Bizonyítás

Kezdjük az 1. tulajdonsággal: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az $a\leq b$ egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" $0$ elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" $0$ elemmel való szorzás viszont megfordítja a relációt. A tételben ezt a "legfeljebb" $0$ elemet $d$-vel jelöltük, azaz $d\leq 0$. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt következik, hogy $0\leq (-d)$, azaz $d$ ellentettje "legalább" $0$. A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" $0$ elemmel szorozva az $a\leq b$ relációt, annak iránya nem változik. Ez tehát igaz lesz $(-d)$-re is, és így:

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk az 1. tulajdonságot:

A 2. tulajdonság bizonyítása ehhez nagyon hasonló: Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az $a\leq b$ egyenlőtlenség mindkét oldalát egy "legalább" $0$ elemmel megszorozva a reláció iránya megfordul. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy "legfeljebb" $0$ elemmel való szorzás viszont helybenhagyja a reláció irányát. A tételben ezt a "legfeljebb" $0$ elemet $d$-vel jelöltük, azaz $d\leq 0$. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. állítása miatt ismét következik, hogy $0\leq (-d)$, azaz $d$ ellentettje "legalább" $0$. A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen "legalább" $0$ elemmel szorozva az $a\leq b$ relációt, annak iránya megfordul. Ez tehát igaz lesz $(-d)$-re is, és így:

Ezt viszont a 15.9. Lemma 2. állítása miatt átírhatjuk az alábbiak szerint, és így megkapjuk a 2. tulajdonságot: