Bizonyítás
Először a tétel első felét bizonyítjuk, tehát most adott, hogy nullosztómentes. Az 1. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy
Az egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá ellentettjét, amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik:
A baloldal második tagja a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható:
Az egyenlet baloldala a disztributivitási szabály miatt átírható erre:
Mivel nullosztómentes, ezért nem létezik benne jobboldali nullosztó, így sem lehet az. Ez a 15.3. Definíció miatt azt jelenti, hogy a fenti egyenlet csak akkor teljesülhet, ha
Mindkét oldalhoz -t adva megkapjuk a tételben szereplő 1. tulajdonságot, azaz valóban: . A 2. tulajdonság ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor a másik disztributivitási szabályt és a baloldali nullosztó fogalmát kell felhasználni.
Most bizonyítjuk a tétel megfordítását. Tegyük fel indirekt, hogy teljesül mindkét tulajdonság az gyűrűre, ám mégsem nullosztómentes.
Az, hogy teljesül az 1. tulajdonság ugye azt jelenti, hogy tetszőleges , és elemek esetén az állításból következik az állítás. A speciális esetben ez azt jelenti, hogy az állításból – és így a 15.1. Tétel 1. pontja miatt az állításból – következik az állítás. Ez a 15.3. Definíció miatt ez épp azt jelenti, hogy -ben nem létezik jobboldali nullosztó, hiszen esetben épp ilyen tulajdonságú elem lenne.
A 2. tulajdonság teljesülése ugyanilyen gondolatmenetet követve azt jelenti, hogy -ben nem létezik baloldali nullosztó sem. Ez viszont a 15.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy mégis nullosztómentes.
∎