Bizonyítás
A 13.11. Definícióban az egész számok halmazát három részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok, valamint a nulla egész szám. A 13.10. Tétel alapján az is világos, hogy e három részhalmaz közül semelyik kettőnek nincs közös eleme. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban P-vel, a negatív egész számok halmazát pedig -P-vel. A P halmaz nem tartalmazza tehát a gyűrű nullelemét, azaz a nulla egész számot.
Továbbá az is igaz, hogy a 13.14. és a 14.5. Tétel miatt P zárt a (\Z ,+,\cdot ) gyűrű összeadására és szorzására. Az ezekben a tételekben definiált f beágyazófüggvény ugyanis a nemnulla természetes számokat pontosan a P halmazba képzi, így ha P nem lenne zárt az összeadásra és a szorzásra, akkor az e tételekben már bizonyított művelettartás nem teljesülhetne.
Mivel a 15.6. Tétel miatt a (\Z ,+,\cdot ) gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.14. Tétel alapján annyi már bizonyos, hogy a P halmaz valóban egy részbenrendezés pozitivitástartománya.
Most azt fogjuk belátni, hogy ez a bizonyos rendezés valójában egy teljes rendezés. A 14.13. Tétel bizonyítása alapján a P-ben lévő egész számok ellentettjei épp a -P-ben lévő egész számok. Így a 15.12. Definíció utáni megjegyzés miatt a P-hez tartozó rendezés negativitástartománya épp a -P halmaz, aminek tehát nincs közös eleme P-vel. Mivel a P és a -P halmazok ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kívüli összes egész számot, így a 15.15. Tétel alapján a P halmazhoz tartozó rendezés valójában egy teljes rendezés.
Már csak azt kell belátni, hogy ez az egyetlen olyan teljes rendezés, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Tegyük fel ezért indirekt, hogy egy másik ilyen teljes rendezés is létezik az egész számok gyűrűjén. Jelöljük az ehhez tartozó pozitivitástartományt Q-val, a negativitástartományt pedig -Q-val. Mivel rendezésről van szó, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján a Q és a -Q halmazoknak szintén nincs közös elemük. Továbbá – mivel ez a hipotetikus rendezés teljes – ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kivüli összes egész számot.
Az indirekt feltevésünk a 15.13. Tétel alapján azt jelenti, hogy a P és Q pozitivitástartományok különbözőek. Nézzük meg, hogy ez vajon tényleg lehetséges-e? Vegyük észre, hogy a 15.16. Tétel alapján mindazon egész számok, amelyek felírhatók egy akármilyen egész szám önmagával vett szorzataként, vagy ilyen szorzatok akárhánytagú összegeként, benne vannak mind a P, mind pedig a Q halmazban. Ez viszont igaz minden P-beli egész számra. Az első néhány példa alapján az Olvasó is könnyen megértheti, miért:
Az tehát már bizonyos, hogy P része Q-nak. Ebből viszont következik, hogy -P is része -Q-nak. Hiszen ha egy tetszőleges a nemnulla egész szám benne van -P-ben, akkor az ellentettje benne van P-ben, mivel azonban P része Q-nak, így ez az ellentett benne van Q-ban is. Ekkor viszont maga a benne van -Q-ban. Ez a szituáció látható a 15.6. ábrán.
Az indirekt feltételezésünk ugye az volt, hogy a P és a Q halmazok különböznek, azaz létezik olyan x nemnulla egész szám, amely benne van Q-ban, de nincs benne P-ben. Egyrészt, mivel Q-nak és -Q-nak nincs közös eleme, ezért ha x benne van Q-ban, akkor nincs benne -Q-ban.
Másrészt, mivel P és -P ketten együtt tartalmazzák az összes nemnulla egész számot, ezért ha x nincs benne P-ben, akkor benne van -P-ben. Mivel azonban -P része -Q-nak, ezért ebből az következik, hogy benne van -Q-ban is.
Az indirekt feltételezésünkből tehát az következne, hogy létezik olyan egész szám, amely benne is van -Q-ban, és nincs is benne. Ez teljes képtelenség, lehetetlen, hogy P és Q különböznek, azaz valójában megegyeznek. Ekkor viszont a 15.13. Tétel miatt a hozzájuk tartozó teljes rendezések is megegyeznek. Az egész számok gyűrűjén tehát valóban csak egyféleképpen lehet teljes rendezést definiálni.
∎