Megjegyzés

Természetesen kommutatív gyűrű esetén nincs értelme külön baloldali vagy jobboldali nullosztóról beszélni, hiszen ott minden jobboldali nullosztó egyben baloldali is, és fordítva.

Megjegyezzük továbbá, hogy a nullosztómentességet definiálhattuk volna úgy is, hogy egy $R$ gyűrű akkor nullosztómentes, ha nemnulla elemek szorzata nemnulla. A két definíció teljesen ekvivalens egymással.

Legyenek ugyanis $a\neq 0$ és $b\neq 0$ tetszőleges nemnulla elemek. Ha $ab=0$ lenne, akkor $a$ baloldali, $b$ pedig jobboldali nullosztó lenne, ami ellentmondás, ha feltételezzük, hogy $R$ nullosztómentes.

Visszafelé: Tegyük fel indirekt, hogy nemnulla elemek szorzata nemnulla, de ennek ellenére mégis létezik egy olyan $a\neq 0$ elem, ami baloldali nullosztó. Ez az eredeti definíció szerint azt jelenti, hogy létezik olyan $x\neq 0$ elem, hogy $ax=0$, ami ellentmond az indirekt feltevésünknek. Ha tehát nemnulla elemek szorzata nemnulla, akkor nem létezhet baloldali nullosztó. Ugyanilyen gondolatmenettel adódik, hogy jobboldali nullosztó sem létezhet.

♣