Bizonyítás

A 15.15. Tétel alapján minden a\neq 0 elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik. Legyen P egy ilyen tetszőleges pozitivitástartomány.

Tegyük fel, hogy az első eset áll fenn, azaz maga a van benne P-ben. Ekkor a\cdot a is nyilván benne van P-ben, hiszen – nullosztómentes gyűrűről lévén szó – a 15.14. Tétel 2. pontja miatt P zárt a szorzásra nézve.

Most tegyük fel, hogy a második eset áll fenn, azaz most az a elem helyett a (-a) elem van benne P-ben. De ekkor – szintén a 15.14. Tétel 2. pontja miatt – a (-a)\cdot (-a) szorzat is. Vegyük észre azonban, hogy ez a szorzat a 15.1. Tétel 4. pontja alapján épp a\cdot a-val egyenlő.

Azt kaptuk tehát, hogy minden a\neq 0 elem önmagával vett szorzata mindenképpen pozitív bármely teljes rendezésre nézve – még akkor is, ha ő maga negatív. De ekkor e szorzatok tetszőleges kombinációban felírt összegei is pozitívak, hiszen a 15.14. Tétel 1. pontja szerint egy nullosztómentes gyűrűben a pozitivitástartományok zártak az összeadásra nézve.

∎