Bizonyítás

A 13.11. Definícióban az egész számok halmazát három részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok, valamint a nulla egész szám. A 13.10. Tétel alapján az is világos, hogy e három részhalmaz közül semelyik kettőnek nincs közös eleme. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban $P$-vel, a negatív egész számok halmazát pedig $-P$-vel. A $P$ halmaz nem tartalmazza tehát a gyűrű nullelemét, azaz a nulla egész számot.

Továbbá az is igaz, hogy a 13.14. és a 14.5. Tétel miatt $P$ zárt a $(\Z ,+,\cdot )$ gyűrű összeadására és szorzására. Az ezekben a tételekben definiált $f$ beágyazófüggvény ugyanis a nemnulla természetes számokat pontosan a $P$ halmazba képzi, így ha $P$ nem lenne zárt az összeadásra és a szorzásra, akkor az e tételekben már bizonyított művelettartás nem teljesülhetne.

Mivel a 15.6. Tétel miatt a $(\Z ,+,\cdot )$ gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.14. Tétel alapján annyi már bizonyos, hogy a $P$ halmaz valóban egy részbenrendezés pozitivitástartománya.

Most azt fogjuk belátni, hogy ez a bizonyos rendezés valójában egy teljes rendezés. A 14.13. Tétel bizonyítása alapján a $P$-ben lévő egész számok ellentettjei épp a $-P$-ben lévő egész számok. Így a 15.12. Definíció utáni megjegyzés miatt a $P$-hez tartozó rendezés negativitástartománya épp a $-P$ halmaz, aminek tehát nincs közös eleme $P$-vel. Mivel a $P$ és a $-P$ halmazok ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kívüli összes egész számot, így a 15.15. Tétel alapján a $P$ halmazhoz tartozó rendezés valójában egy teljes rendezés.

Már csak azt kell belátni, hogy ez az egyetlen olyan teljes rendezés, amely kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat. Tegyük fel ezért indirekt, hogy egy másik ilyen teljes rendezés is létezik az egész számok gyűrűjén. Jelöljük az ehhez tartozó pozitivitástartományt $Q$-val, a negativitástartományt pedig $-Q$-val. Mivel rendezésről van szó, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján a $Q$ és a $-Q$ halmazoknak szintén nincs közös elemük. Továbbá – mivel ez a hipotetikus rendezés teljes – ketten együtt tartalmazzák a nulla egész számon kivüli összes egész számot.

Az tehát már bizonyos, hogy $P$ része $Q$-nak. Ebből viszont következik, hogy $-P$ is része $-Q$-nak. Hiszen ha egy tetszőleges $a$ nemnulla egész szám benne van $-P$-ben, akkor az ellentettje benne van $P$-ben, mivel azonban $P$ része $Q$-nak, így ez az ellentett benne van $Q$-ban is. Ekkor viszont maga $a$ benne van $-Q$-ban. Ez a szituáció látható a 15.6. ábrán.

Az indirekt feltételezésünk ugye az volt, hogy a $P$ és a $Q$ halmazok különböznek, azaz létezik olyan $x$ nemnulla egész szám, amely benne van $Q$-ban, de nincs benne $P$-ben. Egyrészt, mivel $Q$-nak és $-Q$-nak nincs közös eleme, ezért ha $x$ benne van $Q$-ban, akkor nincs benne $-Q$-ban.

Másrészt, mivel $P$ és $-P$ ketten együtt tartalmazzák az összes nemnulla egész számot, ezért ha $x$ nincs benne $P$-ben, akkor benne van $-P$-ben. Mivel azonban $-P$ része $-Q$-nak, ezért ebből az következik, hogy benne van $-Q$-ban is.

Az indirekt feltételezésünkből tehát az következne, hogy létezik olyan egész szám, amely benne is van $-Q$-ban, és nincs is benne. Ez teljes képtelenség, lehetetlen, hogy $P$ és $Q$ különböznek, azaz valójában megegyeznek. Ekkor viszont a 15.13. Tétel miatt a hozzájuk tartozó teljes rendezések is megegyeznek. Az egész számok gyűrűjén tehát valóban csak egyféleképpen lehet teljes rendezést definiálni.

∎