Rendezett gyűrűk

Legyen (R,+,\cdot ) egy tetszőleges gyűrű, valamint a gyűrű R alaphalmazán legyen értelmezve egy részbenrendezési reláció, amelyet jelöljünk most a \leq szimbólummal. Tegyük fel továbbá, hogy tetszőleges a, b és c elemek esetén teljesülnek az alábbi követelmények, amelyeket rendezési axiómáknak nevezünk:

Ekkor azt mondjuk, hogy (R,+,\cdot ) egy részbenrendezett gyűrű a \leq relációra nézve. Amennyiben a \leq reláció egy teljes rendezés – azaz bármely két elem "összehasonlítható" egymással –, akkor azt mondjuk, hogy (R,+,\cdot ) egy teljesen rendezett (vagy egyszerűen csak rendezett) gyűrű a \leq relációra nézve.

Egy (R,+,\cdot ) gyűrűre akkor mondjuk, hogy részbenrendezhető, ha létezik olyan részbenrendezési reláció a gyűrű R alaphalmazán, amely teljesíti a fenti két axiómát. Az (R,+,\cdot ) gyűrűre akkor mondjuk, hogy teljesen rendezhető (vagy egyszerűen csak rendezhető), ha létezik a fenti axiómákat kielégítő teljes rendezés az R alaphalmazon.

♣