Bizonyítás

Mivel $0$ a gyűrű nulleleme, ezért a 2. gyűrűaxióma miatt $0+0=0$, és így a disztributivitási szabály miatt:

Mindkét oldalhoz hozzáadva $0a$ ellentettjét – amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

A baloldalon $-(-a)$ szerepel, amely nem más, mint $-a$ ellentettje. Ezért a 3. gyűrűaxióma miatt kettejük összege épp a nullelem kell legyen:

Mindkét oldalhoz hozzáadva $a$-t, és kihasználva, hogy az 1. gyűrűaxióma miatt az összeadás asszociatív, a következőt kapjuk:

A keletkező $0$-kat mindkét oldalról elhagyhatjuk a 2. gyűrűaxióma miatt, megkapva így a bizonyítandó azonosságot:

Az 1. állítás miatt $0=0b$, de mivel $0$ a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt $-a+a=0$, és így a disztributivitási szabály miatt:

Eszerint tehát $ab$-hez $(-a)b$-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért $(-a)b$ valójában $ab$ ellentettje. Ez viszont a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

Ez könnyen adódik az előző 3 állításból. Ugyanis az 1. állítás miatt $0=0(-b)$, de mivel $0$ a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt $-a+a=0$, és így a disztributivitási szabály miatt:

A 3. állítás miatt az egyenlet jobboldalán lévő második tag $-(ab)$-vel egyenlő, azaz:

Mivel $(-a)(-b)$-hez $-(ab)$-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért $(-a)(-b)$ valójában $-(ab)$ ellentettje. Ez viszont a a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így tehát:

Az egyenlet jobboldalát viszont a 2. állítás miatt átírhatjuk a következőképpen, megkapva a bizonyítandó azonosságot:

Ehhez azt kéne belátnunk, hogy az $(a+b)$ ellentettje – azaz a $-(a+b)$ elem – valóban megegyezik a $(-a)+(-b)$ elemmel. A 14.10. Tétel miatt az ellentettképzés egyértelmű, így ez pontosan akkor teljesülne, ha az alábbi igaz lenne:

Ez viszont igaz, hiszen az 1. gyűrűaxióma, valamint a 11.11. Következmény alapján ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető és átsorrendezhető, így felírható így is: