youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómák teljesülését.

1. axióma: A ⊕\oplus művelet a 13.15. Tétel alapján valóban kommutatív és asszociatív.

2. axióma: A [(0;0)][(0;0)] egész szám valóban neutrális elem a ⊕\oplus műveletre nézve, hiszen a 13.13. Definíció alapján tetszőleges aa és bb természetes számok esetén

[(a;b)]⊕[(0;0)]=[(a+0;b+0)]=[(a;b)][(a;b)] \oplus [(0;0)] = [(a+0;b+0)] = [(a;b)]

3. axióma: Ugyanezen definíció, valamint a 13.10. Tétel alapján tetszőleges aa és bb természetes számok esetén [(a;b)][(a;b)] és [(b;a)][(b;a)] valóban egymás inverzei a ⊕\oplus műveletre nézve, hiszen

[(a;b)]⊕[(b;a)]=[(a+b;b+a)]=[(0;0)][(a;b)] \oplus [(b;a)] = [(a+b;b+a)] = [(0;0)]

4., 5. és 6. axióma: Lásd a 14.6. Tételt

7. axióma: Az [(1;0)][(1;0)] egész szám valóban neutrális elem a ⊙\odot műveletre nézve, hiszen a 14.3. Definíció alapján tetszőleges aa és bb természetes számok esetén

[(a;b)]⊙[(1;0)]=[(a⋅1+b⋅0;a⋅0+b⋅1)]=[(a;b)][(a;b)] \odot [(1;0)] = [(a\cdot 1 + b\cdot 0;a\cdot 0 + b\cdot 1)] = [(a;b)]

A (Z,⊕,⊙)(\Z , \oplus , \odot ) algebrai struktúra tehát valóban egy kommutatív és egységelemes gyűrű, ahogyan a tétel állítja.

∎