Megjegyzés

Egyszerűen adódik, hogy az $a<b$ reláció fenti definíciója ekvivalens azzal, hogy $a\leq b$ és $a\neq b$ egyszerre teljesül. Ha ugyanis $a<b$, akkor a definíció értelmében létezik olyan $k$ nemnegatív egész szám, amely esetén $a+k=b$ és $k\neq 0$. Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére $a=b$, azaz valójában:

Ám ekkor az egyenlet mindkét oldalához $a$ ellentettjét hozzáadva a 2. és a 3. gyűrűaxióma miatt $k=0$ adódik, ami ellentmondás.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy $a\leq b$ és $a\neq b$. Az $a\leq b$ a definíció értelmében azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ nemnegatív egész szám, amely esetén $a+k=b$. Tegyük fel indirekt, hogy ennek ellenére $k=0$, azaz valójában:

Ám ekkor a 2. gyűrűaxióma miatt $a=b$ adódik, ami ellentmondás.