15.19. Tétel
Természetes számok beágyazása rendezéstartó
E tétel megfogalmazásához az alábbi jelöléseket használjuk:
- \N_1-gyel a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszer által definiált halmazt jelöljük.
- Az egész számokra a 13.8. Definíció szerinti jelölést alkalmazzuk.
- A \Z halmazon értelmezett, 15.18. Tétel szerinti teljes rendezést a \lesssim, míg az \N_1 halmazon értelmezett, 12.15. Definíció szerinti teljes rendezést pedig a \leq szimbólummal jelöljük.
Tegyük fel, hogy adva van egy f:\N_1 \to \Z függvény az alábbiak szerint:
f(n)=[(n;0)]
Ekkor az \N_1 halmaz tetszőleges a és b elemei esetén a\leq b akkor és csak akkor teljesül, ha f(a)\lesssim f(b) is teljesül. Más szavakkal f egy injektív homomorfizmus az (\N_1, \leq) és a (\Z ,\lesssim ) teljesen rendezett halmazok, mint algebrai struktúrák között.
♣