15.9. Lemma
Gyűrű részbenrendezésének tulajdonságai
Tegyük fel, hogy (R,+,\cdot ) egy tetszőleges gyűrű, amelynek R alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a \leq szimbólummal, és tegyük fel, hogy a \leq reláció kompatibilis a gyűrű + műveletével. Ekkor tetszőleges a, b és c elemekre igazak az alábbiak:
1.
Ha 0\leq a, akkor 0\geq (-a).
2.
Ha ac\leq bc, akkor a(-c)\geq b(-c).
3.
Ha ca\leq cb, akkor (-c)a\geq (-c)b.
Itt 0 jelöli a gyűrű nullelemét, -x pedig az x elem ellentettjét. Megjegyezzük még, hogy kommutatív gyűrűk esetén természetesen a 2. és a 3. tulajdonság egymással ekvivalens.
♣