Megjegyzés

Egyszerűen adódik, hogy az a<b reláció fenti definíciója ekvivalens azzal, hogy a\leq b és a\neq b egyszerre teljesül. Ha ugyanis a<b, akkor a definíció értelmében létezik olyan k nemnegatív egész szám, amely esetén a+k=b és k\neq 0. Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére a=b, azaz valójában:

Ám ekkor az egyenlet mindkét oldalához a ellentettjét hozzáadva a 2. és a 3. gyűrűaxióma miatt k=0 adódik, ami ellentmondás.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a\leq b és a\neq b. Az a\leq b a definíció értelmében azt jelenti, hogy létezik olyan k nemnegatív egész szám, amely esetén a+k=b. Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére k=0, azaz valójában:

Ám ekkor a 2. gyűrűaxióma miatt a=b adódik, ami ellentmondás.