz ebben a speciális esetben igaz lesz, hogy tetszőleges $b$ elemre pontosan akkor teljesül a $0\leq b$ reláció, amikor a $0\lesssim b$ reláció is. Ez viszont azt jelenti, hogy tetszőleges elem pontosan akkor van benne a $\leq$ rendezés pozitivitástartományában, amikor a $\lesssim$ reláció pozitivitástartományában is benne van. A két pozitivitástartománynak tehát pontosan ugyanazok az elemeik, ami épp azt jelenti, hogy megegyeznek.

Megfordítva: az, hogy a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik, úgy is megfogalmazható, hogy bármely elem pontosan akkor van benne a $P_{\leq}$ halmazban, ha benne van a $P_{\lesssim}$ halmazban is. Ez nyilván igaz lesz minden olyan elemre is, amelyet két tetszőleges $a$ és $b$ elemből képzünk a $b+(-a)$ képlettel. Kivéve persze az $a=b$ esetet, amikoris $b+(-a)=0$, amely a 15.12. Definíció alapján nincs benne egyik pozitivitástartományban sem. Ám ekkor a reflexivitás miatt amúgyis mindkét reláció teljesül, ezért ettől az esettől a továbbiakban eltekinthetünk. Így tehát pontosan akkor fog teljesülni a $0\leq b+(-a)$ reláció, amikor teljesül a $0\lesssim b+(-a)$ reláció is. Mivel mindkét reláció teljesíti a rendezési axiómákat, ezért mindkettő kompatibilis az összeadás művelettel. Így e két egyenlőtlenség mindkét oldalához $a$-t adva megkapjuk a tétel állítását: $a\leq b$ pontosan akkor teljesül, amikor $a\lesssim b$ is, azaz a két reláció valójában – jelöléstől eltekintve – egy és ugyanaz.

∎