youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az állításokat egyenként fogjuk bizonyítani.

1. állítás: 0a=a0=0

Mivel 0 a gyűrű nulleleme, ezért a 2. gyűrűaxióma miatt 0+0=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0a = (\underbrace{0+0}_{=0})a = 0a+0a

Mindkét oldalhoz hozzáadva 0a ellentettjét – amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

0 = 0a

A másik, 0=a0 azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

2. állítás: -(-a)=a

A baloldalon -(-a) szerepel, amely nem más, mint -a ellentettje. Ezért a 3. gyűrűaxióma miatt kettejük összege épp a nullelem kell legyen:

-(-a)+(-a)=0

Mindkét oldalhoz hozzáadva a-t, és kihasználva, hogy az 1. gyűrűaxióma miatt az összeadás asszociatív, a következőt kapjuk:

-(-a)+\underbrace{0}_{=(-a)+a}=0+a

A keletkező 0-kat mindkét oldalról elhagyhatjuk a 2. gyűrűaxióma miatt, megkapva így a bizonyítandó azonosságot:

-(-a)=a
3. állítás: a(-b)=(-a)b=-(ab)

Az 1. állítás miatt 0=0b, de mivel 0 a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt -a+a=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0=0b=(\underbrace{-a+a}_{=0})b=(-a)b + ab

Eszerint tehát ab-hez (-a)b-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért (-a)b valójában ab ellentettje. Ez viszont a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így megkapjuk az egyik bizonyítandó azonosságot:

(-a)b = -(ab)

Az a(-b)=-(ab) azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

4. állítás: (-a)(-b)=ab

Ez könnyen adódik az előző 3 állításból. Ugyanis az 1. állítás miatt 0=0(-b), de mivel 0 a nullelem, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt -a+a=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0=0(-b)=(\underbrace{-a+a}_{=0})(-b)=(-a)(-b) + a(-b)

A 3. állítás miatt az egyenlet jobboldalán lévő második tag -(ab)-vel egyenlő, azaz:

0=(-a)(-b) + \underbrace{(-(ab))}_{=a(-b)}

Mivel (-a)(-b)-hez -(ab)-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért (-a)(-b) valójában -(ab) ellentettje. Ez viszont a a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így tehát:

(-a)(-b) = -(-(ab))

Az egyenlet jobboldalát viszont a 2. állítás miatt átírhatjuk a következőképpen, megkapva a bizonyítandó azonosságot:

(-a)(-b) = \overbrace{ab}^{=-(-(ab))}
5. állítás: -(a+b)=(-a)+(-b)

Ehhez azt kéne belátnunk, hogy az (a+b) ellentettje – azaz a -(a+b) elem – valóban megegyezik a (-a)+(-b) elemmel. A 14.10. Tétel miatt az ellentettképzés egyértelmű, így ez pontosan akkor teljesülne, ha az alábbi igaz lenne:

(a+b)+((-a)+(-b))=0

Ez viszont igaz, hiszen az 1. gyűrűaxióma, valamint a 11.11. Következmény alapján ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető és átsorrendezhető, így felírható így is:

\underbrace{(a+(-a))}_{=0}+\underbrace{(b+(-b))}_{=0}=0+0=0

Így tehát (a+b) ellentettje – azaz a -(a+b) elem – tényleg megegyezik a (-a)+(-b) elemmel.

∎