Bizonyítás
Mivel ez egy "akkor és csak akkor"-típusú állítás, ezért mindkét irányban bizonyítani kell az implikációt.
Nézzük először a könnyebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha a P részhalmaz egy valamilyen, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is kielégítő \leq részbenrendezés pozitivitástartománya, akkor P zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a nullelemet.
Ez utóbbi nyilván igaz, hiszen P egy részbenrendezés pozitivitástartománya, amely a 15.12. Definíció alapján nem tartalmazza a nullelemet, így elegendő csak az összeadásra és szorzásra való zártságot igazolni.
Vegyünk két tetszőleges P-beli elemet, és jelöljük őket a-val és b-vel. Az, hogy ők P-ben vannak, a 15.12. Definíció miatt ezt jelenti:
Az 1. rendezési axióma miatt a 0\leq a egyenlőtlenség mindkét oldalához b-t adva az egyenlőtlenség továbbra is érvényes, azaz b\leq a+b. De mivel részbenrendezésről van szó, és 0\leq b ugye teljesül, ezért a tranzitivitás miatt
is teljesül.
Igaz ugyanakkor az is, hogy a+b \neq 0, hiszen máskülönben a=-b lenne a helyzet, azaz a pozitivitástartomány 15.12. Definíciója utáni megjegyzés alapján egyiküknek a -P negativitástartományban kéne lennie. Ez ugye ellentmondana annak, hogy mindkettő P-ben van, így valóban a+b is benne van P-ben, azaz P valóban zárt az összeadásra.
Most nézzük, mi a helyzet az ab és a ba szorzatokkal? A 2. rendezési axióma miatt a 0\leq a egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk a b elemmel jobbról is és balról is, a reláció iránya 0\leq b miatt nem fog változni:
Mindkét egyenlőtlenség baloldala a 15.1. Tétel 1. pontja alapján 0-val egyenlő, ezért:
Tekintve, hogy a tétel szövege alapján nullosztómentes gyűrűről van szó, ezért e két szorzat közül a 15.3. Definíció utáni megjegyzés miatt egyik sem 0, és így mindkettő szintén benne van P-ben, azaz P valóban zárt a szorzásra is.
Most nézzük a nehezebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha egy valamilyen P részhalmaz zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a gyűrű nullelemét, akkor tudunk konstruálni egy olyan részbenrendezést a gyűrűn, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat, és amelynek épp P a pozitivitástartománya.
Definiáljunk hát egy \lesssim szimbólummal jelölt relációt a gyűrű alaphalmazán a következőképpen: a \lesssim b akkor és csak akkor, ha a=b vagy pedig a b+(-a) elem benne van a P halmazban.
A feladatunk tehát megmutatni, hogy a P-re vonatkozó feltételek teljesülése esetén \lesssim valóban egy részbenrendezés (azaz reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus), és ezen felül még a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is teljesíti.
A reflexivitás azonnal látszik, hiszen a \lesssim reláció a definíciónk szerint automatikusan teljesül, ha a=b, így nyilván minden a esetén a\lesssim a. A \lesssim relációval szemben támasztott további követelmények teljesülését egyenként igazoljuk.
Tranzitivitás
Tegyük fel, hogy valamilyen a, b és c elemekre teljesülnek az a\lesssim b és a b\lesssim c relációk. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor az a\lesssim c reláció is teljesül. Feltehetjük, hogy ez a három elem páronként különbözik, máskülönben bármelyik kettő egyezése esetén nyilvánvalóan fennáll a\lesssim c. Ha viszont páronként különböznek, akkor a\lesssim b és b\lesssim c épp azt jelenti, hogy a b+(-a) és a c+(-b) elemek benne vannak a P halmazban. Mivel azonban P zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a (b+(-a))+(c+(-b)) elem is benne van a P halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés c+(-a)-val egyenlő, amely épp azt jelenti, hogy a\lesssim c. A \lesssim reláció tehát valóban tranzitív.
Antiszimmetria
Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül az antiszimmetria, azaz léteznek olyan galád a és b elemek, amelyekre a\lesssim b és b\lesssim a is teljesül, ugyanakkor a\neq b. Ebben az esetben a\lesssim b és b\lesssim a épp azt jelenti, hogy a b+(-a) és az a+(-b) elemek benne vannak a P halmazban. Mivel azonban P zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a (b+(-a))+(a+(-b)) elem is benne van a P halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés épp a gyűrű nullelemével egyenlő, ami ellentmond annak, hogy P nem tartalmazza a nullelemet. A \lesssim reláció tehát mégiscsak antiszimmetrikus kell legyen.
Az 1. rendezési axióma
Tegyük fel, hogy valamilyen a és b elemekre fennáll az a\lesssim b reláció, és legyen c egy tetszőleges elem. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennáll az a+c\lesssim b+c reláció is. Feltehetjük, hogy a\neq b, hiszen máskülönben
nyilván teljesülne a \lesssim reláció már bizonyított reflexivitása miatt.
Ha viszont a\neq b, akkor a\lesssim b épp azt jelenti, hogy b+(-a) benne van a P halmazban. Ehhez a kifejezéshez hozzáadva a c elemet és annak ellentettjét, a kifejezés eredménye a gyűrűaxiómák miatt nem változik:
Szintén a gyűrűaxiómák miatt ez a kifejezés átzárójelezhető és átsorrendezhető:
Vegyük azonban észre, hogy a jobboldali (-a)+(-c) tag a 15.1. Tétel 5. pontja miatt -(a+c)-vel egyenlő. Így tehát azt kapjuk, hogy az alábbi elem szintén benne van a P halmazban:
Ez viszont a \lesssim reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy a+c\lesssim b+c. Valóban teljesül tehát az 1. rendezési axióma.
A 2. rendezési axióma
Tegyük fel, hogy valamilyen a és b elemekre fennáll az a\lesssim b reláció, és legyen c egy tetszőleges elem, amelyre 0\lesssim c. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennállnak az ac\lesssim bc, valamint a ca\lesssim cb relációk is. Feltehetjük egyrészt, hogy c\neq 0, hiszen máskülönben
nyilván teljesülne a \lesssim reláció már bizonyított reflexivitása miatt.
Másrészt azt is feltehetjük, hogy a\neq b, hiszen máskülönben ugyanezen okok miatt
szintén nyilvánvalóan teljesül.
Ha viszont a\neq b és c\neq 0, akkor egyrészt a\lesssim b épp azt jelenti, hogy b+(-a) benne van a P halmazban, másrészt pedig 0\lesssim c épp azt jelenti, hogy c+(-0)=c szintén benne van a P halmazban. Mivel azonban P zárt a szorzásra, ezért a (b+(-a))c valamint a c(b+(-a)) szorzatok szintén benne vannak a P halmazban.
E két szorzat viszont a disztributivitási szabályok és a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így írható fel:
Az, hogy ezek a P halmazban vannak, a \lesssim reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy ac\lesssim bc és ca\lesssim cb. Valóban teljesül tehát a 2. rendezési axióma is.
∎