Bizonyítás

Jelöljük a $P$ pozitivitástartomány által meghatározott relációt a $\leq$ szimbólummal. Mivel ez ismét egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért ezúttal is mindkét irányú implikációt bizonyítani kell.

Nézzük meg először, hogy mi következik $P$-re vonatkozóan abból, ha $\leq$ egy teljes rendezés. Az ugye világos, hogy tetszőleges $a\neq 0$ elemre vagy teljesül a $0\leq a$ reláció, vagy pedig nem. Ha teljesül, akkor a 15.12. Definíció miatt maga $a$ benne van a $P$ halmazban. Ha nem teljesül, akkor viszont a teljes rendezés trichotómiája miatt szükségképpen teljesül az $a\leq 0$ reláció. Ebben az esetben viszont a 15.9. Lemma 1. pontja miatt teljesül a $0\leq (-a)$ reláció is. Mivel $a\neq 0$, ezért $(-a)\neq 0$, és így a 15.12. Definíció miatt ekkor $-a$ benne van a $P$ halmazban. Teljes rendezés esetén tehát minden nemnulla elemre igaz, hogy vagy ő maga, vagy pedig az ellentettje benne van a teljes rendezés pozitivitástartományában.

Most visszafele nézzük meg, hogy mi következik a $\leq$ részbenrendezésre vonatkozóan abból, ha minden nemnulla elem vagy az ellentettje benne van a részbenrendezés $P$ pozitivitástartományában. Ez nyilván igaz lesz azokra az elemekre is, amelyeket valamilyen tetszőleges $a$ és $b$ elemekből képzünk a $b+(-a)$ képlettel. Kivéve persze, ha $a=b$, de ezekben az esetekben a részbenrendezés reflexivitása miatt amúgyis teljesül mind az $a\leq b$, mind pedig a $b\leq a$ reláció is. Ha tehát $a\neq b$, akkor vagy $b+(-a)$, vagy pedig az ő ellentettje, azaz $-(b+(-a))$ benne van $P$-ben.

Ha $b+(-a)$ van benne $P$-ben, akkor a 15.12. Definíció miatt $0\leq b+(-a)$. A 15.11. Definíció szerinti 1. rendezési axióma miatt mindkét oldalhoz $a$-t adva továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk, azaz $a\leq b$.

Ha viszont $-(b+(-a))$ van benne $P$-ben, akkor a 15.12. Definíció, valamint a 15.9. Lemma 1. pontja miatt a $b+(-a)\leq 0$ fog teljesülni, amiből viszont $b\leq a$ következik.

Azt kaptuk tehát, hogy amennyiben tetszőleges nemnulla elem, vagy az ellentettje benne van egy részbenrendezési reláció pozitivitástartományában, akkor a reláció legalább az egyik irányban bármely két elem között fennáll – azaz ő valóban egy teljes rendezés.

∎