youproof.orgDeep Math. Human Access.

Fölérendelt lap:15.2. TételEgységelem és nullelem különböző

Bizonyítás

Indirekt tegyük fel, hogy létezik olyan egységelemes gyűrű, amelyben $0=1$ . Mivel $1$ neutrális elem a szorzásra nézve, ezért tetszőleges $a$ elemre igaz az alábbi:

a=a\cdot 1=a\cdot \underbrace{0}_{=1}

Ez viszont a 15.1. Tétel 1. pontja miatt $0$ -val egyenlő. Ez azt jelentené, hogy egy ilyen egységelemes gyűrűnek valójában egyetlen eleme lenne, méghozzá a nullelem. A 14.12. Definícióban ezt nullgyűrűnek neveztük, amelyet nem tekintünk egységelemes gyűrűnek.

∎

#kb-panel{position:static;height:auto;transform:none;visibility:visible;box-shadow:none;margin-top:2.5rem;padding:1.25rem 0 2rem}#kb-panel .panel_header,#kb-panel .panel_body{display:contents}#kb-panel>*>*{display:block}#kb-panel .panel_title{margin:1.75rem 0 .5rem}#kb-panel .panel_header>:first-child{margin-top:0}#kb-panel .panel_noJsNote{display:block}#kb-panel>*>:nth-child(1){order:1}#kb-panel>*>:nth-child(2){order:2}#kb-panel>*>:nth-child(3){order:3}#kb-panel>*>:nth-child(4){order:4}#kb-panel>*>:nth-child(5){order:5}#kb-panel>*>:nth-child(6){order:6}#kb-panel>*>:nth-child(7){order:7}#kb-panel>*>:nth-child(8){order:8}#kb-panel>*>:nth-child(9){order:9}