Bizonyítás
Először a tétel első felét bizonyítjuk, tehát most adott, hogy R nullosztómentes. Az 1. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy
Az egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá bc ellentettjét, amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik:
A baloldal második tagja a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható:
Az egyenlet baloldala a disztributivitási szabály miatt átírható erre:
Mivel R nullosztómentes, ezért nem létezik benne jobboldali nullosztó, így c sem lehet az. Ez a 15.3. Definíció miatt azt jelenti, hogy a fenti egyenlet csak akkor teljesülhet, ha
Mindkét oldalhoz b-t adva megkapjuk a tételben szereplő 1. tulajdonságot, azaz valóban: a=b. A 2. tulajdonság ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor a másik disztributivitási szabályt és a baloldali nullosztó fogalmát kell felhasználni.
Most bizonyítjuk a tétel megfordítását. Tegyük fel indirekt, hogy teljesül mindkét tulajdonság az R gyűrűre, ám R mégsem nullosztómentes.
Az, hogy teljesül az 1. tulajdonság ugye azt jelenti, hogy tetszőleges a, b és c\neq 0 elemek esetén az ac=bc állításból következik az a=b állítás. A b=0 speciális esetben ez azt jelenti, hogy az ac=0c állításból – és így a 15.1. Tétel 1. pontja miatt az ac=0 állításból – következik az a=0 állítás. Ez a 15.3. Definíció miatt ez épp azt jelenti, hogy R-ben nem létezik jobboldali nullosztó, hiszen a\neq 0 esetben c épp ilyen tulajdonságú elem lenne.
A 2. tulajdonság teljesülése ugyanilyen gondolatmenetet követve azt jelenti, hogy R-ben nem létezik baloldali nullosztó sem. Ez viszont a 15.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy R mégis nullosztómentes.
∎