youproof.orgDeep Math. Human Access.

15.9. Lemma

Gyűrű részbenrendezésének tulajdonságai

Tegyük fel, hogy (R,+,⋅)(R,+,\cdot ) egy tetszőleges gyűrű, amelynek RR alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a ≤\leq szimbólummal, és tegyük fel, hogy a ≤\leq reláció kompatibilis a gyűrű ++ műveletével. Ekkor tetszőleges aa, bb és cc elemekre igazak az alábbiak:

1.
Ha 0≤a0\leq a, akkor 0≥(−a)0\geq (-a).
2.
Ha ac≤bcac\leq bc, akkor a(−c)≥b(−c)a(-c)\geq b(-c).
3.
Ha ca≤cbca\leq cb, akkor (−c)a≥(−c)b(-c)a\geq (-c)b.

Itt 00 jelöli a gyűrű nullelemét, −x-x pedig az xx elem ellentettjét. Megjegyezzük még, hogy kommutatív gyűrűk esetén természetesen a 2. és a 3. tulajdonság egymással ekvivalens.

♣