15.18. Tétel
Az egész számok rendezése
Definiáljunk egy \leq szimbólummal jelölt relációt az egész számok \Z halmazán a következőképpen:
Amennyiben tetszőleges a és b egész számokhoz létezik olyan k természetes szám – vagy más szavakkal nemnegatív egész szám –, amelyre teljesül, hogy a+k=b, akkor azt mondjuk, hogy a\leq b. Kiolvasva: "a legfeljebb b" vagy "b legalább a". A \leq relációt az egész számok rendezésének nevezzük.
Ha ezen kívül k\neq 0 is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a\lt b. Kiolvasva: "a kisebb, mint b" vagy "b nagyobb, mint a".
Fordított irányú relációk esetén értelemszerűen használhatjuk a \geq vagy a \gt szimbólumokat is.
Állítás: Az így definiált \leq reláció egy – és a 15.17. Tétel alapján az egyetlen – olyan teljes rendezés a \Z halmazon, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat.
♣