Bizonyítás

Jelöljük a P pozitivitástartomány által meghatározott relációt a \leq szimbólummal. Mivel ez ismét egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, ezért ezúttal is mindkét irányú implikációt bizonyítani kell.

Nézzük meg először, hogy mi következik P-re vonatkozóan abból, ha \leq egy teljes rendezés. Az ugye világos, hogy tetszőleges a\neq 0 elemre vagy teljesül a 0\leq a reláció, vagy pedig nem. Ha teljesül, akkor a 15.12. Definíció miatt maga a benne van a P halmazban. Ha nem teljesül, akkor viszont a teljes rendezés trichotómiája miatt szükségképpen teljesül az a\leq 0 reláció. Ebben az esetben viszont a 15.9. Lemma 1. pontja miatt teljesül a 0\leq (-a) reláció is. Mivel a\neq 0, ezért (-a)\neq 0, és így a 15.12. Definíció miatt ekkor -a benne van a P halmazban. Teljes rendezés esetén tehát minden nemnulla elemre igaz, hogy vagy ő maga, vagy pedig az ellentettje benne van a teljes rendezés pozitivitástartományában.

Most visszafele nézzük meg, hogy mi következik a \leq részbenrendezésre vonatkozóan abból, ha minden nemnulla elem vagy az ellentettje benne van a részbenrendezés P pozitivitástartományában. Ez nyilván igaz lesz azokra az elemekre is, amelyeket valamilyen tetszőleges a és b elemekből képzünk a b+(-a) képlettel. Kivéve persze, ha a=b, de ezekben az esetekben a részbenrendezés reflexivitása miatt amúgyis teljesül mind az a\leq b, mind pedig a b\leq a reláció is. Ha tehát a\neq b, akkor vagy b+(-a), vagy pedig az ő ellentettje, azaz -(b+(-a)) benne van P-ben.

Ha b+(-a) van benne P-ben, akkor a 15.12. Definíció miatt 0\leq b+(-a). A 15.11. Definíció szerinti 1. rendezési axióma miatt mindkét oldalhoz a-t adva továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk, azaz a\leq b.

Ha viszont -(b+(-a)) van benne P-ben, akkor a 15.12. Definíció, valamint a 15.9. Lemma 1. pontja miatt a b+(-a)\leq 0 fog teljesülni, amiből viszont b\leq a következik.

Azt kaptuk tehát, hogy amennyiben tetszőleges nemnulla elem, vagy az ellentettje benne van egy részbenrendezési reláció pozitivitástartományában, akkor a reláció legalább az egyik irányban bármely két elem között fennáll – azaz ő valóban egy teljes rendezés.

∎