Bizonyítás

Ha $a\leq b$, akkor a 12.15. Definíció miatt létezik olyan $k$ elem az $\N_1$ halmazban, amelyre $a+k=b$. Mivel a 13.14. Tétel miatt az $f$ függvény tartja a összeadást, ezért $f(a+k)= f(a)\oplus f(k) = f(b)$ is teljesül. Tekintve, hogy az $\N_1$ halmaz minden elemének $f$ szerinti képe a 13.11. Definíció értelmében pozitív vagy $0$ a $\Z$ halmazon belül, így nyilván $f(k)$ is az. Azaz a 15.18. Tételben szereplő reláció definíciója alapján $f(a)\lesssim f(b)$.

Megfordítva: ha $f(a)\lesssim f(b)$, akkor a 15.18. Tétel miatt létezik olyan $c$ egész szám a $\Z$ halmazon belül, amely pozitív vagy $0$, és amelyre $f(a)\oplus c=f(b)$. Mivel $c$ pozitív vagy $0$, ezért létezik az $\N_1$ halmazban olyan $n$ elem, amelynek épp ő az $f$ szerinti képe, azaz amelyre $f(n)=c$, és így $f(a)\oplus f(n)=f(b)$. De mivel az $f$ függvény tartja a összeadást, ezért $f(a+n)=f(b)$ is teljesül. Tekintve, hogy az $f$ függvény minden $\Z$-beli elemet legfeljebb egy $\N_1$-beli elemhez rendel hozzá, ezért ebből $a+n=b$ következik. Ez viszont a 12.15. Definíció értelmében épp azt jelenti, hogy $a\leq b$.

Azt, hogy $f$ injektív, már a 13.14. Tétel bizonyításában beláttuk.

∎