Fölérendelt lap:15.14. TételPozitivitástartomány szükséges és elégséges feltétele

Bizonyítás

Mivel ez egy "akkor és csak akkor"-típusú állítás, ezért mindkét irányban bizonyítani kell az implikációt.

Nézzük először a könnyebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha a $P$ részhalmaz egy valamilyen, a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is kielégítő $\leq$ részbenrendezés pozitivitástartománya, akkor $P$ zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a nullelemet.

Ez utóbbi nyilván igaz, hiszen $P$ egy részbenrendezés pozitivitástartománya, amely a 15.12. Definíció alapján nem tartalmazza a nullelemet, így elegendő csak az összeadásra és szorzásra való zártságot igazolni.

Vegyünk két tetszőleges $P$ -beli elemet, és jelöljük őket $a$ -val és $b$ -vel. Az, hogy ők $P$ -ben vannak, a 15.12. Definíció miatt ezt jelenti:

\begin{aligned} a&\neq 0 \\ b&\neq 0 \\ 0&\leq a \\ 0&\leq b \end{aligned}

Az 1. rendezési axióma miatt a $0\leq a$ egyenlőtlenség mindkét oldalához $b$ -t adva az egyenlőtlenség továbbra is érvényes, azaz $b\leq a+b$ . De mivel részbenrendezésről van szó, és $0\leq b$ ugye teljesül, ezért a tranzitivitás miatt

0\leq a+b

is teljesül.

Igaz ugyanakkor az is, hogy $a+b \neq 0$ , hiszen máskülönben $a=-b$ lenne a helyzet, azaz a pozitivitástartomány 15.12. Definíciója utáni megjegyzés alapján egyiküknek a $-P$ negativitástartományban kéne lennie. Ez ugye ellentmondana annak, hogy mindkettő $P$ -ben van, így valóban $a+b$ is benne van $P$ -ben, azaz $P$ valóban zárt az összeadásra.

Most nézzük, mi a helyzet az $ab$ és a $ba$ szorzatokkal? A 2. rendezési axióma miatt a $0\leq a$ egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk a $b$ elemmel jobbról is és balról is, a reláció iránya $0\leq b$ miatt nem fog változni:

\begin{aligned} 0b&\leq ab \\ b0&\leq ba \end{aligned}

Mindkét egyenlőtlenség baloldala a 15.1. Tétel 1. pontja alapján $0$ -val egyenlő, ezért:

\begin{aligned} 0&\leq ab \\ 0&\leq ba \end{aligned}

Tekintve, hogy a tétel szövege alapján nullosztómentes gyűrűről van szó, ezért e két szorzat közül a 15.3. Definíció utáni megjegyzés miatt egyik sem $0$ , és így mindkettő szintén benne van $P$ -ben, azaz $P$ valóban zárt a szorzásra is.

Most nézzük a nehezebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha egy valamilyen $P$ részhalmaz zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a gyűrű nullelemét, akkor tudunk konstruálni egy olyan részbenrendezést a gyűrűn, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat, és amelynek épp $P$ a pozitivitástartománya.

Definiáljunk hát egy $\lesssim$ szimbólummal jelölt relációt a gyűrű alaphalmazán a következőképpen: $a \lesssim b$ akkor és csak akkor, ha $a=b$ vagy pedig a $b+(-a)$ elem benne van a $P$ halmazban.

A feladatunk tehát megmutatni, hogy a $P$ -re vonatkozó feltételek teljesülése esetén $\lesssim$ valóban egy részbenrendezés (azaz reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus), és ezen felül még a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is teljesíti.

A reflexivitás azonnal látszik, hiszen a $\lesssim$ reláció a definíciónk szerint automatikusan teljesül, ha $a=b$ , így nyilván minden $a$ esetén $a\lesssim a$ . A $\lesssim$ relációval szemben támasztott további követelmények teljesülését egyenként igazoljuk.

Tranzitivitás

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ , $b$ és $c$ elemekre teljesülnek az $a\lesssim b$ és a $b\lesssim c$ relációk. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor az $a\lesssim c$ reláció is teljesül. Feltehetjük, hogy ez a három elem páronként különbözik, máskülönben bármelyik kettő egyezése esetén nyilvánvalóan fennáll $a\lesssim c$ . Ha viszont páronként különböznek, akkor $a\lesssim b$ és $b\lesssim c$ épp azt jelenti, hogy a $b+(-a)$ és a $c+(-b)$ elemek benne vannak a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a $(b+(-a))+(c+(-b))$ elem is benne van a $P$ halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés $c+(-a)$ -val egyenlő, amely épp azt jelenti, hogy $a\lesssim c$ . A $\lesssim$ reláció tehát valóban tranzitív.

Antiszimmetria

Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül az antiszimmetria, azaz léteznek olyan galád $a$ és $b$ elemek, amelyekre $a\lesssim b$ és $b\lesssim a$ is teljesül, ugyanakkor $a\neq b$ . Ebben az esetben $a\lesssim b$ és $b\lesssim a$ épp azt jelenti, hogy a $b+(-a)$ és az $a+(-b)$ elemek benne vannak a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a $(b+(-a))+(a+(-b))$ elem is benne van a $P$ halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés épp a gyűrű nullelemével egyenlő, ami ellentmond annak, hogy $P$ nem tartalmazza a nullelemet. A $\lesssim$ reláció tehát mégiscsak antiszimmetrikus kell legyen.

Az 1. rendezési axióma

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ és $b$ elemekre fennáll az $a\lesssim b$ reláció, és legyen $c$ egy tetszőleges elem. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennáll az $a+c\lesssim b+c$ reláció is. Feltehetjük, hogy $a\neq b$ , hiszen máskülönben

a+c\lesssim \underbrace{a}_{=b}+c

nyilván teljesülne a $\lesssim$ reláció már bizonyított reflexivitása miatt.

Ha viszont $a\neq b$ , akkor $a\lesssim b$ épp azt jelenti, hogy $b+(-a)$ benne van a $P$ halmazban. Ehhez a kifejezéshez hozzáadva a $c$ elemet és annak ellentettjét, a kifejezés eredménye a gyűrűaxiómák miatt nem változik:

(b+(-a))+\underbrace{(c+(-c))}_{=0}

Szintén a gyűrűaxiómák miatt ez a kifejezés átzárójelezhető és átsorrendezhető:

(b+c)+((-a)+(-c))

Vegyük azonban észre, hogy a jobboldali $(-a)+(-c)$ tag a 15.1. Tétel 5. pontja miatt $-(a+c)$ -vel egyenlő. Így tehát azt kapjuk, hogy az alábbi elem szintén benne van a $P$ halmazban:

(b+c)+\underbrace{(-(a+c))}_{=(-a)+(-c)}

Ez viszont a $\lesssim$ reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy $a+c\lesssim b+c$ . Valóban teljesül tehát az 1. rendezési axióma.

A 2. rendezési axióma

Tegyük fel, hogy valamilyen $a$ és $b$ elemekre fennáll az $a\lesssim b$ reláció, és legyen $c$ egy tetszőleges elem, amelyre $0\lesssim c$ . Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennállnak az $ac\lesssim bc$ , valamint a $ca\lesssim cb$ relációk is. Feltehetjük egyrészt, hogy $c\neq 0$ , hiszen máskülönben

\underbrace{0}_{=a0=0a}\lesssim \underbrace{0}_{=b0=0b}

nyilván teljesülne a $\lesssim$ reláció már bizonyított reflexivitása miatt.

Másrészt azt is feltehetjük, hogy $a\neq b$ , hiszen máskülönben ugyanezen okok miatt

\begin{aligned} ac&\lesssim \underbrace{a}_{=b}c \\ ca&\lesssim c\underbrace{a}_{=b} \end{aligned}

szintén nyilvánvalóan teljesül.

Ha viszont $a\neq b$ és $c\neq 0$ , akkor egyrészt $a\lesssim b$ épp azt jelenti, hogy $b+(-a)$ benne van a $P$ halmazban, másrészt pedig $0\lesssim c$ épp azt jelenti, hogy $c+(-0)=c$ szintén benne van a $P$ halmazban. Mivel azonban $P$ zárt a szorzásra, ezért a $(b+(-a))c$ valamint a $c(b+(-a))$ szorzatok szintén benne vannak a $P$ halmazban.

E két szorzat viszont a disztributivitási szabályok és a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így írható fel:

\begin{aligned}(b+(-a))c &= bc+(-a)c = bc+(-(ac)) \\ c(b+(-a)) &= cb+c(-a) = cb + (-(ca)) \end{aligned}

Az, hogy ezek a $P$ halmazban vannak, a $\lesssim$ reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy $ac\lesssim bc$ és $ca\lesssim cb$ . Valóban teljesül tehát a 2. rendezési axióma is.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre