youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az 1. állítás bizonyításához tegyük fel tehát, hogy 0≤a0\leq a. Mivel a ≤\leq reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz aa ellentettjét adva – amely a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk:

0+(−a)≤a+(−a)0+(-a)\leq a+(-a)

Mivel 00 a gyűrű nulleleme, ezért a baloldali összegből őt a 2. gyűrűaxióma miatt elhagyhatjuk, a jobboldali összeg pedig a 3. gyűrűaxióma miatt épp a nullelemmel lesz egyenlő. Így tulajdonképpen megkapjuk az 1. állítást:

(−a)≤0(-a)\leq 0

A 2. állítás bizonyításához tegyük fel tehát, hogy ac≤bcac\leq bc. Mivel a ≤\leq reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz jobbról −(ac)-(ac)-t, balról pedig −(bc)-(bc)-t adva továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk:

(−(bc))+ac+(−(ac))⏟=0≤(−(bc))+bc⏟=0+(−(ac))(-(bc))+\underbrace{ac+(-(ac))}_{=0}\leq \underbrace{(-(bc))+bc}_{=0}+(-(ac))

Mindkét oldalon a két egymásnak ellentett tag a 3. gyűrűaxióma miatt kiejti egymást, így ezt kapjuk:

−(bc)≤−(ac)-(bc)\leq -(ac)

Ez viszont a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható, megkapva ezzel a 2. állítást:

b(−c)≤a(−c)b(-c)\leq a(-c)

Végül a 3. állítás ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a kiindulási feltétel mindkét oldalához −(ca)-(ca)-t és −(cb)-(cb)-t kell adni.

∎