Bizonyítás

Ha a\leq b, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan k elem az \N_1 halmazban, amelyre a+k=b. Mivel a 13.14. Tétel miatt az f függvény tartja a összeadást, ezért f(a+k)= f(a)\oplus f(k) = f(b) is teljesül. Tekintve, hogy az \N_1 halmaz minden elemének f szerinti képe a 13.11. Definíció értelmében pozitív vagy 0 a \Z halmazon belül, így nyilván f(k) is az. Azaz a 15.18. Tételben szereplő reláció definíciója alapján f(a)\lesssim f(b).

Megfordítva: ha f(a)\lesssim f(b), akkor a 15.18. Tétel miatt létezik olyan c egész szám a \Z halmazon belül, amely pozitív vagy 0, és amelyre f(a)\oplus c=f(b). Mivel c pozitív vagy 0, ezért létezik az \N_1 halmazban olyan n elem, amelynek épp ő az f szerinti képe, azaz amelyre f(n)=c, és így f(a)\oplus f(n)=f(b). De mivel az f függvény tartja a összeadást, ezért f(a+n)=f(b) is teljesül. Tekintve, hogy az f függvény minden \Z-beli elemet legfeljebb egy \N_1-beli elemhez rendel hozzá, ezért ebből a+n=b következik. Ez viszont a 12.15. Definíció értelmében épp azt jelenti, hogy a\leq b.

Azt, hogy f injektív, már a 13.14. Tétel bizonyításában beláttuk.

∎