Megjegyzés

Természetesen kommutatív gyűrű esetén nincs értelme külön baloldali vagy jobboldali nullosztóról beszélni, hiszen ott minden jobboldali nullosztó egyben baloldali is, és fordítva.

Megjegyezzük továbbá, hogy a nullosztómentességet definiálhattuk volna úgy is, hogy egy R gyűrű akkor nullosztómentes, ha nemnulla elemek szorzata nemnulla. A két definíció teljesen ekvivalens egymással.

Legyenek ugyanis a\neq 0 és b\neq 0 tetszőleges nemnulla elemek. Ha ab=0 lenne, akkor a baloldali, b pedig jobboldali nullosztó lenne, ami ellentmondás, ha feltételezzük, hogy R nullosztómentes.

Visszafelé: Tegyük fel indirekt, hogy nemnulla elemek szorzata nemnulla, de ennek ellenére mégis létezik egy olyan a\neq 0 elem, ami baloldali nullosztó. Ez az eredeti definíció szerint azt jelenti, hogy létezik olyan x\neq 0 elem, hogy ax=0, ami ellentmond az indirekt feltevésünknek. Ha tehát nemnulla elemek szorzata nemnulla, akkor nem létezhet baloldali nullosztó. Ugyanilyen gondolatmenettel adódik, hogy jobboldali nullosztó sem létezhet.

♣