Bizonyítás

Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómák teljesülését.

1. axióma: A $\oplus$ művelet a 13.15. Tétel alapján valóban kommutatív és asszociatív.

2. axióma: A $[(0; 0)]$ egész szám valóban neutrális elem a $\oplus$ műveletre nézve, hiszen a 13.13. Definíció alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén

[(a; b)] \oplus [(0; 0)] = [(a + 0; b + 0)] = [(a; b)]

3. axióma: Ugyanezen definíció, valamint a 13.10. Tétel alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén $[(a; b)]$ és $[(b; a)]$ valóban egymás inverzei a $\oplus$ műveletre nézve, hiszen

[(a; b)] \oplus [(b; a)] = [(a + b; b + a)] = [(0; 0)]

4., 5. és 6. axióma: Lásd a 14.6. Tételt

7. axióma: Az $[(1; 0)]$ egész szám valóban neutrális elem a $⊙$ műveletre nézve, hiszen a 14.3. Definíció alapján tetszőleges $a$ és $b$ természetes számok esetén

[(a; b)] ⊙ [(1; 0)] = [(a \cdot 1 + b \cdot 0; a \cdot 0 + b \cdot 1)] = [(a; b)]

A $(Z, \oplus, ⊙)$ algebrai struktúra tehát valóban egy kommutatív és egységelemes gyűrű, ahogyan a tétel állítja.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre