Bizonyítás

Kezdjük az 1. tulajdonsággal: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az a\leq b egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" 0 elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" 0 elemmel való szorzás viszont megfordítja a relációt. A tételben ezt a "legfeljebb" 0 elemet d-vel jelöltük, azaz d\leq 0. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt következik, hogy 0\leq (-d), azaz d ellentettje "legalább" 0. A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" 0 elemmel szorozva az a\leq b relációt, annak iránya nem változik. Ez tehát igaz lesz (-d)-re is, és így:

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk az 1. tulajdonságot:

A 2. tulajdonság bizonyítása ehhez nagyon hasonló: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az a\leq b egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" 0 elemmel megszorozva a reláció iránya megfordul. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" 0 elemmel való szorzás viszont helybenhagyja a reláció irányát. A tételben ezt a "legfeljebb" 0 elemet d-vel jelöltük, azaz d\leq 0. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt ismét következik, hogy 0\leq (-d), azaz d ellentettje "legalább" 0. A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" 0 elemmel szorozva az a\leq b relációt, annak iránya megfordul. Ez tehát igaz lesz (-d)-re is, és így:

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk a 2. tulajdonságot: