Rendezett gyűrűk

Legyen $(R,+,\cdot )$ egy tetszőleges gyűrű, valamint a gyűrű $R$ alaphalmazán legyen értelmezve egy részbenrendezési reláció, amelyet jelöljünk most a $\leq$ szimbólummal. Tegyük fel továbbá, hogy tetszőleges $a$, $b$ és $c$ elemek esetén teljesülnek az alábbi követelmények, amelyeket rendezési axiómáknak nevezünk:

Ekkor azt mondjuk, hogy $(R,+,\cdot )$ egy részbenrendezett gyűrű a $\leq$ relációra nézve. Amennyiben a $\leq$ reláció egy teljes rendezés – azaz bármely két elem "összehasonlítható" egymással –, akkor azt mondjuk, hogy $(R,+,\cdot )$ egy teljesen rendezett (vagy egyszerűen csak rendezett) gyűrű a $\leq$ relációra nézve.

Egy $(R,+,\cdot )$ gyűrűre akkor mondjuk, hogy részbenrendezhető, ha létezik olyan részbenrendezési reláció a gyűrű $R$ alaphalmazán, amely teljesíti a fenti két axiómát. Az $(R,+,\cdot )$ gyűrűre akkor mondjuk, hogy teljesen rendezhető (vagy egyszerűen csak rendezhető), ha létezik a fenti axiómákat kielégítő teljes rendezés az $R$ alaphalmazon.

♣