Bizonyítás

Ha tetszőleges a és b elemekre a\leq b pontosan akkor teljesül, amikor a\lesssim b is, akkor ez nyilván igaz lesz az a=0 speciális esetre is. Azaz ebben a speciális esetben igaz lesz, hogy tetszőleges b elemre pontosan akkor teljesül a 0\leq b reláció, amikor a 0\lesssim b reláció is. Ez viszont azt jelenti, hogy tetszőleges elem pontosan akkor van benne a \leq rendezés pozitivitástartományában, amikor a \lesssim reláció pozitivitástartományában is benne van. A két pozitivitástartománynak tehát pontosan ugyanazok az elemeik, ami épp azt jelenti, hogy megegyeznek.

Megfordítva: az, hogy a két rendezés pozitivitástartománya megegyezik, úgy is megfogalmazható, hogy bármely elem pontosan akkor van benne a P_{\leq} halmazban, ha benne van a P_{\lesssim} halmazban is. Ez nyilván igaz lesz minden olyan elemre is, amelyet két tetszőleges a és b elemből képzünk a b+(-a) képlettel. Kivéve persze az a=b esetet, amikoris b+(-a)=0, amely a 15.12. Definíció alapján nincs benne egyik pozitivitástartományban sem. Ám ekkor a reflexivitás miatt amúgyis mindkét reláció teljesül, ezért ettől az esettől a továbbiakban eltekinthetünk. Így tehát pontosan akkor fog teljesülni a 0\leq b+(-a) reláció, amikor teljesül a 0\lesssim b+(-a) reláció is. Mivel mindkét reláció teljesíti a rendezési axiómákat, ezért mindkettő kompatibilis az összeadás művelettel. Így e két egyenlőtlenség mindkét oldalához a-t adva megkapjuk a tétel állítását: a\leq b pontosan akkor teljesül, amikor a\lesssim b is, azaz a két reláció valójában – jelöléstől eltekintve – egy és ugyanaz.

∎