Bizonyítás

A 15.15. Tétel alapján minden $a\neq 0$ elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik. Legyen $P$ egy ilyen tetszőleges pozitivitástartomány.

Tegyük fel, hogy az első eset áll fenn, azaz maga $a$ van benne $P$-ben. Ekkor $a\cdot a$ is nyilván benne van $P$-ben, hiszen – nullosztómentes gyűrűről lévén szó – a 15.14. Tétel 2. pontja miatt $P$ zárt a szorzásra nézve.

Most tegyük fel, hogy a második eset áll fenn, azaz most az $a$ elem helyett a $(-a)$ elem van benne $P$-ben. De ekkor – szintén a 15.14. Tétel 2. pontja miatt – a $(-a)\cdot (-a)$ szorzat is. Vegyük észre azonban, hogy ez a szorzat a 15.1. Tétel 4. pontja alapján épp $a\cdot a$-val egyenlő.

Azt kaptuk tehát, hogy minden $a\neq 0$ elem önmagával vett szorzata mindenképpen pozitív bármely teljes rendezésre nézve – még akkor is, ha ő maga negatív. De ekkor e szorzatok tetszőleges kombinációban felírt összegei is pozitívak, hiszen a 15.14. Tétel 1. pontja szerint egy nullosztómentes gyűrűben a pozitivitástartományok zártak az összeadásra nézve.

∎